中考試題賞析論文范文
1、與拼圖相結合,注重考察學(xué)生的觀(guān)察能力.
例1(湖南湘潭市)如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則下圖中∠AOB=.
解析觀(guān)察發(fā)現這里正方形內的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數字標出組成正方形和小貓的七巧板之間的對應關(guān)系，如圖2所示，∠AOB內部的兩塊是等腰直角三角形，則∠AOB=90°.
例2(湖北荊門(mén)市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長(cháng)和寬(x＞y)，則下列關(guān)系式中不正確的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析觀(guān)察拼圖3可發(fā)現:大正方形的邊長(cháng)是矩形的長(cháng)和寬之和；小正方形的邊長(cháng)是矩形的長(cháng)和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長(cháng)是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長(cháng)是4可知其邊長(cháng)是2,即x-y=2②,因此選項A和B的關(guān)系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.
點(diǎn)評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應原型的，這里改編成中考試題可謂老樹(shù)發(fā)新枝。事實(shí)上學(xué)生若能認真觀(guān)察圖形的本身特點(diǎn)進(jìn)而找到相應數量關(guān)系，準確解答并不是件難事。
2、與多邊形、圓相結合,注重考察學(xué)生對幾何性質(zhì)的綜合運用.
例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是．
解析此題中所求三個(gè)正方形的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)是求梯形ABCD的兩個(gè)腰長(cháng)及上底邊邊長(cháng)
三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來(lái)建立橋梁
作用.如圖5，分別過(guò)點(diǎn)
A、B做AE⊥DC,BF⊥DC,
垂足分別為E、F.設
梯形ABCD的高為h,
AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得△AED∽△CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江蘇南通市)在一次數學(xué)探究性學(xué)習活動(dòng)中，某學(xué)習小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長(cháng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖6所示的方案一，發(fā)現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖7所示的方案二．（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）
�。�1）請說(shuō)明方案一不可行的理由；
�。�2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線(xiàn)長(cháng)及其底面圓半徑；若不可行，請說(shuō)明理由．
解析(1)因為扇形ABC的弧長(cháng)＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應為4cm．由于所給正方形紙片的對角線(xiàn)長(cháng)為cm，而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對角線(xiàn)長(cháng)為cm，由于，所以方案一不可行．
(2)設圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線(xiàn)長(cháng)為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線(xiàn)長(cháng)為cm，底面圓的半徑為cm．
點(diǎn)評將正方形與多邊形、圓結合是中考中出現頻率較高的題目。此類(lèi)題目涉及知識點(diǎn)較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的基本功，具有綜合運用相關(guān)數學(xué)知識的能力。
3與“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”相結合,注重考察學(xué)生對不變因素的探究能力.
例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，P是對角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F。如圖8，當點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF＝CF．
(1)如圖9，若點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E.
�、偾笞C：DF＝EF；
�、趯�(xiě)出線(xiàn)段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結論；
(2)若點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PE⊥PB且PE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E。請完成圖10并判斷(1)中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫(xiě)出相應的結論（所寫(xiě)結論均不必證明）
解析(1)①如圖11過(guò)點(diǎn)P做PH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,連接PD.此時(shí)四邊形PFCH為正方形.容易證出△APB≌△APD,推得∠BPC=∠DPC，進(jìn)一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因為PE⊥DC,可證得DF=FE.
�、谟蒃F+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因為PF∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)連接PB、PD,做PF⊥DC,PH⊥BC,垂足分別為F、H,在DC延長(cháng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E,使得PE⊥PB.此時(shí)有結論①DF=EF成立.而結論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關(guān)系.證明與②類(lèi)似,略.
點(diǎn)評動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考熱點(diǎn)問(wèn)題之一，它要求學(xué)生善于抓住運動(dòng)變化的規律性和不變因素，把握運動(dòng)與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無(wú)論動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上如何運動(dòng),∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.
4與對稱(chēng)、旋轉相結合,注重考察學(xué)生變換的數學(xué)思想.
例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開(kāi)后，折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，.連接GF.下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結論的序號是.
