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探索，猜想，論證
小學(xué)生學(xué)習數學(xué)的過(guò)程，是一種復雜的、有規律的、在教師引導下的認識過(guò)程。在教學(xué)中，可以結合具體教學(xué)內容，根據認知發(fā)生原理，按照“實(shí)驗探索——猜想論證——應用推廣”這一人類(lèi)掌握數學(xué)的思維活動(dòng)序列設計教學(xué)程序�，F以“方圓率”一節練習課為例，談小學(xué)數學(xué)教學(xué)設計。一、實(shí)驗探索
愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，提出一個(gè)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要。在教學(xué)中，教師首先應該注意創(chuàng )設情境，讓學(xué)生帶著(zhù)疑問(wèn)積極思維，去“實(shí)驗”、去“探索”、去“發(fā)現”……。例如在講授“方圓率”時(shí)，教師可設計以下步驟引導學(xué)生進(jìn)行探索發(fā)現。
1.設疑引思
（1）右圖正方形的面積是25平方厘米，求圖中陰影部分的面積。附圖{圖}
學(xué)生根據5×5＝25，可得知正方形邊長(cháng)是5厘米，同時(shí)還知圓的直徑也是5厘米，于是圓的面積、陰影部分的面積均可求出。
（2）如果右上圖正方形的面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。
此題用上面的方法無(wú)法求出正方形的邊長(cháng)（圓的直徑），也就是說(shuō)在小學(xué)生現有的知識庫中，無(wú)法找到現成的解答方法。怎么辦呢？這時(shí)教師可引導學(xué)生另辟蹊徑。
2.實(shí)驗探索
組織學(xué)生按下面步驟進(jìn)行實(shí)驗探究。
（1）計算全班分成四個(gè)小組，分別依次計算出邊長(cháng)是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面積和直徑是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圓的面積，以及圓面積與正方形面積的百分比。
（2）匯報請各組選出代表匯報計算結果，并填好下表。
直徑12345圓形面積0.7853.147.06512.5619.625邊長(cháng)12345正方形面積1491625圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直徑6789……圓形面積28.2638.46550.2463.585……邊長(cháng)6789……正方形面積36496481……圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……
（3）觀(guān)察觀(guān)察比較上表，學(xué)生初步發(fā)現：如果圓的直徑和正方形的邊長(cháng)相等，那么當π取3.14時(shí)，圓面積占正方形面積的百分比均為78.5％。
二、猜想論證
數學(xué)方法理論的倡導者G.波利亞曾說(shuō)過(guò)，在數學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責任的態(tài)度。他認為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。他說(shuō)，如果在學(xué)習數學(xué)時(shí)還有數學(xué)發(fā)現方面的什么事情可以做的話(huà)，就必須使學(xué)生有個(gè)提問(wèn)題的機會(huì )，在這些問(wèn)題中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實(shí)一個(gè)數學(xué)事實(shí)。然而普通教科書(shū)不提供那樣的機會(huì )。所以，在教學(xué)中當學(xué)生初步發(fā)現問(wèn)題后，還要按照“問(wèn)題→反復思索→聯(lián)想、頓悟→提出假說(shuō)→驗證結論”這個(gè)數學(xué)猜想的思維模式進(jìn)行教學(xué)。例如教師在學(xué)生初步發(fā)現問(wèn)題的基礎上，可引導他們對上面的發(fā)現進(jìn)行反復思索、分析概括，并由“圓周率”通過(guò)聯(lián)想、頓悟后提出有關(guān)“方圓率”的猜想：如果圓的直徑和正方形的邊長(cháng)相等，那么圓面積占正方形面積的比是一個(gè)固定的數。
最后再啟發(fā)學(xué)生對這一猜想進(jìn)行論證（直觀(guān)的驗證或邏輯的證明），使他們真正理解“方圓率”。
a設正方形的邊長(cháng)為a，則面積為S[,正]＝a[2]；圓的半徑為─，則2a圓的面積為S[,圓]＝（─）[2]π。2aa[2]（─）[2]π──πS[,圓]24πS[,圓]π因為───＝──────＝────＝─，所以───＝─，證畢。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4
三、應用推廣
“讀書(shū)是學(xué)習，使用也是學(xué)習，而且是更重要的學(xué)習�！苯虒W(xué)中，當學(xué)生理解了所學(xué)的知識以后，教師還要引導他們將所學(xué)的東西用心消化，吸收到自己的知識系統中，吸收到學(xué)習者的整體智力結構中，使得這些知識能在更廣泛的情境中得到應用和擴展。例如學(xué)生理解了“方圓率”以后，可設計出以下不同層次的練習題啟發(fā)學(xué)生回答，這樣可深化他們對知識的理解與掌握，培養了創(chuàng )造能力。
1.基本訓練
已知右圖正方形面積是10平方厘米，求陰影部分面積。附圖{圖}
學(xué)生依據上面的規律，便可進(jìn)行如下計算。附圖{圖}
2.變式訓練
（1）用硬紙做一個(gè)邊長(cháng)為10厘米的正方形和一個(gè)直徑為10厘米的圓，再將圓剪成兩個(gè)半圓。
①引導學(xué)生用兩個(gè)半圓在正方形里擺各種圖形。如：附圖{圖}
②啟發(fā)學(xué)生討論，總結出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。
（2）用硬紙做一個(gè)邊長(cháng)為10厘米的正方形和一個(gè)直徑為10厘米的1圓，再將圓剪成四個(gè)──圓。
①引導學(xué)生用四塊──圓在正方形內擺各種圖形，如：附圖{圖}
②啟發(fā)學(xué)生認真觀(guān)察，討論總結出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。
3.拓展訓練
（1）用硬紙做一個(gè)邊長(cháng)為10厘米的正方形，并在正方形內畫(huà)一個(gè)最大的圓。
①把這個(gè)正方形平均分成兩等份（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}
②把這個(gè)正方形平均分成四等份（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}
（2）用硬紙做若干個(gè)邊長(cháng)均為10厘米的正方形，并在每個(gè)正方形內畫(huà)一個(gè)最大的圓。
①用這些小正方形擺成一個(gè)大正方形（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}
②用這些小正方形擺成一個(gè)長(cháng)方形（如圖），啟發(fā)學(xué)生總結出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}
多年的教改實(shí)踐結果顯示：結合教材和學(xué)生實(shí)際，按照人的認識進(jìn)化過(guò)程或發(fā)生過(guò)程，采用“再創(chuàng )造”的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，既有利于學(xué)生對知識的理解與掌握，又可使他們的形象思維、抽象思維和頓悟思維得到發(fā)展，在教學(xué)（學(xué)習）的全過(guò)程中學(xué)生還領(lǐng)悟到了創(chuàng )造科學(xué)的偉大智者們，在那條荊棘叢生的科學(xué)研究的道路上奮力攀登的風(fēng)采，從而培養了他們的創(chuàng )造精神。
作者：劉庠
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