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基于因子分析的套利定價(jià)模型及實(shí)證研究
摘 要：眾所周知，建立套利定價(jià)模型的關(guān)鍵在于因素的篩選，計算量很大。而因子分析能將為數眾多的原始指標變量經(jīng)過(guò)分析綜合為少數幾個(gè)公共因子變量，從而大大減少計算的復雜度。本文利用因子分析的方法對11個(gè)因素進(jìn)行篩選，確定四個(gè)能夠很好地反映所有因素包含的信息但又互不相關(guān)的公共因子變量，并建立套利定價(jià)模型，實(shí)證檢驗說(shuō)明，通過(guò)該方法進(jìn)行因素篩選建立的套利定價(jià)模型具有較好的定價(jià)效果。?
關(guān)鍵詞:因子分析；套利定價(jià)理論；股市；模型??
一、問(wèn)題的提出?
1976年，Stephen Ross提出了著(zhù)名的資產(chǎn)定價(jià)模型——套利定價(jià)理論（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該理論假設任何風(fēng)險證券的收益率受K個(gè)因素的影響，由一個(gè)K－因素線(xiàn)性模型給出：?
r?i=a?i+?kk=1b?ikf?k+ε?i， i=1,2,…,n（1）?
其中：E（ε?i）=E（f?k）=E（ε?iε?j）=E（ε?if?k)=0；E(ε?2?i)=s?2?i＜S?2；r?i為第i種風(fēng)險證券的收益率；a?i表示所有影響風(fēng)險證券收益率的因素都為零時(shí)風(fēng)險證券i的平均收益率；f?k表示第k個(gè)因素的值；b?ik表示風(fēng)險證券i對第k個(gè)因素的敏感性；ε?i為隨機擾動(dòng)項。?
當不存在漸進(jìn)套利機會(huì )時(shí)，由K－因素線(xiàn)性模型可以得到如下的近似定價(jià)模型——套利定價(jià)模型（APT）：?
E（r?i）=a?i≈λ?0+?Kk=1b?ikλ?k（2）?
其中，λ?k稱(chēng)為風(fēng)險證券i對第k個(gè)因素的風(fēng)險溢價(jià)。如果將誤差記為v?i≡a?i-λ?0-?Kk=1b?ikλ?k，則當不存在漸進(jìn)套利機會(huì )時(shí)，有limn→∞1n?ni=1v?2?i=0。?
建立套利定價(jià)模型的關(guān)鍵在于因素的篩選。然而，一種風(fēng)險證券的收益率受多方面因素的影響，同時(shí)我們也不知道究竟需要多少個(gè)因素來(lái)構造APT。假設有n個(gè)因素對證券的收益率有影響，則可能有?nm=1C?m?n種因素的組合。要從如此眾多的因素組合中篩選出最優(yōu)的因素組合，其計算量可想而知。?
一般來(lái)說(shuō)，因子的辨識和確定有兩種基本的方法：統計方法和推理方法。統計方法涉及從一個(gè)全面的資產(chǎn)收益集（通常遠超過(guò)用來(lái)估計和檢驗的樣本資產(chǎn)收益）來(lái)確定因子，采用這些收益的樣本數據來(lái)構造表示因子的資產(chǎn)組合，如Connor 和 Korajczyk（1988）、Lehmann 和 Modest（1988），前者使用因子分析方法，后者利用主元分析方法。推理方法是基于捕捉經(jīng)濟的系統風(fēng)險原則來(lái)辨識因子的，例如Fama 和 French（1988，1996）使用公司特征來(lái)構建因子資產(chǎn)組合。?
