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數學(xué)學(xué)習法子 的摸索
內容提要：本文偏重論述了中學(xué)數學(xué)素質(zhì)教學(xué)中數學(xué)學(xué)習法子 的摸索從數學(xué)教學(xué)的角度、數學(xué)本身的角度、數學(xué)學(xué)習的角度、數學(xué)內容的性質(zhì)角度等四個(gè)方面如何實(shí)行數學(xué)學(xué)習法子 的領(lǐng)導談?wù)勛约旱恼J識。
要害詞：數學(xué) 學(xué)法 角度 摸索
近幾年來(lái)，旨在教會(huì )學(xué)生會(huì )學(xué)習、進(jìn)步學(xué)生自學(xué)能力 的學(xué)法領(lǐng)導的鉆研和實(shí)踐已是根基教導革新的一個(gè)熱門(mén) 課題。這一課題的提出和鉆研，不僅對當前進(jìn)步根基教導質(zhì)量、實(shí)行素質(zhì)教導具有現實(shí)意義，而且對培植未來(lái)社會(huì )發(fā)展所需要 的人才、增進(jìn)科教興國具有歷史意義。隨著(zhù)社會(huì )、經(jīng)濟、科技的高速發(fā)展，數學(xué)的利用越來(lái)越廣，地位 越來(lái)越高，作用越來(lái)越大。不僅如此，數學(xué)教導的實(shí)踐和歷史還表明，數學(xué)作為一種文化，對人的全面素質(zhì)的進(jìn)步具有龐大的影響。因此，進(jìn)步根基教導中的數學(xué)教學(xué)質(zhì)量，就顯得尤為首要�？赡壳坝捎谑�“應試教導 ”的影響，數學(xué)教學(xué)中違抗教導規律的現象和做法時(shí)有產(chǎn)生，為此更新數學(xué)教學(xué)思想、完善 數學(xué)教學(xué)法子 就顯得更加急迫。在數學(xué)教學(xué)中，開(kāi)展學(xué)法領(lǐng)導，正是革新數學(xué)教學(xué)的一個(gè)突破口。
一、對數學(xué)教學(xué)如何實(shí)行數學(xué)學(xué)習法子 的領(lǐng)導，人們進(jìn)行了許多有益的摸索和實(shí)驗 。首先是通過(guò)觀(guān)察、調查，歸納總結了中學(xué)生數學(xué)學(xué)習中存在的問(wèn)題，如“學(xué)習懶惰，不肯動(dòng)腦；不訂企圖 ，慣性運轉；漠視預習，坐等上課；不會(huì )聽(tīng)課，事倍功半；逝世記硬背，機械模仿 ；不懂不問(wèn)，一知半解；不重根基，好高騖遠；趕做作業(yè)，不會(huì )自學(xué)；不重總結，鄙棄復習 ”等等。針對這些問(wèn)題，提出了相應的數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導的道路和法子 ，如數學(xué)全程滲透式（將學(xué)法領(lǐng)導滲透于制定企圖 、課前預習、課堂學(xué)習、課后復習 、獨立作業(yè)、學(xué)習總結、課外學(xué)習等各個(gè)學(xué)習環(huán)節之中）；建立 數學(xué)學(xué)習慣例（課堂慣例 ———情境美，參與高，求精彩，求效率 ；課后慣例 ———認真讀書(shū)，收拾筆記，沉思熟慮，勇于質(zhì)疑；作業(yè)慣例 ———先復習 ，后作業(yè)，字跡明確，表述規范，盤(pán)算正確 ，填好《作業(yè)檢測表》，重做錯題）等等。誠然，這對于端正學(xué)習態(tài)度、養成學(xué)習習慣、進(jìn)步學(xué)業(yè)成績(jì) 、優(yōu)化學(xué)習品德，采勸對癥下藥”的策略，開(kāi)展對學(xué)習慣例的領(lǐng)導，無(wú)疑會(huì )收到較好的效果 。但是，數學(xué)學(xué)習法子 的領(lǐng)導，決不能漠視數學(xué)所特有的學(xué)習法子 的領(lǐng)導�？梢哉f(shuō)，這才是數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導之內核和要害 。也就是說(shuō)，數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導該當偏重領(lǐng)導學(xué)生學(xué)會(huì )了解數學(xué)知識、學(xué)會(huì )解決數學(xué)問(wèn)題、學(xué)會(huì )數學(xué)地思維、學(xué)會(huì )數學(xué)交換、學(xué)會(huì )用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題等。有鑒于此，筆者首要從“數學(xué)”、“數學(xué)學(xué)習”起程，來(lái)闡釋數學(xué)學(xué)習法子 ，論述 數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導。
