- 相關(guān)推薦
談小學(xué)數學(xué)思想及其在教學(xué)中的滲透
摘要：數學(xué)思想是從某些具體數學(xué)認識過(guò)程中提煉和概括，在后繼的認識活動(dòng)中被反復證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。在小學(xué)數學(xué)教育中有意識地向學(xué)生滲透一些基本數學(xué)思想方法是提高學(xué)生數學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數學(xué)教育中實(shí)現從傳授知識到培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要思維活動(dòng)，且它本身也蘊涵了情感素養的熏染。這點(diǎn)也是新課程標準充分強調的。
關(guān)鍵詞：數學(xué)思想;滲透;符號思想;類(lèi)比思想;分類(lèi)思想;方程與函數思想;建模思想。
數學(xué)思想是從某些具體數學(xué)認識過(guò)程中提煉和概括，在后繼的認識活動(dòng)中被反復證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。它揭示了數學(xué)發(fā)展中普遍的規律，對數學(xué)的發(fā)展起著(zhù)指引方向的作用，它直接支配著(zhù)數學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，是數學(xué)的靈魂。而數學(xué)方法則體現了數學(xué)思想，在自然辯證法一書(shū)的導言中，恩格斯敘述了笛卡兒制定了解析幾何，耐普爾制定了對數，來(lái)布尼茨和牛頓制定了微積分后指出:“最重要的數學(xué)方法基本上被確定了”，對數學(xué)而言，可以說(shuō)最重要的數學(xué)思想也基本上被確定了。
《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數學(xué)課程標準》(試驗稿)提出:“學(xué)生通過(guò)學(xué)習，能夠獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)知識以及基本的數學(xué)思想方法�！币虼�，在小學(xué)數學(xué)教學(xué)階段有意識地向學(xué)生滲透一些基本數學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數學(xué)教育中實(shí)現從傳授知識到培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要途徑，也是小學(xué)數學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內涵之所在。在小學(xué)階段，數學(xué)思想主要有符號思想、類(lèi)比思想、分類(lèi)思想、方程與函數思想、建模思想等。
一、符號思想
西方較早地在數學(xué)研究中引進(jìn)了符號，十六世紀數學(xué)家韋達對數學(xué)符號作了很多改進(jìn)，并且第一個(gè)有意識地系統地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來(lái)了代數學(xué)研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，后來(lái)大數學(xué)家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進(jìn)。用符號化的語(yǔ)言(包括字母、數字、圖形和各種特定的符號)來(lái)描述數學(xué)的內容，這就是符號思想。在數學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來(lái)表達大量的信息，如乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長(cháng)方形的面積計算公式s=a×b，不管世界上有多少個(gè)不同的長(cháng)方形，都可用它計算出來(lái)。又如在“有余數的除法”教學(xué)中，最后出現一道思考題:“六一”聯(lián)歡會(huì )上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)藍氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你能知道第24個(gè)氣球是什么顏色的嗎?解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以有多種方法。如，用書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式:aaabbc aaabbc aaabbc……從而可以直觀(guān)地找出氣球的排列規律，并推出第24個(gè)氣球是藍色的。
