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有限元法在折疊紙盒強度分析中的應用
摘 要：介紹了有限元分析的方法，討論了有限元法在折疊紙盒強度分析中的應用，并且結合實(shí)際研究提出了有限元法在分析紙盒強度時(shí)要考慮的系列問(wèn)題，同時(shí)為折疊紙盒強度的研究提供了一種新思路，推動(dòng)了計算機輔助分析在包裝工程方面的應用。
關(guān)鍵詞：折疊紙盒 強度 等效模擬 有限元法
折疊紙盒憑借其原材料的環(huán)保性、可裝潢性、可印刷性等其他包裝不可替代的特性[1]，在物資流通和包裝行業(yè)深受人們的青睞，廣泛應用于食品、藥品、化妝品、煙酒等日常生活用品的包裝。盡管折疊紙盒不是運輸包裝容器，但作為一種“剛”性包裝容器而言，折疊紙盒也應具有足夠的強度來(lái)抵抗變形和破壞的力量，才能對商品提供足夠的保護和便于銷(xiāo)售時(shí)對商品進(jìn)行陳列和展示[2]。
近年來(lái)，國內外學(xué)者對折疊紙盒的抗壓強度進(jìn)行了不少研究，王金林[3]論證了紙盒抗壓強度和白板紙挺度的關(guān)系;Grangard[4]通過(guò)大量的試驗確定經(jīng)驗公式BRDA式具有較高的相關(guān)性;余本農[2]根據瓦楞紙箱抗壓強度公式推導出折疊紙盒的經(jīng)驗公式;劉慧和張新昌[5-6]研究了管式折疊紙盒的結構和幾何尺寸對抗壓強度的影響，并且探討折疊紙盒抗壓強度經(jīng)驗計算公式;袁毅等[7]研究鎖底結構形式對紙盒承載力的影響。但以上學(xué)者的研究主要還停留在試驗研究的基礎上，由于試驗的不穩定性以及各種尺寸折疊紙盒試驗樣品獲取困難，要想更好地掌握折疊紙盒承載能力和抗壓變形能力不能只停留在單純的試驗研究上，應該從原材料自身入手，結合理論與試驗結論，借助于有限元分析技術(shù)來(lái)對折疊紙盒承載能力和抗壓變形能力進(jìn)行仿真模擬，不僅可以縮短實(shí)驗周期，節約試驗費用，還能夠對紙盒各個(gè)部位作研究和討論，更為直觀(guān)地得到折疊紙盒各個(gè)部位的力學(xué)狀態(tài)對包裝性能的影響。
一、有限元法的概念
有限單元法最初是20世紀50年代作為處理固體力學(xué)問(wèn)題的方法出現的，并隨著(zhù)電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現代計算方法。作為計算機輔助工程CAE的一種，使用它大大提高了產(chǎn)品開(kāi)發(fā)、設計、分析和制造的效率和產(chǎn)品性能[8]。
有限元法是一種基于變分法而發(fā)展起來(lái)的求解微分方程的數值計算方法，其基本思想是把一個(gè)連續的介質(zhì)(或構件)看成是由有限數目的單元組成的集合體，并在每一個(gè)單元中設定有限數量的節點(diǎn)，在各單元內假定具有一定的理想化的位移和應力分布模式，各單元間通過(guò)節點(diǎn)相連接，并藉以實(shí)現應力的傳遞，各單元之間的交接面要求位移協(xié)調，利用彈性力學(xué)、固體力學(xué)、結構力學(xué)等力學(xué)中的變分原理去建立一套線(xiàn)性方程組，從而將一個(gè)連續域中的無(wú)限自由度問(wèn)題轉化為離散域中的有限自由度問(wèn)題，求解這些方程組，便可得到各單元和結點(diǎn)的位移、應力。簡(jiǎn)言之，就是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復雜問(wèn)題后再求解，即化整為零分析，積零為整研究。對于不同物理性質(zhì)和數學(xué)模型的問(wèn)題，有限元求解法的基本步驟是相同的，分為前處理、處理和后處理3個(gè)階段，只是具體公式推導和運算求解不同。
二、有限元法在分析紙盒強度時(shí)要考慮的問(wèn)題