二、從數學(xué)的角度起程，就是要考查。關(guān)數學(xué)的特性于數學(xué)的特性，雖仍有爭議，但傳統或者說(shuō)對比科學(xué)的提法仍是３條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和利用的廣泛 性。
１．數學(xué)鉆研的對象原本是現實(shí)的，但由于數學(xué)僅從空間情勢與數量關(guān)系方面來(lái)反響客觀(guān)現實(shí)，所以數學(xué)是逐級抽象的產(chǎn)物。比如三角形形狀的實(shí)物模型隨處可見(jiàn)，多種多樣，名目繁多，但數學(xué)中的“三角形”卻是一種抽象的思維情勢（概念），撇開(kāi)了人們常見(jiàn)的各種三角形形狀實(shí)物的諸多性質(zhì)（如天然屬性、物理性質(zhì)等）。因此，學(xué)習數學(xué)首當其沖的是要學(xué)習抽象。而抽象又離不開(kāi)概括，也離不開(kāi)對比和分類(lèi)，可以說(shuō)對比、分類(lèi)、概括是抽象的根基和前提。比如，要從已經(jīng)過(guò)抽象得出的物體運動(dòng) 速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、產(chǎn)品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金屬加熱引起的長(cháng)度變更ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函數ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，顯然要經(jīng)過(guò)對比（它們的異同）和概括（它們的共同特點(diǎn)）。根據 數學(xué)高度抽象性的特性，數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導要強調對比、分類(lèi)、概括、抽象等思維法子 的領(lǐng)導。
２．數學(xué)結論的可靠性有其嚴峻的請求，觀(guān)察和實(shí)驗 不能作為論證的根據和法子 ，而是要經(jīng)過(guò)邏輯推理（表現 為證明或盤(pán)算），方能得以承認。比如，“三角形內角和為１８０°”這個(gè)結論，通過(guò)測量的法子 是不能確立的，唯有在歐氏幾何系統中經(jīng)過(guò)數學(xué)證明才干確定其正確 性（斷定性）。在數學(xué)中，只有通過(guò)邏輯證明和符合邏輯的盤(pán)算而得到的結論，才是可靠的。事實(shí)上，任何數學(xué)鉆研都離不開(kāi)證明和盤(pán)算，證明和盤(pán)算是極其首要的數學(xué)運動(dòng)，而通常所說(shuō)的“數學(xué)思想法子 往往是數學(xué)中證明和盤(pán)算的法子 。探求數學(xué)問(wèn)題的解法也就是尋找相應的證明或盤(pán)算的具體法子 。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，證明或盤(pán)算是任何一種數學(xué)思想法子 的組成部分，又是任何一種數學(xué)思想法子 的目標 和表述情勢 ”。又由于證明和盤(pán)算首要依賴(lài)的是歸納與演繹、分析 與綜合，所以根據 數學(xué)邏輯的嚴謹性特性，數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導要器重歸納法、演繹法、分析 法、綜合法的領(lǐng)導。
３．由于任何客觀(guān)對象都有其空間情勢和數量關(guān)系，因而從理論上說(shuō)以空間情勢與數量關(guān)系為鉆研對象的數學(xué)可以利用于客觀(guān)世界的一切領(lǐng)域 ，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無(wú)處不用數學(xué)。利用數學(xué)解決問(wèn)題，不但首先要提出問(wèn)題，并用明確 的語(yǔ)言加以表述，而且要建立 數學(xué)模型，還要對數學(xué)模型進(jìn)行數學(xué)推導和論證，對數學(xué)效果進(jìn)行檢驗和評價(jià)。也就是說(shuō)，數學(xué)之利用，它不僅表現 為一種工具，一種語(yǔ)言，而且是一種法子 ，是一種思維模式。根據 數學(xué)利用的廣泛 性特性，數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導還要領(lǐng)導學(xué)生建立 和操作數學(xué)模型，以及進(jìn)行檢驗和評價(jià)。