在這類(lèi)研究中，Roll 和 Ross (1986）的論文是一篇經(jīng)典文獻，其研究方法為后來(lái)的眾多學(xué)者所采用。在將股票分組后，對每一組股票首先采用因子分析方法來(lái)估計影響股票收益率的因子數目，并估計每只股票的因子載荷；然后，利用股票收益率數據和已估計出的因子載荷做橫截面回歸，估計因子的風(fēng)險溢價(jià)，進(jìn)而檢驗多因子模型的適用性。此外，由于A(yíng)PT認為股票收益率的風(fēng)險可以分為可分散風(fēng)險和不可分散風(fēng)險，其中可分散風(fēng)險部分的均值為零，在大樣本中可忽略不計，而不可分散風(fēng)險部分由K個(gè)共同因子決定，并通過(guò)K個(gè)因子系數反映股票收益率與每個(gè)非零風(fēng)險溢價(jià)之間的關(guān)系。但是，現實(shí)中可能某一變量本身與不可分散風(fēng)險不相關(guān)（即不應當作為因子出現），但在A(yíng)PT模型中卻被不恰當定價(jià)，成為一個(gè)共同因子。雖然由實(shí)際數據生成的因子模型通過(guò)了顯著(zhù)性檢驗，但卻無(wú)法肯定這些因子就是不可分散風(fēng)險的溢價(jià)，也無(wú)法排除可分散風(fēng)險成為共同因子的可能。鑒于此，我們有必要對APT進(jìn)行“自方差”檢驗這里用“自方差”只是一種強調性說(shuō)法，其實(shí)質(zhì)就是該項資產(chǎn)收益率的方差。。從長(cháng)期來(lái)看，證券收益率的自方差與收益率均值之間總是保持很高的相關(guān)性，而自方差又是每一種證券所特有的，屬于可分散風(fēng)險。如果APT有效，那么單個(gè)證券的自方差就不應當對期望收益率起作用，因為APT認為只有不可分散的風(fēng)險才對定價(jià)起作用，才可以成為定價(jià)因子。 “自方差”檢驗就是要證明單個(gè)股票收益率的自方差是否為共同因子，可否用于定價(jià)，要接受還是否定APT。鑒于此，他們也利用 “自方差”檢驗來(lái)對多因子模型做了補充研究。?
到目前為止，我國在套利定價(jià)理論因素確定方面的研究并不多，主要是利用多元線(xiàn)性回歸構造套利定價(jià)模型，這一方法的計算量大，其包含的因素要么過(guò)多要么不全面，而且因素之間的關(guān)聯(lián)程度較高。?
而因子分析是一種常用的統計降維技術(shù)，能夠利用原始指標變量中某些指標之間的相關(guān)性對多變量的面板數據進(jìn)行最佳綜合和簡(jiǎn)化，將為數眾多的指標綜合為少數幾個(gè)公共因子，以較少的幾個(gè)公共因子變量反映原始指標變量的大部分信息，從而大大降低了分析問(wèn)題的難度。?
另外，因子分析法具有兩個(gè)獨特的優(yōu)點(diǎn)：?
�。�1）公共因子變量是根據原始指標變量的信息進(jìn)行綜合簡(jiǎn)化得到的。一方面大大減少了變量數目，將為數眾多的原始指標變量縮減為極少數幾個(gè)公共因子變量；另一方面又盡可能保留了大部分原始指標變量的信息，是對某些原始指標變量信息的綜合和反映，仍然具有命名解釋性。?
�。�2）通過(guò)對原始指標變量進(jìn)行綜合和簡(jiǎn)化得到的公共因子變量之間基本上不存在線(xiàn)性相關(guān)性，更利于對變量進(jìn)行分析。?
正是因子分析的這些特點(diǎn)以及APT對因子組合的要求決定了因子分析適合對APT的因素進(jìn)行綜合和簡(jiǎn)化。因此，本文引入了因子分析法對APT的因素進(jìn)行篩選。?
二、用因子分析法確定APT中的因素組合?
在已有的研究中，一般認為APT中至少包含有三類(lèi)不同的因素：反映總體經(jīng)濟活動(dòng)的指標、通貨膨脹率以及某些類(lèi)型的利率因素。鑒于此，本文將國民生產(chǎn)總值、工業(yè)生產(chǎn)總值、第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、全國居民消費水平、通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度、社會(huì )消費品零售總額、貨幣供應總量、年凈出口貿易總額、利率期限結構等11個(gè)因素作為原始指標變量，利用我國1980年到2003年《統計年鑒》中的數據進(jìn)行因子分析。?