2.1 研究參數的選取問(wèn)題
根據理論分析可以得出，折疊紙盒的抗壓強度受到紙板原材料性能以及紙盒的結構形式和結構參數的影響。紙板原材料性能包括紙板的環(huán)壓強度、挺度、厚度和定量等，紙盒結構形式包括管式、盤(pán)式、管盤(pán)式和非管非盤(pán)式等，紙盒結構參數主要指的是紙盒的幾何尺寸長(cháng)、寬和高。對于研究紙盒強度問(wèn)題，在單純的試驗研究時(shí)首先是確定紙板原材料和紙盒結構形式，然后對改變不同幾何結構參數的紙盒進(jìn)行測試，看紙盒是否滿(mǎn)足強度和剛度的要求。
其實(shí)，紙盒的結構形式和原材料性能在很大程度上決定了紙盒的特點(diǎn)和工藝效果，提高紙板的挺度和環(huán)壓強度，優(yōu)化紙盒的結構和幾何尺寸都可以提高紙盒的抗壓強度，若是僅僅靠改變結構參數來(lái)研究紙盒強度性能，很難做到對紙盒抗壓強度的系統化研究。而且目前對紙盒強度的研究主要是基于“設計―盒樣―試驗―修改”不斷循環(huán)的優(yōu)化過(guò)程模式，這樣既麻煩又浪費大量成本。所以在基于有限元法研究紙盒各個(gè)參數的同時(shí)還應該考慮紙盒結構形式、原材料屬性以及還未進(jìn)行過(guò)研究的參數。另外，有限元模擬分析既可以針對某一參數變量的研究，也可以對多參數的交互作用進(jìn)行研究，我們可以根據需要靈活運用。
2.2 有限元等效模擬分析問(wèn)題
有限元法對紙盒壓縮過(guò)程的數值模擬就是利用一定的方法，將結構和應力變化的復雜過(guò)程近似模擬出來(lái)，它包括結構靜力學(xué)的計算和結構非線(xiàn)性的計算兩部分。在有限元仿真模擬分析中，幾何實(shí)體模型的建立及簡(jiǎn)化、單元類(lèi)型的選取、有限元網(wǎng)格模型的生成、約束條件的設置和載荷的施加都顯得尤為重要，它們都將直接影響到最終仿真計算結果的精確性。
(1)幾何模型建立及簡(jiǎn)化問(wèn)題
折疊紙盒的受力壓縮過(guò)程是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，考慮到壓縮的復雜性和多樣性對有限元分析計算結果的影響，必須對紙盒結構進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，把實(shí)際結構簡(jiǎn)化成計算模型，然后再利用有限元法來(lái)分析解決問(wèn)題。為了方便有限元建模及計算，在不失真的前提下，對紙盒結構可做如下的簡(jiǎn)化處理。
�、勹b于紙板原材料的特性，將紙板等效成一塊正交各向異性的復合材料板;②忽略非承載件的影響，將紙盒的六個(gè)面板都看作是四邊簡(jiǎn)支板，忽略紙盒上的小結構，如側板上的襟片以及插舌等;③認為結構中的粘合是理想粘合，忽略襟片粘合不牢所引起的強度弱化問(wèn)題。
由于紙盒結構規則，對紙盒結構進(jìn)行合理簡(jiǎn)化之后，可以選擇直接在有限元分析軟件ANSYS中采用“自底向上”法建立模型。需要注意的是，簡(jiǎn)化一些無(wú)關(guān)緊要的細節能使分析求解盡可能地高效，但是隨著(zhù)襟片和其它一些細節被簡(jiǎn)化，在它們鄰近區域內仿真模擬計算出的應力值可能不準確，導致該區域計算的結果不能反映真實(shí)應力。因此，可以考慮采用在模型中添加該細節重新計算、子模型法和外插值法3種方案對局部應力進(jìn)行考察。
(2)單元類(lèi)型選擇問(wèn)題
在有限元分析過(guò)程中，對于不同的問(wèn)題，需要應用到不同特性的單元，ANSYS單元庫中提供了超過(guò)250種的不同單元類(lèi)型，每一種單元都是專(zhuān)門(mén)為有限元問(wèn)題而設計的。因此，單元選擇不當，直接影響到計算能否進(jìn)行和計算結果的精度。根據紙板原材料的結構，由于紙板的厚度相對較薄，理論上可以將其簡(jiǎn)化為正交各向異性薄板。在薄板構件的有限元分析中，一般采用殼體單元或者三維實(shí)體單元進(jìn)行分析。根據國內外一些研究資料和有限元分析數據，采用殼體單元對紙板結構進(jìn)行分析可以獲得足夠精確的結果，并且采用殼體單元分析可以比采用實(shí)體單元分析節省大量的時(shí)間。