三從數學(xué)學(xué)習的角度起程，就是要通過(guò)對數學(xué)學(xué)習歷程的考查，引申出數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導的內容和策略。關(guān)于數學(xué)學(xué)習的歷程，對比新鮮的觀(guān)點(diǎn)是：“在原有行徑結構 與認知結構 的根基上，或是將環(huán)境對象納入其間（同化），或是因環(huán)境作用而引起原有結構 的轉變（順應），于是形成新的行徑結構 與認知結構 ，如此不斷往復，直達到成相對的適應性平衡”。通過(guò)對這一認識的分析 和了解，就數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導而言，可概括出以下３點(diǎn)：
１．行徑結構 既是學(xué)習新知的目標和效果，又是學(xué)習新知的根基，因而在數學(xué)教學(xué)中亦需重視外部行徑結構 形成的領(lǐng)導。由于這種外部行徑首要包孕外部實(shí)物操作和外部符號（首要是語(yǔ)言）運動(dòng)，所以在數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導中，一要器重學(xué)具的操作（可請求學(xué)生盡可能多地制作 學(xué)具，操作學(xué)具）；二要器重學(xué)生的言語(yǔ)表達（給學(xué)生盡可能多地供給言語(yǔ)交換的時(shí)機，可以是教師與學(xué)生間的交換，也可以是學(xué)生與學(xué)生之間的交換）。
２．認知結構 同樣既是學(xué)習新知的目標和效果，也是學(xué)習新知的根基，故而數學(xué)教學(xué)要加強 數學(xué)認知結構 形成的領(lǐng)導。所謂數學(xué)認知結構 ，是指學(xué)生腦子中的知識結構 按自己的了解深度、廣度，聯(lián)合自己的感到、知覺(jué)、記憶、思維等認知特性，組合成的一個(gè)具有內部規律的整體結構 。因此，對于學(xué)生形成數學(xué)認知結構 的領(lǐng)導，要害在于不斷地進(jìn)步所浮現的數學(xué)知識和經(jīng)驗的結構 化程度 。在數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導中，須注意如下幾點(diǎn)：①加強 數學(xué)知識間接洽的教學(xué)。無(wú)論是新知識的引入和了解，還是鞏固和利用，尤其是知識的復習 和收拾，都要從知識間的接洽起程。②器重數學(xué)思想的發(fā)掘和滲透。由于數學(xué)思想是對數學(xué)的本色的認識，因而數學(xué)思想是數學(xué)知識結構 建立 的根基。常見(jiàn)的數學(xué)思想有：符號思想、對應思想、數形聯(lián)合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③重視數學(xué)法子 的明晰教學(xué)。數學(xué)法子 作為解決問(wèn)題的手法，是建立 數學(xué)知識結構 的橋梁。常見(jiàn)的數學(xué)法子 有：化歸法、結構法、參數法、變換法、換元法、配法子 、反證法、數學(xué)歸納法等。
３．在原有行徑結構 與認知結構 的根基上，無(wú)論是通過(guò)同化，還是通過(guò)順應來(lái)獲得新知，必須 是在一種學(xué)習機制的作用下方能實(shí)現。而這種學(xué)習機制首要就是對學(xué)習新知歷程的監控和調節，即所謂的元學(xué)習。本色上，能否會(huì )學(xué)，要害就在于這種學(xué)習是否建立 起來(lái)。于是，元學(xué)習的領(lǐng)導又成為數學(xué)法子 領(lǐng)導的首要內容。