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數學(xué)變式圖形題目探究性學(xué)習論文
課本中的習題都是經(jīng)過(guò)編者的深思熟慮、反復斟酌而精心設計的，研究和運用好教材中的習題變式訓練，不但有利于學(xué)生思維的提高，而且往往還會(huì )收到知一題而通一類(lèi)的教學(xué)效果。筆者在學(xué)�！皵祵W(xué)興趣小組”教學(xué)輔導過(guò)程中，通過(guò)充分的利用數學(xué)教材中的習題資源，引導學(xué)生大膽猜象，有效地變換題目條件，積極探索習題中的“變式圖形”,得到了意想不到的數學(xué)效果。下面以北師大版九年級 （ 上 ） 聯(lián)系拓廣 （P25） 中的題目為例，體驗課本習題廣闊的探索空間和內在的無(wú)窮魅力。
題目 1:正方形 ABCD 的對角線(xiàn)相交于點(diǎn) O, 正方形 A1B1C1O 與正方形 ABCD 的邊長(cháng)相等，在正方形 A1B1C1O 繞點(diǎn) O 旋轉過(guò)程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形 ABCD 的面積有什么關(guān)系？請證明你的結論。
解析：在旋轉過(guò)程中有△ AOE ≌△ BOF,
所以S四邊形 OEBF= S△ BOE+S△ BOF
= S△BOE+S△AOE=S△AOB= 1/4 S正方形ABCD.
即得到結論：重疊部分的面積為原正方形 ABCD 面積的四分之一 （ 定值 ）。
點(diǎn)評：此題如果僅限于上題結論，對學(xué)生探索能力的培養意義不大，教師此時(shí)應趁學(xué)生的探索熱情，引導學(xué)生進(jìn)行如下探索：
一、題目變式的探索
�。� 一 ） 題目結論的引伸探索
1. 在原題目中，猜想 OE 與 OF 有何數量關(guān)系，并證明你的猜想。
答：OE = OF.
2. 在 原 題 目 中， 當 正 方 形 A1B1C1O 繞 點(diǎn) O 轉 動(dòng) 到 正 方 形A1B1C1O 的邊 OA1、 OC1 與正方形 ABCD 的邊分別交于點(diǎn) E、F,猜想線(xiàn)段 BE、BF、AB 之間有怎樣的數量關(guān)系？并證明你的猜想。
答：BE + BF = AB
3. 在原題目中，當正方形 A1B1C1O 繞點(diǎn)O轉動(dòng)到任意位置時(shí)，正方形 ABCD 的邊被正方形 A1B1C1O 覆蓋部分的總長(cháng)度與 OB 又有怎樣的數量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想不證明。
答 : 被覆蓋部分的總長(cháng)度 BE + BF =√2OB
評析：
本題形成上述結論的實(shí)質(zhì)是：OA1、OC1是經(jīng)過(guò)正方形 ABCD的對稱(chēng)中心且互相垂直的兩條直線(xiàn) , 正方形的大小以及是否是正方形都是非本質(zhì)的。只要抓住了問(wèn)題的本質(zhì) , 就可以將其改編為若干豐富多彩的新命題。
�。� 二 ） 題目條件的變式探索
若將上述兩個(gè)正方形的邊長(cháng)相等改變?yōu)檫呴L(cháng)不相等，探索有什么結果？
解析：過(guò) O 作 ON ⊥ AB,OM ⊥ BC,垂足分別為 N、M, 若正方形 ABCD 的邊長(cháng)為 a,正方形 A1B1C1O 的邊長(cháng)為 b,在旋轉過(guò)程中易發(fā)現當 b 大于或等于 a/2 時(shí)，上述結論恒成立，當 b 小于 a/2 時(shí)，圖中重疊部分的面積均為 b2.
圖形變換不僅是一題多變的一種手段，而且作為探索解題思路、發(fā)現解題方法的一種手段，因此在幾何教學(xué)中，教師不僅要善于引導學(xué)生進(jìn)行“圖形變式”的訓練，而且還要讓學(xué)生在自主探索或合作交流中獲得探索新知的樂(lè )趣。
二、題目變式后的應用
題目 1:把正方形 ABCD 繞著(zhù)點(diǎn) A,按順時(shí)針?lè )较蛐D得到正方形 AEFG,邊 FG 與 BC 交于點(diǎn) H,（1） 若設正方形 ABCD 的邊長(cháng)為 3,且旋轉角為 300時(shí)，HB 的長(cháng)為多少。（2） 試問(wèn)線(xiàn)段 HG 與線(xiàn)段 HB 相等嗎？請先觀(guān)察猜想，然后再證明你的猜想。（4） 若正方形的邊長(cháng)為 2cm,重疊部分 （ 四邊形 ABHG） 的面積為 43/3cm2,求旋轉的角度 n.
評析：
此題的設計是將題目的旋轉點(diǎn)作為正方形的一個(gè)頂點(diǎn) , 旋轉后的圖形具備上述探索題目的基本特征。體現了從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式演變，符合學(xué)生的認知規律，能使學(xué)生較好地掌握圖形“旋轉變式”中的變量與不變量，培養了學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
三、題目探究性學(xué)習后的反思
從“題目”情境設置來(lái)看，它以學(xué)生熟悉的兩個(gè)邊長(cháng)相等的正方形在某一定點(diǎn)上旋轉為載體，讓學(xué)生在多元化的操作過(guò)程中體驗數學(xué)問(wèn)題的演變過(guò)程，符合學(xué)生從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式認知規律，能使學(xué)生較好地掌握“圖形旋轉變式”中的變量與不變量，深刻感悟數學(xué)教學(xué)中的思想方法，如果教師在教學(xué)過(guò)程中能創(chuàng )造性地用好“圖形變式”后的這些題目，它不僅具有良好的導向作用，而且對學(xué)生的思維及探索精神的培養具有重要的意義。
從“題目”探究性學(xué)習方法來(lái)看 , 教師要立足教材，充分利用教材中的習題素材，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區確定教學(xué)的起點(diǎn)，把教材上的習題知識點(diǎn)設計成需要學(xué)生探索的問(wèn)題，引導學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習活動(dòng)，通過(guò)教師對“題目”變式訓練的“導”,誘發(fā)學(xué)生對“題目”變式后的“探”,學(xué)生才能真正參與到觀(guān)察、分析、綜合、概括等再發(fā)現、再創(chuàng )造的思維活動(dòng)中 , 才能激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而使學(xué)生在探究中獲得新知，在探究中發(fā)展思維，在探究中提高數學(xué)素質(zhì)�？傊�，教師對一些典型題目進(jìn)行變式設計，這即是對學(xué)生探索學(xué)習方法的引導，也是學(xué)生創(chuàng )新能力的一種培養策略。
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