解析由題意可知△AED和△FED關(guān)于ED所在的直線(xiàn)對稱(chēng),有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設AE=k,容易證得△EFB和△OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結論是①、④、⑤，其余結論顯然不成立。
例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長(cháng)線(xiàn)）于點(diǎn)M,N．當∠MAN繞點(diǎn)A旋轉到BM=DN時(shí)（如圖14），易證BM+DN=MN．
�。�1）當∠MAN繞點(diǎn)A旋轉到BM≠DN時(shí)（如圖15），線(xiàn)段BM,ND和MN之間有怎樣的數量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．
�。�2）當∠MAN繞點(diǎn)A旋轉到如圖16的位置時(shí)，線(xiàn)段BM,ND和MN之間又有怎樣的數量關(guān)系？請直接寫(xiě)出你的猜想．
解析(1)如圖17，把△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90°，得到△ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進(jìn)而可證得：△AEM≌△AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)線(xiàn)段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.
點(diǎn)評平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙的運用變換的基本性質(zhì)或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢.
5與函數圖象相結合,注重考察學(xué)生的數形結合思想.
例8（湖南長(cháng)沙市）在平面直角坐標系中，一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）從M（1，0）出發(fā)，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點(diǎn)組成的正方形邊線(xiàn)（如圖18）按一定方向運動(dòng)。圖19是P點(diǎn)運動(dòng)的路程s（個(gè)單位）與運動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數圖象，圖20是P點(diǎn)的縱坐標y與P點(diǎn)運動(dòng)的路程s之間的函數圖象的一部分.
�。�1）s與t之間的函數關(guān)系式是：；
�。�2）與圖20相對應的P點(diǎn)的運動(dòng)路徑是：；P點(diǎn)出發(fā)秒首次到達點(diǎn)B；
�。�3）寫(xiě)出當3≤s≤8時(shí)，y與s之間的函數關(guān)系式，并在圖16中補全函數圖象.
解析（1）圖19是正比例函數圖象，易求得s與t之間的函數關(guān)系式為：S=(t≥0)
�。�2）從圖20的函數圖象可以看出，動(dòng)點(diǎn)P的縱y在運動(dòng)時(shí)隨時(shí)間t的增大開(kāi)始時(shí)逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說(shuō)明P點(diǎn)在正方形的運動(dòng)路徑是：M→D→A→N.由圖18、19可知，P點(diǎn)從點(diǎn)M運動(dòng)到點(diǎn)B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達點(diǎn)B需要時(shí)間為10秒.
(3)結合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)D處運動(dòng)；第1至3秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D向點(diǎn)A處運動(dòng)；第3至5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B處運動(dòng)；第5至7秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C處運動(dòng)；第7至8秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)M處運動(dòng).時(shí)間段不同，函數關(guān)系不同，因此列分段函數為：當3≤s＜5，y=4－s；當5≤s＜7，y=－1；當7≤s≤8，y=s－8．補全的函數圖象如圖21.
點(diǎn)評函數圖象問(wèn)題是數形結合的數學(xué)思想的重要體現，在中考試卷中也往往作為具有一定區分度的題目出現。例8是一個(gè)分段函數問(wèn)題，其關(guān)鍵是依據函數圖象弄清楚點(diǎn)P在正方形ABCD上的哪一段運動(dòng),坐標與時(shí)間、路程如何變化.
6與實(shí)際問(wèn)題相結合,注重考察學(xué)生構建數學(xué)模型的能力.
例9（湖北荊門(mén)市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長(cháng)為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說(shuō)明理由；
(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費用最��？
解析：(1)四邊形EFGH是正方形．圖22可以看作是由四塊圖21所示地磚繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè )较蛐D90°后得到的,故CE=CF=CG=CH．因此△CEF是等腰直角三角形.所以因此四邊形EFGH是正方形.
(2)設CE=x米,則BE=（0.4－x）米,每塊地磚的費用為y,有：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)]×10=10(x-0.2x+0.24)=10［(x-0.1)2+0.23］(0＜x＜0.4).所以當x=0.1米時(shí),y有最小值,即費用為最省,此時(shí)CE=CF=0.1米．
點(diǎn)評實(shí)際應用問(wèn)題側重考察學(xué)生的分析、理解問(wèn)題的能力，它要求學(xué)生準確把握題目?jì)热莺鸵蟮幕A上，利用已有的數學(xué)知識，建立起方程、函數等數學(xué)模型，具有一定的難度.例9中的問(wèn)題(2)就是建立二次函數關(guān)系式的數學(xué)模型,通過(guò)求函數最小值的方法求得答案.
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