殼單元是為有效建立薄的結構而特別設計的單元類(lèi)型，它用于主尺寸不小于10倍厚度的結構。ANSYS中提供了一系列殼體單元，常見(jiàn)的有：SHELL63、SHELL43、SHELL93、SHELL181等。其中SHELL181是一個(gè)4節點(diǎn)的四邊形薄板殼結構，如圖1所示，它含有I、J、K、L四個(gè)節點(diǎn)，每個(gè)節點(diǎn)含有6個(gè)自由度，即沿X、Y、Z方向上的三個(gè)平動(dòng)自由度和繞X、Y、Z軸的三個(gè)轉動(dòng)自由度。它可以支持材料塑性、應力剛化、大應變，適用于從薄到中等厚度的薄板殼結構。因此，根據紙板本身特性和紙盒壓縮的實(shí)際過(guò)程，為了獲得更精確的模擬數據，建議選擇SHELL181單元類(lèi)型進(jìn)行分析。
(3)網(wǎng)格劃分問(wèn)題
ANSYS的運算最終是通過(guò)有限單元法進(jìn)行，因此對建立好的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分是ANSYS分析的一個(gè)重要內容。網(wǎng)格劃分直接影響到計算結果的精度和計算速度，甚至會(huì )因為網(wǎng)格劃分不合理而導致計算不收斂。目前對于網(wǎng)格劃分，有兩種劃分方式：自由網(wǎng)格劃分和映射網(wǎng)格劃分，這兩種網(wǎng)格劃分方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。自由網(wǎng)格劃分適合于初學(xué)者使用，劃分耗時(shí)較少，而映射網(wǎng)格計算結果的精度一般要高于自由網(wǎng)格的計算精度。充分考慮到紙盒各部位的結構，可以采用自由網(wǎng)格劃分和映射網(wǎng)格劃分相結合的方法。對紙盒面板結構使用自由網(wǎng)格劃分，在可能出現應力集中的位置或擬定的重點(diǎn)考察位置采用映射網(wǎng)格劃分，使之能以較高的精度得到這些位置的應力，從而保證計算結果的精度。
另外，網(wǎng)格數量的多少影響計算結果的精度和計算分析時(shí)間，但并非網(wǎng)格劃分的越細得到的結果就越好，因為網(wǎng)格太密太細，會(huì )占用大量的分析時(shí)間。為了考察網(wǎng)格劃分的合理程度，在計算模型建立后進(jìn)行試算，以考察模型精度，特別是重點(diǎn)考察區域的精度。對于紙板類(lèi)結構，保證單元邊長(cháng)在lmm-2mm之間時(shí)基本都能取得理想的結果。
(4)約束與加載問(wèn)題
建立紙盒有限元分析模型應當在每個(gè)坐標軸方向上至少給定一個(gè)約束，受約束節點(diǎn)的數量根據實(shí)際情況具體確定。定義約束條件是一個(gè)容易產(chǎn)生較大誤差的地方，紙盒的約束是根據其具體結構確定的。紙盒的壓縮試驗是在上下兩塊光滑的壓盤(pán)上進(jìn)行的，顯然壓盤(pán)的剛度比紙盒大的多，上壓盤(pán)以緩慢的速度加載，最后將紙盒壓潰。當紙盒在水平壓盤(pán)上加載受壓時(shí)由于摩擦力的作用與上壓盤(pán)接觸的紙盒面板只會(huì )沿豎直方向被壓縮，而與下壓盤(pán)接觸的紙盒面板相當于被固定在水平的壓盤(pán)上，不會(huì )有水平的滑動(dòng)也沒(méi)豎直方向的壓縮。故對紙盒施加約束時(shí)，應將紙盒受壓時(shí)的邊界約束條件等效化，根據紙盒的受力以及實(shí)際破壞情況，紙盒面板與上下壓盤(pán)接觸的各節點(diǎn)豎向位移耦合，與上壓盤(pán)接觸的各節點(diǎn)豎向位移耦合，施加共同向下的位移，下壓盤(pán)固定不動(dòng)，對與下壓盤(pán)接觸的各節點(diǎn)的所有自由度施加約束，即對紙盒模型的四個(gè)側板的底部進(jìn)行約束，保證這些部位的節點(diǎn)不發(fā)生平動(dòng)或轉動(dòng)。