上例所分析的這些都是符號思想的具體體現，它們將所有的數據實(shí)例集為一體，把復雜的語(yǔ)言文字敘述用簡(jiǎn)潔明了的字母公式表示出來(lái)，便于記憶，便于運用，正如華羅庚所說(shuō)的“數學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優(yōu)越性”。這種用符號來(lái)體現的數學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，是一個(gè)人數學(xué)素養的綜合反映。
把客觀(guān)存在的事物和現象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數學(xué)符號和公式，有一個(gè)從具體到表象再抽象符號化的過(guò)程，小學(xué)生在數學(xué)學(xué)習中，從接受到運用會(huì )遇到較多的困難，需要教師在平時(shí)地教學(xué)中，從介紹字母使用的歷史入手，循循善誘，加強培養和訓練。
二、類(lèi)比思想
數學(xué)上的類(lèi)比思想是指依據兩類(lèi)數學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類(lèi)數學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類(lèi)數學(xué)對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問(wèn)題。就遷移過(guò)程來(lái)分，有些類(lèi)比十分明顯、直接、比較簡(jiǎn)單，如由加法交換律a+b=b+a的學(xué)習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學(xué)習;而有些類(lèi)比需在建立抽象分析的基礎上才能實(shí)現，比較復雜。
例如有這么一道數學(xué)奧林匹克競賽題:某科學(xué)考察組進(jìn)行科學(xué)考察，要越過(guò)一座山。上午8時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達山頂時(shí)休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行5千米，下午2時(shí)到達山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米?分析:此題表面上看似一道行程問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上只不過(guò)是一道典型的“雞兔同籠”問(wèn)題的變化題型。其特征是:
(1)已知兩種事物的單值:上山速度為3千米;下山速度為5千米。
(2)已知這兩種不同事物的總個(gè)數:除去休息1小時(shí)的5小時(shí);全程19千米。
(3)要求的是這兩種不同事物的個(gè)數:上山和下山的時(shí)間各是多少?可見(jiàn)此題的解答方法與"雞兔同籠"問(wèn)題的解答方法完全相同。假設5小時(shí)都是上山時(shí)間，則共走路程為3×5=15(千米)，比實(shí)際走的19千米少了19-15=4(千米)，原因是由于把下山時(shí)間也當作了上山時(shí)間，則下山時(shí)間為4÷(5-3)=2(小時(shí))。從而可以推出下山路程是5×2=10(千米)，上山路程是19-10=9(千米)。當然我們也可以假設5小時(shí)都是下山時(shí)間來(lái)類(lèi)推求解。數學(xué)中所有公式定理的運用就是類(lèi)比思想的直接反映。
目前，小學(xué)數學(xué)教材中類(lèi)比思想的內容很多，雜志上發(fā)表得較多的某些定理，問(wèn)題的延伸，推論，拓廣也是類(lèi)比思想的反映，這就要求教師去發(fā)掘去實(shí)施，如長(cháng)方形的面積公式為長(cháng)×寬=a×b，通過(guò)類(lèi)比，三角形的面積公式也可以理解為長(cháng)(底)×寬(高)÷2=a×b(h)÷2。類(lèi)似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那么錐體的體積可以理解為底面積×高÷。類(lèi)比思想不僅使數學(xué)知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡(jiǎn)潔，從而可以激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng )造力，正如數學(xué)家波利亞所說(shuō):"我們應該討論一般化和特殊化和類(lèi)比的這些過(guò)程本身，它們是獲得發(fā)現的偉大源泉。"
三、分類(lèi)思想
數學(xué)中每一個(gè)概念都有其特有的本質(zhì)特征，它又是按照一定的規律擴展變化的，它們之間都存在著(zhù)質(zhì)變到量變的關(guān)系。要正確的認識這些概念，就需要具體的概念依據具體的標準具體分析，這就是數學(xué)的分類(lèi)思想，是指按某種標準，將研究地數學(xué)對象分成若干部分進(jìn)行分析研究。
