聚焦“錯誤”，打開(kāi)有效教學(xué)的另一扇窗
摘要：在數學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的錯誤往往是有效的教學(xué)資源。教師要合理地對待學(xué)生的錯誤，讓學(xué)生與教師在錯誤中共同成長(cháng)。關(guān)鍵詞：數學(xué)教學(xué)；錯誤；有效資源；善待錯誤
俗話(huà)說(shuō)：“吃一塹，長(cháng)一智�！逼湟饬x是指經(jīng)受一次挫折，就會(huì )增長(cháng)一份智慧。我們在數學(xué)教學(xué)中如果能適當利用學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中暴露出來(lái)的錯誤進(jìn)行教學(xué)，那么就可以使學(xué)生在錯誤中主動(dòng)地審視、體驗、反思自己所掌握的知識，培養其“知錯改錯、防錯”的良好習慣，從而可增強學(xué)生對錯誤的“免疫力”。教師如果能夠在課堂教學(xué)中恰當地利用學(xué)生的錯誤資源，學(xué)生還能加深對知識的理解和鞏固，起到事半功倍的效果。
一、在課堂教學(xué)中，教師不妨讓學(xué)生錯一回
新課程理念下，強調尊重學(xué)生，當然要尊重他們在此年齡階段表現出的身體、心理特征和認識水平。學(xué)生在解題中“出錯”在所難免，所以，我們應該包容他們的錯，在課堂教學(xué)中，教師不妨讓學(xué)生錯一回。
案例１：教師在講授九年級（上）《反比例函數的圖像和性質(zhì)》時(shí)，往往會(huì )對下面的性質(zhì)做出“忠告”：當k＞0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內，y隨x的增大而減小……因此，我們在比較函數值時(shí)，一定要明確，對應的兩個(gè)點(diǎn)是否在同一條分支上，否則不能運用此性質(zhì)給出判斷。
這樣的“忠告”，出于教師的教學(xué)經(jīng)驗，其目的是讓學(xué)生不犯錯誤或減少錯誤，但這樣能達到目的嗎？當學(xué)生出現錯誤時(shí)，我們不妨讓他們錯一回，然后啟發(fā)學(xué)生自己去反思，力求讓學(xué)生自己糾正錯誤，這更有利于加深學(xué)生對知識的理解和鞏固。
在案例1中，教師不妨讓同學(xué)們仔細觀(guān)察函數y= 圖象,設置如下的問(wèn)題：
師：誰(shuí)能說(shuō)出反比例函數的性質(zhì)？
生1：當k＞0，y隨x的增大而減小。
師：上面這位同學(xué)回答正確嗎？
生：對�。ù蟛糠謱W(xué)生表示贊同）
師：真的嗎？（教師給學(xué)生留足夠探索的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己思考）
生2：不對，如果x=-1,y=-2；x=1,y=2,y就不是隨x的增大而減小的。
師：這個(gè)反例講得很好，說(shuō)明在整個(gè)坐標系中，y不一定隨x的增大而減小，（當k＞0）那怎么講才是正確的？
生3：在第一象限內，y隨x的增大而減小，在第三象限內y隨x的增大而減小。
教師還可以設置如下問(wèn)題：“已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是y= 圖象上的兩點(diǎn)，如果x1＜x2,那么y1＞y2,以上說(shuō)法正確嗎？讓學(xué)生自主探索、辨析，教師不要在學(xué)生解題時(shí)不停地提醒，這樣更能真實(shí)地反映學(xué)生解題情況。然后讓學(xué)生對不同結果展開(kāi)討論，讓學(xué)生在錯誤中辨明是非，增長(cháng)知識。
孔子說(shuō)過(guò)：“知之者不如好知者，好知者不如樂(lè )知者，”只有讓學(xué)生“樂(lè )知”學(xué)習的效果才會(huì )明顯。在本案例中，由于一次函數性質(zhì)知識的負遷移，使學(xué)生犯了錯，學(xué)生追尋錯誤進(jìn)行充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個(gè)曲折的過(guò)程，使學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，激勵探索。學(xué)生親身經(jīng)歷探究過(guò)程要比教師直接講授而得到的反比例函數的性質(zhì)深刻得多。
二、在錯題辨析中，讓學(xué)生獲得真知
運算是解決數學(xué)問(wèn)題的重要工具，也是學(xué)生必須掌握的一項重要技能，但是解題出錯是難免的，教師只有選準時(shí)機，針對學(xué)生的“常見(jiàn)病”，把錯誤適時(shí)地暴露給學(xué)生，引導學(xué)生發(fā)現錯誤，進(jìn)行對錯題的辨析，便會(huì )提高學(xué)生的警惕性，讓錯誤成為教學(xué)資源，“知錯改錯”是成功之母。