在A(yíng)NSYS分析中，載荷包括邊界條件和內外部的作用力函數，在不同的分析領(lǐng)域中具有不同的表征，為了真實(shí)地反映實(shí)際物理情況，將載荷分為自由度約束(DOF)、集中力載荷、面載荷、體載荷、慣性載荷以及耦合場(chǎng)載荷等。載荷可以直接在實(shí)體模型上加載，如將載荷施加到關(guān)鍵點(diǎn)、線(xiàn)或者面上;也可以在有限元模型上加載，即直接將載荷施加到節點(diǎn)和單元上。這兩種方法各有利弊，但無(wú)論選用何種途徑加載，程序都會(huì )自動(dòng)將這些載荷轉移到有限元模型上。在紙盒壓縮過(guò)程中，紙盒面板主要承受壓盤(pán)施加的作用力，為了模擬實(shí)際壓縮情況，應該選擇在紙盒上加一個(gè)剛體，最后在剛體上施加一定載荷。
(5)非線(xiàn)性求解問(wèn)題
紙盒的受力壓縮過(guò)程是一個(gè)囊括了材料、狀態(tài)、幾何三種非線(xiàn)性問(wèn)題的復雜受力過(guò)程。材料非線(xiàn)性是指紙板原材料的應力-應變關(guān)系引起的非線(xiàn)性行為，而且是不可逆轉的;狀態(tài)非線(xiàn)性是指紙板壓縮后引起的接觸問(wèn)題;幾何非線(xiàn)性是指紙板在壓縮的過(guò)程中其變化的幾何形狀引起的非線(xiàn)性響應，屬于大應變類(lèi)型。作為復雜的非線(xiàn)性分析，涉及到求解器的選擇、載荷步長(cháng)的選取、子步數的設置、迭代收斂準則、自動(dòng)時(shí)間步長(cháng)等許多非線(xiàn)性因素，求解設置比較復雜，若處理不當就會(huì )造成分析結果不收斂或者分析中斷等情況出現。因此，為了保證模擬計算的順利實(shí)現并獲得準確的計算結果，在前期求解設置時(shí)可以針對不同情況進(jìn)行多次試算，以獲取最佳的求解設置參數，特別是控制好平衡迭代及收斂準則之間的關(guān)系。
三、結語(yǔ)
近年來(lái)，隨著(zhù)計算機技術(shù)、現代力學(xué)和計算數學(xué)的發(fā)展，有限元法作為一個(gè)具有堅實(shí)理論基礎和廣泛應用效力的數值模擬分析工具，在包裝工程領(lǐng)域方面的應用越來(lái)越多。包裝設計及研究人員將這種技術(shù)引入到研究包裝材料的系統中，不僅提供了一種新的研究思路，而且有效地提高了工作效率，降低了包裝設計成本。但目前情況下，有限元法在紙類(lèi)容器強度研究方面還不夠成熟，尤其是折疊紙盒抗壓強度的研究。由于受紙板原材料特性的制約，尚未有用于紙板壓縮應力分析評定的系統方法，這樣就不能區分出應力的類(lèi)型，造成有限元法不能對應力進(jìn)行進(jìn)一步分析，得出的結論可能對紙盒結構的優(yōu)化提供不了更加可信的科學(xué)依據，因此，這些方面還有待進(jìn)一步的研究與發(fā)展。
總之，有限元法為包裝設計及研究人員提供了更為直觀(guān)更加快捷的研究手段，通過(guò)使用有限元分析的方法我們就能夠建立起紙盒的有限元模型并研究和分析它的力學(xué)特性�？梢詷�(lè )觀(guān)地估計，在不遠的將來(lái)，有限元方法將非常廣泛地應用到紙盒強度的研究領(lǐng)域，它將推動(dòng)計算機輔助分析在包裝工程方面的應用向更高的水平發(fā)展。
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