一般我們分類(lèi)時(shí)要求滿(mǎn)足互斥，無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)便的原則。如整數以能否被2整除為例，可分為奇數和偶數;若以自然數的約數個(gè)數來(lái)分類(lèi)，則可分為質(zhì)數、合數和1。幾何圖形中的分類(lèi)更常見(jiàn)，如學(xué)習"角的分類(lèi)"時(shí)，涉及到許多概念，而這些概念之間的關(guān)系滲透著(zhù)量變到質(zhì)變的規律。其中幾種角是按照度數的大小，從量變到質(zhì)變來(lái)分類(lèi)的，由此推理到在三角形中以最大一個(gè)角大于、等于和小于90°為分類(lèi)標準，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。而三角形以邊的長(cháng)短關(guān)系為分類(lèi)標準，又可分為不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。不同的分類(lèi)標準會(huì )有不同的分類(lèi)結果，從而產(chǎn)生新的數學(xué)概念和數學(xué)知識的結構。 由于分類(lèi)討論，一則在學(xué)習數學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育;又一則對學(xué)生能力有明顯的區別功能，再加上現實(shí)世界需要分類(lèi)研究的普遍性，作為一種數學(xué)思想必然會(huì )引起人們的重視。
例如在教學(xué)多位數讀寫(xiě)法后，設計了這樣一道開(kāi)放題:下面五張卡片上分別寫(xiě)有數字0、0、1、2、3，可以利用它們組成許多不同的五位數，求所有五位數的平均數。分析:以最高位上的數字為標準，把所有能組成的五位數分成三類(lèi)，再依從小到大的順序列表如下。
(1)10023 (2)20013 (3)30012
10032 20031 30021
10203 20103 30102
10230 20130 30120
10302 20301 30201
10320 20310 30210
12003 21003 31002
12030 21030 31020
12300 21300 31200
13002 23001 32001
13020 23010 32010
13200 23100 32100
這36個(gè)數的平均數，萬(wàn)位上的數字是2，可由(1+2+3)÷3=2確定，其他數位上的數字都是1，可由(1+2+3)×6÷36=1確定。平均數是21111。
四、方程和函數思想
在已知數與未知數之間建立一個(gè)等式，把生活語(yǔ)言“翻譯”成代數語(yǔ)言的過(guò)程就是方程思想。笛卡兒曾設想將所有的問(wèn)題歸為數學(xué)問(wèn)題，再把數學(xué)問(wèn)題轉化成方程問(wèn)題，即通過(guò)問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數學(xué)關(guān)系，運用數學(xué)的符號語(yǔ)言轉化為方程(組)，這就是方程思想的由來(lái)。
在小學(xué)階段，學(xué)生在解應用題時(shí)仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上，一時(shí)還不能接受方程思想，因為在算求解題時(shí)，只允許具體的已知數參加運算，算術(shù)的結果就是要求未知數的解，在算術(shù)解題過(guò)程中最大的弱點(diǎn)是未知數不允許作為運算對象，這也是算術(shù)的致命傷。而在代數中未知數和已知數一樣有權參加運算，用字母表示的未知數不是消極地被動(dòng)地靜止在等式一邊，而是和已知數一樣，接受和執行各種運算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數學(xué)關(guān)系十分清晰，在小學(xué)中高年級數學(xué)教學(xué)中，若不滲透這種方程思想，學(xué)生的數學(xué)水平就很難提高。例如稍復雜的分數、百分數應用題、行程問(wèn)題、還原問(wèn)題等，用代數方法即假設未知數來(lái)解答比較簡(jiǎn)便，因為用字母x表示數后，要求的未知數和已知數處于平等的地位，數量關(guān)系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數學(xué)中，與方程思想密切相關(guān)的是函數思想，它利用了運動(dòng)和變化觀(guān)點(diǎn)，在集合的基礎上，把變量與變量之間的關(guān)系，歸納為兩集合中元素間的對應。數學(xué)思想是現實(shí)世界數量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物，對于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書(shū)有關(guān)“數學(xué)”的論述中已闡述得非常明確:“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡兒的變數，有了變數，運動(dòng)進(jìn)入了數學(xué);有了變數，辨證法進(jìn)入了數學(xué);有了變數，微分與積分也立刻成為必要的了�！睌祵W(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數量關(guān)系的變化規律，是近代數學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎。在小學(xué)數學(xué)教材的練習中有如下形式:
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老師，讓學(xué)生計算完畢，答案正確就滿(mǎn)足了。有經(jīng)驗的老師卻這樣來(lái)設計教學(xué):先計算，后核對答案，接著(zhù)讓學(xué)生觀(guān)察所填答案有什么特點(diǎn)(找規律)，答案的變化是怎樣引起的?然后再出現下面兩組題:
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通過(guò)對比，讓學(xué)生體會(huì )“當一個(gè)數變化，另一個(gè)數不變時(shí)，得數變化是有規律的”，結論可由學(xué)生用自己的話(huà)講出來(lái)，只求體會(huì )，不求死記硬背。研究和分析具體問(wèn)題中變量之間關(guān)系一般用解析式的形式來(lái)表示，這時(shí)可以把解析式理解成方程，通過(guò)對方程的研究去分析函數問(wèn)題。中學(xué)階段這方面的內容較多，有正反比例函數，一次函數，二次函數，冪指對函數，三角函數等等，小學(xué)雖不多，但也有，如在分數應用題中十分常見(jiàn)，一個(gè)具體的數量對應于一個(gè)抽象的分率，找出數量和分率的對應恰是解題之關(guān)鍵;在應用題中也常見(jiàn)，如行程問(wèn)題，客車(chē)的速度與所行時(shí)間對應于客車(chē)所行的路程，而貨車(chē)的速度與所行時(shí)間對應于貨車(chē)所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 學(xué)好這些函數是繼續深造所必需的;構造函數，需要思維的飛躍;利用函數思想，不但能達到解題的要求，而且思路也較清晰，解法巧妙，引人入勝。
五、建模思想
目前，由世界著(zhù)名數學(xué)家和數學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾提出的“現實(shí)數學(xué)教育”觀(guān)點(diǎn)得到國際數學(xué)教育界的普遍認同，也為廣大數學(xué)教師所接受。這一思想表明，一則學(xué)校數學(xué)具有現實(shí)的性質(zhì)，數學(xué)來(lái)源于現實(shí)生活，再運用到現實(shí)生活中去;二則學(xué)生應該用現實(shí)的方法學(xué)習數學(xué)，即學(xué)生通過(guò)熟悉的現實(shí)生活，自己逐步發(fā)現和得出的數學(xué)結論。這就意味著(zhù)數學(xué)課程的應用性和實(shí)踐性成為國際數學(xué)課程改革的一個(gè)基本趨勢。
例如美國數學(xué)教師協(xié)會(huì )數學(xué)課程標準和2000年標準的基本特點(diǎn)之一都是強調數學(xué)應用;荷蘭從60年代起就開(kāi)始了現實(shí)數學(xué)教育的改革歷程，到90年代初，幾乎所有的荷蘭中小學(xué)生都已經(jīng)在使用根據現實(shí)數學(xué)教育思想編寫(xiě)的數學(xué)課本，注重培養學(xué)生數學(xué)應用意識與實(shí)踐能力;日本的數學(xué)課程設置了綜合課題學(xué)習，同樣也體現了數學(xué)知識綜合應用的關(guān)注。這一系列實(shí)際上強調的是一種數學(xué)建模思想。
所謂數學(xué)模型是對于現實(shí)世界的某一特定研究對象，為了某個(gè)目的，在作了一些必要的簡(jiǎn)化和假設之后運用適當的數學(xué)工具，并通過(guò)數學(xué)語(yǔ)言表達出來(lái)的一個(gè)數學(xué)結構。而數學(xué)建模思想就是把現實(shí)世界中有待解決或未解決的問(wèn)題，從數學(xué)的角度發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，通過(guò)轉化過(guò)程，歸結為一類(lèi)已經(jīng)解決或較易解決的問(wèn)題中去，并綜合運用所學(xué)的數學(xué)知識與技能求得解決的一種數學(xué)思想和方法。
數學(xué)中的各種基本概念都以各自相應的現實(shí)模型作背景。如自然數集是用以描述離散數量的模型;各類(lèi)幾何圖形也都是從現實(shí)中抽象出來(lái)的數學(xué)模型。那些基本的數學(xué)模型使我們能對與之聯(lián)系的實(shí)際問(wèn)題，舉一反三，觸類(lèi)旁通。
例如在平面圖形面積一章復習中，設計了這樣一個(gè)綜合學(xué)習課題:自主運用已學(xué)圖形為自己的房間進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設計。