�。ㄒ唬� 對原始指標變量進(jìn)行相關(guān)性分析?
因子分析從眾多的原始指標變量中構造出少數幾個(gè)具有代表意義的公共因子變量，它要求原始指標變量之間要具有比較強的相關(guān)性，否則就無(wú)法從中綜合出能反映某些變量共同特性的少數公共因子變量來(lái)，原始指標變量就不適于進(jìn)行因子分析。因此，在因子分析之前需要對原始指標變量進(jìn)行相關(guān)性分析。?
本文采用的是KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗和Bartlett球度檢驗。統計量KMO的值為0.771，大于0.6，根據統計學(xué)家 Kaiser給出的標準，原始指標變量適合做因子分析；Bartlett球度檢驗給出的自由度為55的卡方近似值為780.924，相伴概率為 0.000，小于顯著(zhù)水平0.05，適合進(jìn)行因子分析。由KMO檢驗和Bartlett球度檢驗結果可知，原始指標變量適合做因子分析。?
與此同時(shí)，本文還對11個(gè)原始指標變量進(jìn)行了反映像相關(guān)矩陣檢驗，在反映像相關(guān)矩陣中，所有偏相關(guān)系數的絕對值均小于0.05，說(shuō)明所有的原始指標變量都適于進(jìn)行因子分析。?
�。ǘ� 構造公共因子變量?
構造公共因子變量是因子分析的一個(gè)核心問(wèn)題。因子分析中確定公共因子變量的方法很多，本文采取的是主元分析法。?
1.確定保留公共因子變量的數目?
根據公共因子變量與其特征值的散點(diǎn)圖（圖1）可以看出，前面4個(gè)公共因子變量的特征值變化非常明顯，從8.744到0.126，而從第5個(gè)公共因子變量開(kāi)始，特征值的變化趨于平穩。這說(shuō)明提取前4個(gè)公共因子變量對原始指標變量的信息描述有顯著(zhù)作用。為了能夠得到更精確的APT，本文確定保留4個(gè)公共因子變量。?
2.因子分析效果（見(jiàn)表1） ?
因子分析的最終解解釋了每個(gè)原始指標變量99.5％以上的方差，每個(gè)原始指標變量的共同度幾乎都在98％以上，與1非常接近，也就是說(shuō)，原始指標變量所攜帶的信息不能被公共因子變量解釋的部分不到2％。這說(shuō)明提取出的公共因子變量基本上已經(jīng)反映了原始指標變量所有的信息，只有極少數信息丟失�？梢�(jiàn)，因子分析的效果非常好。?
3.因子提取和因子旋轉的結果（表略） ?
根據公共因子變量與其特征值的散點(diǎn)圖的判斷，本文提取了四個(gè)公共因子變量對原始指標變量總體進(jìn)行描述。這4個(gè)公共因子變量的方差貢獻（特征值）分別為 8.744、1.348、0.729和0.126。由11個(gè)公共因子變量構成的初始解中，前四個(gè)公共因子變量解釋了原始指標變量總方差的99.522％，尤其是第一個(gè)公共因子變量，解釋了11個(gè)原始指標變量總方差的79.490％。?
在進(jìn)行因子旋轉以后，這四個(gè)公共因子變量的特征值分別為8.444、1.231、1.102和0.171，分別可以解釋原始指標變量的76.192％、11.194％、10.014％和1.552％，共解釋了11個(gè)原始指標變量總方差的99.522％。?
可見(jiàn)，提取的四個(gè)公共因子變量反映了原始指標變量的幾乎所有信息，能夠代替11個(gè)原始指標變量構造多因素線(xiàn)性模型。?
（三） 公共因子變量的命名解釋?
