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關(guān)于三角教材與教法的新思考
1998年4月21日，國家教育部專(zhuān)門(mén)調整了高中數學(xué)的部分教學(xué)內容，其中的調整意見(jiàn)第(7)條為：“對三角函數中的和差化積、積化和差的8個(gè)公式，不要求記憶�！痹俾�(lián)想到1998年全國高考數學(xué)卷中，已盡可能減少了這8個(gè)公式的出現次數，在僅有的一次應用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當時(shí)調整意見(jiàn)尚未生效（應在1999年生效）。這不能不說(shuō)對和積互化的8個(gè)公式（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“8公式”）的要求是大大降低了。
但是，這次調整的，難道僅僅是8個(gè)公式嗎？如果認為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。
我們知道，和積互化歷來(lái)是三角部分的重點(diǎn)內容之一。相當部分的三角題都是圍繞它們而設計的，它們也確實(shí)在很大程度上體現了公式變形的技巧和魅力�，F在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習）題選用了。這樣一來(lái)，
三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。
有鑒于此，我認為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調整的意見(jiàn)，實(shí)現“三個(gè)有利于”（有利于減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負擔，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩定普通高中的教育教學(xué)秩序）
的既定目標。
一、是“三角”還是“函數”
應當說(shuō)，三角函數是由“三角”和“函數”兩部分知識構成的。三角本是幾何學(xué)的衍生物，肇始于古希臘的希帕克，經(jīng)由托勒玫、利提克思等。至歐拉而終于成為一門(mén)形態(tài)完備、枝繁葉茂的古典數學(xué)學(xué)科。歷史上的很長(cháng)一段時(shí)期，只有《
三角學(xué)》盛行于世，卻無(wú)“三角函數”之名。
“三角函數”概念的出現，自然是在有了函數概念之后，從時(shí)間上看距今不過(guò)300余年。但是，此概念一經(jīng)引入，立刻極大地改變了三角學(xué)的面貌。特別是經(jīng)過(guò)羅巴切夫斯基的開(kāi)拓性工作。致使三角函數可以完全獨立于三角形之外，而成
為分析學(xué)的一個(gè)分支，其中的角也不限于正角，而是任意實(shí)數了。有的學(xué)者甚至認為可將它更名為角函數，這是有見(jiàn)地的。
所以，作為一門(mén)學(xué)科的《三角學(xué)》已經(jīng)不再獨立存在�，F行中學(xué)教材也取消了原來(lái)的《代數》、《三角》、《幾何》的格局，將三角并入了代數內容。這本身即足以說(shuō)明“函數”在“三角”中應占有的比重。
再從《代數學(xué)》的歷史演變來(lái)看，在相當長(cháng)的歷史時(shí)期內，“式與方程”一直是它的核心內容，那時(shí)的教材都是圍繞著(zhù)它們展開(kāi)的。所以，書(shū)中的分式變形、根式變形、指數式變形和對數式變形可謂連篇累牘、所在皆是。這是由當時(shí)的數學(xué)認知水平?jīng)Q定的。而現在，函數已取代了式與方程成為代數的核心內容，比起運算技巧和變形套路來(lái)，人們更關(guān)注函數思想的認識價(jià)值和應用價(jià)值。1963年頒布的《數學(xué)教學(xué)大綱》提出數學(xué)三大能力時(shí)，首要強調的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強調的則是“邏輯思維能力”�，F行高中《代數》課本中，充分闡發(fā)了冪函數、指數函數、對數函數的圖象和性質(zhì)及應用，對這三種代數式的變形卻輕描淡寫(xiě)。
所以，三角函數部分應重在“函數的圖象和性質(zhì)”是無(wú)疑的，這也是國際上普遍認可的觀(guān)點(diǎn)（下文還將述及）。
現行高中《代數》的三角函數部分，也單列了一章專(zhuān)講“三角函數的圖象和性質(zhì)”，這是與數學(xué)發(fā)展的潮流相一致的。但若提起三角函數，大多數師生頭腦中反映出來(lái)的，還是“眾多的公式，紛繁的變換”，而三角函數的“圖象和性質(zhì)”倒是在其次的。這一點(diǎn)，與前面所述的“冪、指、對”函數有著(zhù)極大的反差，恐怕也與編者的意圖大相徑庭。個(gè)中緣由固然與三角本身多公式有關(guān)，其中和積互化8公式的干擾作用尤其明顯。8公式形式類(lèi)似，記憶也屬不易，變形尤難把握，是師生教與學(xué)的共同難點(diǎn)。為此反復記憶、題海操練實(shí)所難免。
