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深究小學(xué)數學(xué)教學(xué)中邏輯規律導入
逐步發(fā)展學(xué)生初步的邏輯思維能力是小學(xué)數學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。結合教學(xué)內容科學(xué)地、有意識地將邏輯規律引進(jìn)教學(xué),在教學(xué)過(guò)程中加以滲透,既有利于小學(xué)生掌握數學(xué)基礎知識和基本技能,又能培養他們的初步邏輯思維能力。
一、知識結構、邏輯推理及相互間的關(guān)系。
在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中,構建良好的數學(xué)知識結構是培養發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個(gè)重要途徑。烏辛斯基早就指出:“所謂智力發(fā)展不是別的,只是很好組織起來(lái)的知識體系。”而知識體系因為其內在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構成的。
“數學(xué)作為一種演繹系統,它的重要特點(diǎn)是,除了它的基本概念以外,其余一切概念都是通過(guò)定義引入的。”這種演繹系統一方面使得數學(xué)內容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法(如邏輯推理等),再去獲取更多的知識。如學(xué)習“能同時(shí)被2、5整除的數的特征”時(shí),我們是通過(guò)演繹推理得到的:
所有能被2整除的數的末尾是0、2、4、6、8;所有能被5整除的數的末尾是0、5;因此,能同時(shí)被2、5整除的數的末尾是0。
數學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識,他們又會(huì )運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。
學(xué)生知識的習得和構建,主要依賴(lài)認知結構中原有的適當觀(guān)念,去影響和促進(jìn)新的理解、掌握,溝通新上知識的互相聯(lián)系,形成新的認知結構系統,這是數學(xué)知識學(xué)習過(guò)程中的同化現象。它包含三方面的內容:一是新舊知識建立下位聯(lián)系;二是新舊知識建立上位聯(lián)系;三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結構中的三類(lèi)推理恰好建立相應的聯(lián)系。推理,是從一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷得出新的判斷的過(guò)程。通常有:演繹推理(從一般性的前提推出特殊性結論的推理);歸納推理(從特殊的前提推出一般結論的推理);類(lèi)比推理(從特殊的前提推出特殊結論的推理或從一般前提推出一般結論的推理)。如:教學(xué)“循環(huán)小數”時(shí),先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333;1÷3=0.333……、 70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。觀(guān)察各式的商學(xué)生們直觀(guān)認識到:小數有有限小數、無(wú)限小數之分。進(jìn)而從一組無(wú)限小數中,發(fā)現了循環(huán)小數的本質(zhì)屬性,得到了循環(huán)小數的定義。由兩個(gè)或幾個(gè)單稱(chēng)判斷10.333…的數字3依次不斷地重復出現,2.14242…的數字 42依次不斷重復出現等,得出一個(gè)新的全稱(chēng)判斷(循環(huán)小數的定義)是歸納推理的一種方法。
在教學(xué)的過(guò)程中,教師結合教學(xué)內容,有意識地把邏輯規律引入教學(xué),注意示范、點(diǎn)撥,顯然是有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
二、邏輯推理在教與學(xué)過(guò)程中的應用。
1.如果原有的認知結構觀(guān)念極其抽象,概括性和包容性高于新知識,新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時(shí),那么宜適當運用演繹推理的規則,由一般性的前提推出特殊性的結論。
“演繹的實(shí)質(zhì)就是認為每一特殊(具體)情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識,先要找出這一對象的類(lèi)(最近的類(lèi)概念),再將這一對象的類(lèi)的屬性應用于哪個(gè)對象。如:運用乘法分配律簡(jiǎn)便運算時(shí),學(xué)生必須以清晰、穩固的乘法分配律知識為基礎,才能得出:999×999+999=999×(999+1)=999000這里999×999+999=999×(999+1)是根據一般性判斷 a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當學(xué)生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學(xué)會(huì )使用這樣的語(yǔ)言:只有兩個(gè)約數(1和它本身)的數是質(zhì)數;101只有兩個(gè)約數;101是質(zhì)數。
那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。
在知識層面中,這種類(lèi)屬過(guò)程的多次進(jìn)行,就導致知識不斷產(chǎn)生新的層次,其邏輯結構就越加嚴密,新的知識也就會(huì )不斷分化和精確化,就可以逐漸演繹出新的類(lèi)屬性的具體知識。教學(xué)中正確把握這種結構,用演繹推理的手段組織學(xué)習過(guò)程,不但能培養學(xué)生的思考方法,理解內容的邏輯結構,還能提高學(xué)生的模式辨認能力,縮短推理過(guò)程,快速找到解題途徑。
在新舊知識建立下位聯(lián)系時(shí),整個(gè)類(lèi)屬過(guò)程可分化為兩種情況。
(1)當新知識從屬于舊知識時(shí),新知識只是舊知識的派生物�？梢詮脑姓J識結構中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認知結構中。
如學(xué)生已學(xué)過(guò)兩位數的筆算,清晰而穩固地掌握了加法的計算法則,現在要學(xué)三、四位數的加法,只要讓學(xué)生思考并回憶兩位數加法計算的表象結構,適當地點(diǎn)撥一下三、四位數加法與兩位數加法有相同的筆算法則,學(xué)生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化,并使原有筆算法則得到充實(shí)新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴大,但內涵不變。