公共因子變量的命名解釋是因子分析法的又一核心問(wèn)題。原始指標變量都是具有具體經(jīng)濟含義的變量，經(jīng)過(guò)主成分分析以后，對這些變量進(jìn)行了線(xiàn)性變換，得到的新的公共因子變量對原始指標變量進(jìn)行了綜合和簡(jiǎn)化。因此，有必要對新的公共因子變量進(jìn)行解釋?zhuān)赃M(jìn)一步說(shuō)明影響原始指標變量系統構成的主要因素和系統特征。本文采用方差極大法對因子負荷矩陣進(jìn)行旋轉得到公共因子變量和原始指標變量之間的關(guān)系。?
1.旋轉前后因子負荷矩陣（見(jiàn)表2） ?
從表2可以看出，在進(jìn)行因子旋轉前，除了通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度和利率期限結構三個(gè)原始指標變量外，其他8個(gè)反映一個(gè)國家總體經(jīng)濟狀況情況的原始指標變量對第一個(gè)公共因子變量的荷載都很大，絕對值均在0.9以上；年凈出口貿易總額、通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度和利率期限結構對第二個(gè)公共因子變量的荷載都比較大；而通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度則同時(shí)對第三個(gè)公共因子變量有較大的荷載；通貨膨脹率、年凈出口貿易總額和利率期限結構同時(shí)對第四個(gè)公共因子的荷載比較大�？梢�(jiàn)，四個(gè)因子中有一些信息重合了，一個(gè)公共因子變量在很多原始指標變量上都有較高的荷載，不易于對公共因子變量進(jìn)行解釋并找到各個(gè)公共因子的經(jīng)濟含義。因此，有必要對此結果進(jìn)行轉換。?
因子旋轉則可以使因子負荷矩陣更加簡(jiǎn)單，每個(gè)公共因子變量在相應的原始指標變量上的荷載盡可能多地為零，而每個(gè)原始指標變量在對應的公共因子變量上的荷載的絕對值大的盡可能少。這樣，每個(gè)公共因子變量盡可能包含不同的信息，不同的原始指標變量盡可能地包含在不同的公共因子變量中，從而，每個(gè)公共因子變量的含義更加明晰。?
本文采用方差極大法對因子荷載矩陣進(jìn)行了旋轉，旋轉之后，幾乎每個(gè)公共因子變量都具有了比較明確的經(jīng)濟含義。?
第一個(gè)公共因子變量主要反映了社會(huì )消費品零售總額、工業(yè)總產(chǎn)值、第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、全國居民消費水平、國民生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、貨幣供應總量和年凈出口貿易總額等8個(gè)反映一個(gè)國家總體經(jīng)濟水平的原始指標變量的信息；第二個(gè)公共因子變量主要反映通貨膨脹率的相關(guān)信息；第三個(gè)公共因子變量反映的是全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度的信息；第四個(gè)公共因子變量則是反映利率期限結構的狀況�；旧厦總�(gè)原始指標變量已經(jīng)被歸于某一個(gè)公共因子變量中�？梢哉f(shuō)，旋轉的效果還是不錯的。?
2.公共因子變量的命名解釋?
由上面的分析可知，第一個(gè)公共因子變量主要反映一個(gè)國家總體經(jīng)濟水平，第二個(gè)公共因子變量主要反映通貨膨脹率，第三個(gè)公共因子變量反映了全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度，第四個(gè)公共因子變量反映了利率期限結構。由此可以看出，風(fēng)險證券的預期收益率主要與國家的總體經(jīng)濟水平有關(guān)，同時(shí)還與國內的通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度、利率期限結構這三個(gè)因素有關(guān)。?
統計分析表明，這四個(gè)公共因子變量都是均值為0，方差為1的隨機變量，同時(shí)兩兩之間完全不相關(guān)。因此很適合作為APT的因素。?
三、APT的實(shí)證檢驗?