案例2：解不等式： ＜
錯解：去分母，得x+5-1＜3x+2
移項、合并同類(lèi)項，得－2x＜-2
兩邊同除以－2，得x＜1
這道題目的解題過(guò)程暴露了學(xué)生的兩處典型錯誤，第一處錯誤：不等式的兩邊都乘以2時(shí)－1忘記乘以2；第二處錯誤：兩邊同除以－2時(shí)不等號的方向沒(méi)改變。究其原因，第一處錯誤屬于馬虎大意，第二處錯誤屬于沒(méi)有掌握不等式的基本性質(zhì)3，教師不急著(zhù)告訴學(xué)生錯在何處，讓學(xué)生自己反思找出錯誤并改正錯誤。當學(xué)生找錯、改錯有難度時(shí)，教師適時(shí)加以點(diǎn)撥、引導，從而讓學(xué)生自己得出正確的解題方法。
通過(guò)這道錯例的辨析，使學(xué)生清楚地認識到解一元一次不等式的步驟，而且對解不等式的注意點(diǎn)有了深刻認識，提高了學(xué)生解一元一次不等式的能力。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師應抓住學(xué)生解題過(guò)程中容易出現的錯誤，讓學(xué)生認真辨析，引導學(xué)生通過(guò)發(fā)現錯誤—分析反思—解決問(wèn)題，培養學(xué)生細致審題的習慣，充分激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自我嘗試、自我剖析、自我修正。所以，這樣通過(guò)讓學(xué)生在錯題辨析中，發(fā)現錯誤，及時(shí)糾錯，不失為提高數學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。
三、善待錯誤，讓錯誤成為學(xué)生探索的動(dòng)力
《全日制義務(wù)教育數學(xué)課程標準》指出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數學(xué)學(xué)習，學(xué)生在“他人的指導下，能夠發(fā)現數學(xué)活動(dòng)中的錯誤并及時(shí)改正�！睆男抡n程標準的視角來(lái)看，“錯誤”是一種來(lái)源于學(xué)生學(xué)習活動(dòng)本身的數學(xué)資料，它對學(xué)生特殊的教育價(jià)值有時(shí)比教師錚錚教誨更有說(shuō)服力，為了學(xué)生的發(fā)展，我們應該善待“錯誤”這一寶貴資源，主動(dòng)對其進(jìn)行開(kāi)發(fā)利用，變“廢”為“寶”，讓錯誤成為成為學(xué)生探索的動(dòng)力。
案例3：如圖：某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長(cháng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD,花園一邊靠墻，另三邊用總長(cháng)為40m的柵欄圍成，若設花園的BC邊長(cháng)為xm，花園的面積為y(m2)
(1)求y與x之間的函數關(guān)系式； (2)x取何值時(shí)，花園面積最大？最大面積為多少？
學(xué)生在解題中出現的錯解：
(1)根據題意得：y＝x ，故y＝－ x２＋20x
(2)－ ＝20，故當x＝20時(shí)，y最大值＝200
教師在作業(yè)講評中，對學(xué)生出現的錯誤不是采用先批評后講答案的方式，而是先讓學(xué)生反思，找錯誤原因。學(xué)生通過(guò)集體智慧，認識到忽略了函數中隱含條件：“自變量x的取值范圍：0＜x≦15，”從而導致錯誤結果，通過(guò)反思，使學(xué)生們領(lǐng)悟到讀題一定要注意對隱含條件的挖掘，提高思維的全面性。錯誤之所以是寶貝, 其價(jià)值有時(shí)不在于錯誤本身, 而在于師生通過(guò)集體查錯、思錯、糾錯活動(dòng)獲得新的啟迪。這不但需要我們有沉著(zhù)冷靜的心理和從容應變的機智，更需要我們樹(shù)立“錯誤資源”的意識。課堂教學(xué)中的錯誤，對學(xué)生來(lái)說(shuō)是一次很好的鍛煉機會(huì )，對教師來(lái)說(shuō)是一次機遇，妥善處理，能變廢為寶，更是一種能力的體現。當然，教師要不斷提高自己捕捉和正確解讀錯誤的能力，對學(xué)生的錯誤及時(shí)給予有力回應。正如沃爾夫因?布列欽卡所說(shuō)的，“教育是人們嘗試在任何方面提升他人人格的行動(dòng)”。只有這樣，錯誤才能成為數學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，為數學(xué)教學(xué)添上一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)。
四、將計就計，讓錯誤來(lái)激發(fā)學(xué)生創(chuàng )新思維