調整以后，降低這部分的要求，大面積地減少了題量，目標中“第一和第三”兩個(gè)有利于是可以實(shí)現的。但另一個(gè)（有利于深化課程改革）該如何理解呢？把“函數”作為關(guān)鍵詞，將目光放在“圖象和性質(zhì)”上，應當是正確的選擇，負擔輕
了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉移到對函數圖象和性質(zhì)的關(guān)注上，這才是“三個(gè)有利于”得以貫徹的根本。
二、國外的觀(guān)點(diǎn)及啟示
下面來(lái)看一下美國和德國的觀(guān)點(diǎn)：
美國沒(méi)有全國統一的教材和《考試說(shuō)明》，只有一個(gè)《課程標準》，在《課程標準》中，他們對三角函數提出了下面的要求：
會(huì )用三角學(xué)的知識解三角形；會(huì )用正弦、余弦函數研究客觀(guān)實(shí)際中的周期現象；掌握三角函數圖象；會(huì )解三角函數方程；會(huì )證基本的和簡(jiǎn)單的三角恒等式；懂得三角函數同極坐標、復數等之間的聯(lián)系。
他們還特別指出：不要在推導三角恒等式上花費過(guò)多的時(shí)間。只要掌握一些簡(jiǎn)單的恒等式推導，如：之類(lèi)就可以了。比較復雜的恒等式如之類(lèi)，就應該完全避免了。
德國在10到12年級（相當于中國的高一到高三）每年都有三角內容。10年級要求如下：
(1)一個(gè)角的弧度。
(2)三角函數sinx·cosx·tgx和它們的圖象周期性。
(3)三角形中角和邊的計算。
(4)重要關(guān)系（特指同角三角函數的平分關(guān)系、商數關(guān)系和倒數關(guān)系——筆者注）。
另外，在11年級和12年級的“無(wú)窮小分析”中，繼續研究三角函數的圖象變換、求導、求積分、求極限。
從以上羅列，我們可以看出下面的共同點(diǎn)：
第一，突出強調三角函數的圖象和性質(zhì)。
第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換。而且要求較低；8公式根本不予介紹。
第三，明確變換的目的是為了三角形中的實(shí)際計算。
第四，注意三角函數和其它知識（復數、極坐標）的聯(lián)系。
這帶給我們的啟示還是很強烈的。美國和德國的中學(xué)教育以實(shí)用為主，并不太在乎教材體系是否嚴謹，知識系統是否完整。我國的教材雖作調整，對8公式不要求記憶。同期頒布的《考試說(shuō)明》仍要求“能推導并掌握（8公式）”。不要求記憶卻要求推導并掌握，怎樣實(shí)施且不去細說(shuō)，有一個(gè)意圖是可猜到的，那就是要讓學(xué)生知道教材是嚴謹與完整的。我認為這大可不必。嚴謹與完整是相對的�，F在看來(lái)嚴謹的東西，在更高的觀(guān)點(diǎn)下是否還嚴謹？在圈內看是完整的，跳出圈子看，是否還完整？在一個(gè)小地方鉆得太深，在另外更大的地方就可能無(wú)暇顧及。人家能在中學(xué)學(xué)到向量、行列式、微分、積分。我們卻熱衷于在個(gè)別地方窮追不舍，這早已引起行家的注意。從這個(gè)意義上說(shuō)。此次調整應當只是第一步。在中學(xué)階段即試圖嚴謹與完整。其實(shí)是受前蘇聯(lián)教育家贊可夫的三高（高速度、高難度、高理論）影響太深的緣故。
三、調整后的知識體系分析
根據以上的分析，我認為本部分知識應分為兩大塊。即“三角函數的圖象和性質(zhì)”與“三角變換”，雖然筆者認為后者該進(jìn)一步刪減，但畢竟目前沒(méi)有做到。即使以后能大幅刪減，也肯定會(huì )保留適當篇幅，因為三角變換在理論和實(shí)際中都有廣泛的應用。
現將本部分知識體系列表如下：
這些知識點(diǎn)中，重點(diǎn)應是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其實(shí)前幾年的高考對它們也都有充分的體現。只是被8公式的光環(huán)所籠罩，我們的重視程度不夠而已。當然，現在我們要提高對這些內容的重視程度。千萬(wàn)要避免無(wú)限拔高。那樣形成前門(mén)拒狼（8公式）后門(mén)引虎的局面。就大有違調整的初衷。
參考文獻
1 黃建宏。聯(lián)邦德國完全中學(xué)的數學(xué)基礎學(xué)力介紹。數學(xué)教學(xué)，190(4)
2 陳昌平。介紹美國最新課程標準。數學(xué)教學(xué)，1990(3-4)
作者：不詳
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