經(jīng)由以上分析，確定了國家總體經(jīng)濟水平、通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度和利率期限結構四個(gè)公共因子變量，并通過(guò)公共因子得分由11個(gè)原始指標變量1980-2003年的年數據計算出了這四個(gè)公共因子變量相應的值。為了構造套利定價(jià)模型，本文首先根據式（1），選取了廣電電子、愛(ài)使股份、華源制藥、方正科技等十只股票1995年到2005年的年收益率分別作為被解釋變量，以四個(gè)公共因子變量相應的1995年到2005年的數據為解釋變量進(jìn)行了多元線(xiàn)性回歸，得到每只股票的a?i、b?i1、b?i2、b?i3和b?i4；然后根據式（2），以a?i為被解釋變量，b?ik(k=1,2,3,4)為解釋變量再次進(jìn)行多元線(xiàn)性回歸，得到套利定價(jià)模型：?
a?i=0.189-1.051λ?1+0.02067λ?2-0.0233λ?3-0.238λ?4（3）?
在式（3）中，我們注意到：一方面，風(fēng)險證券i只是對通貨膨脹率的敏感性為正數，即風(fēng)險證券i對通貨膨脹率的風(fēng)險溢價(jià)越大，該證券的期望收益率也就越大；另一方面，風(fēng)險證券i對國家總體經(jīng)濟水平、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度和利率期限結構的敏感性均為負數，即風(fēng)險證券i對通貨膨脹率等的風(fēng)險溢價(jià)越大，該證券的期望收益率也就越小。?
為了檢驗本文得到的套利定價(jià)模型的效果，本文另外選取ST興業(yè)、豫園商城、金杯汽車(chē)、深達聲、ST億安等10只股票，利用式（3）對其進(jìn)行定價(jià)，以模型預測值和實(shí)際平均收益率的差異作為評價(jià)模型的標準。由于A(yíng)PT只是一個(gè)近似的定價(jià)模型，應用于個(gè)別股票可能存在較大誤差，所以常用來(lái)對投資組合進(jìn)行定價(jià)。因此本文構造以上十只股票的簡(jiǎn)單等權組合，用y=1n?ni=1(r?i預測-r?i?實(shí)際)?2度量誤差，計算結果為y=0.129。?
實(shí)證檢驗表明，本文得到的套利定價(jià)模型（3）具有較好的定價(jià)效果，但仍存在12.9％的定價(jià)誤差。本文認為可能是由于如下原因造成的：?
我國對宏觀(guān)經(jīng)濟指標的統計起步較晚，很多宏觀(guān)經(jīng)濟指標的數據不齊全，統計標準也不太一致，而且2000年以前的宏觀(guān)經(jīng)濟指標基本上只有年數據，由此造成可供利用的樣本數據太少。與此同時(shí)，由于宏觀(guān)經(jīng)濟指標采用年數據，為了與之對應，股票的收益率也只能采用年數據，但我國股票市場(chǎng)只有12年左右的歷史，這進(jìn)一步造成樣本容量最多只可能為12。在構建APT時(shí)，為了盡可能地擴大樣本容量，本文只選取了有10年左右歷史的股票，造成股票數目較少，類(lèi)別比較單一。因此在回歸分析中可能導致回歸方程的顯著(zhù)性和擬合優(yōu)度不高（本文在利用回歸分析得到APT的過(guò)程中，確實(shí)發(fā)現有一些回歸方程的顯著(zhù)性和擬合優(yōu)度不高），最終導致預測結果存在較大誤差。本文相信，如果有更好的樣本數據，我們能夠進(jìn)一步減小APT的定價(jià)誤差。?
四、結論?
本文通過(guò)引入因子分析法，對國民生產(chǎn)總值、全國居民消費水平、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資總額、通貨膨脹率、利率期限結構等11個(gè)因素進(jìn)行了綜合和簡(jiǎn)化，提取了 4個(gè)具有明確經(jīng)濟意義的公共因子，分別反映了國家總體經(jīng)濟水平、通貨膨脹率、全社會(huì )固定資產(chǎn)投資增長(cháng)速度和利率狀況。有關(guān)的統計分析說(shuō)明因子分析法提取的這四個(gè)公共因子變量效果非常好。本文利用這四個(gè)公共因子變量構建了套利定價(jià)模型，并對模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗。實(shí)證檢驗表明，本文通過(guò)因子分析法進(jìn)行因素篩選得到的套利定價(jià)模型具有較好的定價(jià)效果。?
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