英國心理學(xué)家貝恩布里奇說(shuō)：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的”。在數學(xué)教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯誤是不可能的，也是沒(méi)有必要的，而課堂上發(fā)生的錯誤并非是一文不值的，它往往反映了學(xué)生的思維能力，反映了學(xué)生的真實(shí)想法，這其中總包含著(zhù)合理的成分。教師應該善用錯誤，善于發(fā)現錯誤背后隱藏的教育價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生從錯中找出合理的一面，從錯中找出與正確方法之間的聯(lián)系，把“錯誤”資源巧妙地予以運用，不僅能讓學(xué)生盡快走出誤區，也能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )新思維。
案例4：七年級期末復習課中筆者給出了一個(gè)化簡(jiǎn)題目：
并請兩位學(xué)生板演，其中一位學(xué)生通過(guò)通分求出正確的結果，而另一位學(xué)生解的過(guò)程是: 原式＝3（x-1）+2(2-x)=3x-3+4-2x=x+1。當筆者點(diǎn)評這個(gè)學(xué)生的解法時(shí)，引來(lái)了一些學(xué)生的嘲笑，于是筆者立即問(wèn)：“錯在哪兒呢？”學(xué)生回答道：“把方程變形（去分母）搬到解計算題上了，結果丟了分母�！边@個(gè)做錯的學(xué)生面紅耳赤，低下了頭。但這時(shí)筆者來(lái)了一個(gè)“順水推舟，將錯就錯”：剛才這位同學(xué)把計算題當作方程來(lái)解，雖然解法錯了，但卻給我們一個(gè)啟示，若能將該題去掉分母來(lái)解，其“解法”確實(shí)簡(jiǎn)潔明快，因此我們能否考慮利用解方程的方法來(lái)解它呢？由此一個(gè)新穎的解法也出來(lái)了。
解： 設 ＝A
去分母得：3（x-1）+2(2-x)=6A
去括號得：3x-3+4-2x=6A
合并同類(lèi)項得：x+1=6A
解得：A=
所以此題的結果是 （這位做錯題目的學(xué)生終于笑了。）
這時(shí)學(xué)生都贊嘆這種用方程的解法很有創(chuàng )意，同時(shí)這種新穎的解法也喚回了這位學(xué)生的自信。其實(shí)，像上面的類(lèi)似錯誤是我們教師經(jīng)常碰到的，學(xué)生解題錯誤的原因是多方面的，而“錯解”往往有它合理的一面，它多是學(xué)生在新舊知識之間的符號、表象或概念、命題之間的聯(lián)系上出現了編碼錯誤，或是產(chǎn)生負遷移，這是學(xué)習過(guò)程中的正�，F象。也只有這種真實(shí)的思維才能真正反映出學(xué)習過(guò)程的客觀(guān)規律，它實(shí)際上往往帶有普遍性，因而可以以此作為很好的教學(xué)資源。因此，教師對待學(xué)生的錯誤要客觀(guān)辨證地分析，不必“如臨大敵”，倒是應該冷靜地剖析學(xué)生“錯解”中的合理成分，研究它的起因，研究它與正確方法之間的聯(lián)系，然后把“錯誤”資源合理地予以運用。
錢(qián)學(xué)森說(shuō)過(guò)：“正確的結果，是從大量的錯誤中得出來(lái)的，沒(méi)有大量的錯誤作臺階，也就登不上正確結果的高座�！痹趯W(xué)生解答問(wèn)題的過(guò)程中，問(wèn)題不在于是否產(chǎn)生錯誤，而在于教師怎樣對待學(xué)生的錯誤，實(shí)踐證明，在數學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常引導學(xué)生積極地進(jìn)行解題糾錯，反思自己的學(xué)習活動(dòng)，不僅能提高學(xué)生的解題能力，更能優(yōu)化認知結構，提高學(xué)習效率，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )新意識，同時(shí)也能提高教師的課堂教學(xué)效果及教學(xué)反思能力。理想的課堂是真實(shí)的課堂，學(xué)生在課堂上出現了錯誤, 教師不應以一個(gè)“錯”字堵住學(xué)生的嘴,而應善待錯誤，而應合理地利用這些錯誤, 為教學(xué)增添一些亮麗，因為錯誤有時(shí)是一種有效的教學(xué)資源。
參考文獻：
[1]黃秀旺.不妨讓學(xué)生錯一回[J].中學(xué)數學(xué)教與學(xué)，2007(11).
[2]陳勝.打開(kāi)思維的另一扇窗[J].中學(xué)教學(xué)參考?語(yǔ)英版，2011(11).
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