教學(xué)中,掌握這些知識的內涵的邏輯結構,就會(huì )有一個(gè)清晰的教學(xué)思路,就會(huì )自覺(jué)地運用演繹推理的手段,與學(xué)生一起愉快地順利地進(jìn)行下位學(xué)習。就不會(huì )在講三、四位數加法時(shí),著(zhù)眼于竭力以三、四位數加法為例證,說(shuō)明加法的計算法則。
(2)新知識類(lèi)屬于原有較高概括性的觀(guān)念中,但不能從原有上位觀(guān)念中直接派生出來(lái),而需要對原有知識作部分的改組,才能同化新知識。新知識納入原有知識后,原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關(guān)類(lèi)屬。這時(shí),運用演繹推理之前,先要對原有知識作部分改組,請出一個(gè)“組織者”, 再步步演繹。(為新知識生長(cháng)提供觀(guān)念上的“固定點(diǎn)”,增加新舊知識間的可辨性,充當新舊知識聯(lián)系的“認知橋梁”,奧蘇伯爾稱(chēng)它為“先行組織者”簡(jiǎn)稱(chēng)“組織者”。)
如學(xué)生已掌握了長(cháng)方形面積計算公式:S=ab,現在要學(xué)習正方形的面積計算公式,這就要對長(cháng)方形進(jìn)行改組,把它的長(cháng)改成與寬相等(a=b),于是“正方形面積計算”可被“長(cháng)方形面積計算”同化,當a=b時(shí),S=ab=a·a=a[2,]。又如教圓面積之前,向學(xué)生演示或讓學(xué)生動(dòng)手操作,把圓適當分割后拼成近似長(cháng)方形,由長(cháng)方形面積公式導出圓面積計算公式。其間以直代曲,是由舊知識導向新知識的認知橋梁,是由演繹推理構建新知識時(shí),找到的觀(guān)念上固定點(diǎn)。找到固定點(diǎn)后圓面積的計算被長(cháng)方形面積同化,于是面積計算規則從直線(xiàn)封閉圖形的計算,推廣到曲線(xiàn)封閉圖形的計算,擴展加深了對原有面積計算規則的認識內容,使有關(guān)面積計算的認識結構趨向精確化。
2.如果原有認識結構已形成幾個(gè)觀(guān)念,要在原有的觀(guān)念上學(xué)習一個(gè)抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識,即新舊知識建立上位聯(lián)系時(shí),那么適當運用歸納推理的規則,可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時(shí),先要研究各個(gè)對象(情況),從中找出整個(gè)對象集所具有的性質(zhì),這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀(guān)察和試驗,是從具體的、特殊的情況過(guò)渡到一般情況(結論、推論)。
教材中關(guān)于概念的形成,運算法則和運算定律、性質(zhì)得出,一般是通過(guò)歸納推理得到的。如分數的初步認識。在學(xué)習前,學(xué)生認知結構中已有了分數的某些具體經(jīng)驗,加上教材提供的和教師列舉的生活實(shí)例和圖形。如:一個(gè)蘋(píng)果平均分成兩份,每份是它的1/2,一根鋼管平均截成三段,每段是它的1/3,一張紙平均分成 4份,每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學(xué)生認識到幾分之一這個(gè)概念。隨后,再認識幾分之幾。這種不完全的歸納推理,是在考察了問(wèn)題的若干個(gè)具體特例后,從中找出的規律。(嚴格地說(shuō),由不完全歸納法推理得到的結論還需要論證,才能判定它的正確性。)
運用歸納推理傳授知識時(shí),要根據學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗,選取典型的特例,并能夠通過(guò)典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個(gè)“一般結論”,去解決具體特例。在教與學(xué)的進(jìn)程中,歸納和演繹不是孤立地出現的,它們緊密交織在一起。
3.如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系,又不能產(chǎn)生上位關(guān)系,但是新知識同原有知識有某種吻合關(guān)系或類(lèi)比關(guān)系,則新舊知識間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運用類(lèi)比推理。
教材中,商不變性質(zhì)和分數基本性質(zhì),乘數是整數的乘法和乘數是分數的乘法等,學(xué)習這類(lèi)與舊知識處于并列結合關(guān)系的新知識時(shí),既不能以上位演繹推理到下位, 又不能以下位歸納推理到上位,只能采用類(lèi)比推理。如五年級學(xué)習“一輛卡車(chē)平均每小時(shí)行40千米,0.3小時(shí)行了多少千米?”時(shí),學(xué)生還無(wú)法根據小數乘法的意義列出此題的解答等式。所以,教學(xué)中一般用整數乘法中的數量關(guān)系相類(lèi)推。
原有的認知結構中,整數乘法與小數乘法只是一般的非特殊的并列結合關(guān)系。新知識的學(xué)習,只能利用原有知識中的一般的和非特殊的有關(guān)內容進(jìn)行同化由于學(xué)生們對事物間“相同程度”判斷不明確,有時(shí)因為錯誤的類(lèi)比,即“有害的”類(lèi)比,而造成結論性的錯誤。如學(xué)了“20朵黃花比18朵紅花多2朵”,也可以說(shuō)成 “18朵紅花比黃花少2朵”,就把:“甲數比乙數多20%”就可以說(shuō)成“乙數比甲數少20%”。教師應當及時(shí)指出這些類(lèi)比錯誤,同時(shí)讓學(xué)生懂得,由類(lèi)比得出的結論必須加以驗證,同時(shí),經(jīng)常作一些類(lèi)比上的選擇或判斷性的練習,幫助他們不要做錯誤的類(lèi)比。
新舊知識的三種聯(lián)系與三類(lèi)推理相呼應,不是一種巧合,是知識結構本身科學(xué)的邏輯結構使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認識結構分化的程度提高,教師會(huì )不斷注意新知識的穩定性、清晰性,新知識的固定點(diǎn)、生長(cháng)點(diǎn)。數學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。
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