學(xué)生能順利解決問(wèn)題，關(guān)鍵在于理清各種平面圖形之間的知識聯(lián)系，在教學(xué)中，可以建立一個(gè)平面求積的模型S=ab，從長(cháng)方形求積公式出發(fā)推導出正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形的求積公式，溝通了各平面圖形的內在聯(lián)系;同時(shí)又隨著(zhù)相關(guān)邊長(cháng)的變化，展示出這些平面圖形可以相互轉化。學(xué)生學(xué)會(huì )了建模，有頓悟之感。
在此基礎上，進(jìn)一步讓學(xué)生通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌，知道三角形、四邊形或者正六邊形可以鑲嵌平面，然后自行設計房間鑲嵌方案。在這整個(gè)過(guò)程中，強調了數學(xué)學(xué)習經(jīng)歷“問(wèn)題情境──建立模型──分類(lèi)求解──解釋與應用”的基本過(guò)程，引導學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨立思考、合作探究，實(shí)現了學(xué)習方式的轉變，改變了單一的記憶、接受、模仿的被動(dòng)學(xué)習方式，發(fā)展了學(xué)生搜集和處理信息的能力，以及交流與合作的能力。
當然，在數學(xué)教育中，加強數學(xué)思想和數學(xué)方法的滲透不只是單存的思維活動(dòng)，它本身就蘊涵了情感素養的熏染。而這一點(diǎn)在傳統的數學(xué)教育中往往被忽視了。我們在強調學(xué)習知識和技能的過(guò)程和方法的同時(shí)，更加應該關(guān)注的是伴隨這一過(guò)程而產(chǎn)生的積極情感體驗和正確的價(jià)值觀(guān)�！稑藴省钒选扒楦信c態(tài)度”作為四大目標領(lǐng)域之一，與“知識技能”、“數學(xué)思考”、“解決問(wèn)題”三大領(lǐng)域相提并論，這充分說(shuō)明新一輪的數學(xué)課程標準改革對培養學(xué)生良好的情感與態(tài)度的高度重視。它應該包括能積極參與數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，對數學(xué)有好奇心與求知欲。在數學(xué)學(xué)習活動(dòng)中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。初步認識數學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系及對人類(lèi)歷史發(fā)展的作用，體驗數學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著(zhù)探索與創(chuàng )造，感受數學(xué)的嚴謹性以及數學(xué)結論的確定性，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考的習慣。另一方面引導學(xué)生在學(xué)習知識的過(guò)程中，學(xué)會(huì )合作學(xué)習，培養探究與創(chuàng )造精神，形成正確的人格意識。
現代數學(xué)思想方法的內涵極為豐富，諸如還有集合思想、極限思想、優(yōu)化思想、統計思想、猜想與證明等等，小學(xué)數學(xué)教學(xué)中都有所涉及。我們廣大小學(xué)數學(xué)教師要做教學(xué)有心人，有意滲透，有意點(diǎn)撥，重視數學(xué)史的滲透，重視課堂教學(xué)小結，要以適應小學(xué)生年齡特點(diǎn)的大眾化、生活化方式呈現教學(xué)內容，讓學(xué)生通過(guò)現實(shí)活動(dòng)，主動(dòng)參與、自主探究，學(xué)會(huì )用數學(xué)思維方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生的數學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效地發(fā)展，進(jìn)而提高全民族的數學(xué)文化素養。
主要參考文獻:
1. 《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數學(xué)課程標準》(試驗稿)
2. 和學(xué)新，《新一輪基礎教育課程改革解讀》，《教學(xué)與管理》2002-2-1
3. 徐斌艷，《“現實(shí)數學(xué)教育”中基于情境性問(wèn)題的教學(xué)模式分析》，《外國教育資料》2000-4
4.孔企平，《近年來(lái)國際數學(xué)課程改革的若干趨勢》，《外國教育資料》2000-6
【談小學(xué)數學(xué)思想及其在教學(xué)中的滲透】相關(guān)文章：
數形結合的思想在初中數學(xué)教學(xué)中的滲透03-01
淺談初中數學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透05-26
談生命教育觀(guān)在英語(yǔ)教學(xué)中的滲透03-16
小學(xué)數學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題及其解決措施05-08
談幻燈投影在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中的作用03-18