為此，在數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導中，需要 注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數學(xué)運動(dòng)法子 的概括，如遇到一個(gè)數學(xué)證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數學(xué)理論或技術(shù)的利用背景和條件的概括，如控制換元法的具體步驟，獲得換元技術(shù)，了解在什么條件下利用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì ) 影響數學(xué)學(xué)習（數學(xué)認知）的各種因素。比如，學(xué)習材料 的浮現法子 是文字的、字母的，還是圖形的；學(xué)習任務(wù) 是盤(pán)算、證明，還是解決問(wèn)題，等等。這些學(xué)習材料 和學(xué)習任務(wù) 方面的因素，都對數學(xué)學(xué)習產(chǎn)生 影響。③要充沛揭示數學(xué)思維的歷程。比如，揭示知識的形成歷程、思路的產(chǎn)生 歷程、嘗試摸索歷程和偏差糾正 歷程。④贊助 學(xué)生進(jìn)行自我診斷，明確 其自身數學(xué)學(xué)習的特點(diǎn)。比如：有的學(xué)生長(cháng)于代數，而認知幾何較差；有的學(xué)生記憶力較強而了解力較弱；還有的學(xué)生口頭表達不如書(shū)面表達等。⑤領(lǐng)導學(xué)生對學(xué)習運動(dòng)進(jìn)行評價(jià)。如評價(jià)問(wèn)題了解的正確 性、學(xué)習企圖 的可行性、解題程序的簡(jiǎn)捷性、解題法子 的有效性等諸多方面。⑥贊助 學(xué)生形成自我監控的意識。如監控認知方向意識、認知歷程意識和調節認知策略意識等等。
四根據 數學(xué)內容的性質(zhì)，數學(xué)教學(xué)一般可分為概念教學(xué)、命題（首要有定理、公式、法則、性質(zhì)）教學(xué)、例題教學(xué)、習題教學(xué)、總結與復習 等５類(lèi)。相應地，數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導的實(shí)行亦需分辨 落實(shí)到這５類(lèi)教學(xué)之中。這里僅就例題教學(xué)中如何實(shí)行數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導談?wù)勛约旱恼J識。
１．根據 學(xué)生的學(xué)情布置例題。如前所述，學(xué)習新知必須 建立 在已有的根基之上，從內容上講，這個(gè)根基既包孕知識根基，又包孕認知程度和認知能力 ，還包孕學(xué)習興趣 、認知意識，乃至學(xué)習態(tài)度等有關(guān)學(xué)習動(dòng)力系統 方面的籌辦。因此，無(wú)論是選配例題，還是布置例題，都要考慮 到學(xué)生的學(xué)習情況 ，尤其是要考慮 激發(fā)學(xué)生認知興趣 和認知需求的原則（稱(chēng)之為動(dòng)機原則）。在例題選配和布置中，可采納增、刪、調的策略，力求既突出重點(diǎn)，又符合學(xué)生的學(xué)情。所謂增，即根據 學(xué)生的認知缺點(diǎn)增補鋪墊性例題，或者為突破某個(gè)難點(diǎn)增加過(guò)渡性例題。所謂刪，即根據 學(xué)生情況 ，刪去對比簡(jiǎn)略的例題或請求過(guò)高的難題。所謂調，即根據 學(xué)生的實(shí)際程度，將后面的例題調至前面先教，或者將前面的例題調到后面后教。
２．根據 學(xué)習目標 和任務(wù) 精選例題。例題的作用是多方面的，最根基的莫過(guò)于了解知識，利用知識，鞏固知識；莫過(guò)于訓練數學(xué)技術(shù)，培植數學(xué)能力 ，發(fā)展數學(xué)觀(guān)念。為施展例題的這些根基作用，就要根據 學(xué)習目標 和任務(wù) 選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個(gè)知識點(diǎn)、某項數學(xué)技術(shù)、某種數學(xué)能力 等重點(diǎn)內容而增補強化性例題，或者根據 接洽社會(huì )發(fā)展的需要 ，增加補充 性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過(guò)時(shí)的例題。所謂并，即為突出某項內容把單元內前后的幾個(gè)例題合并為一個(gè)例題，或者為突出知識間的接洽打破單元界限 而把不同內容的例題綜合在一起。
３．根據 解題的心理歷程設計例題教學(xué)程序。遵守波利亞的解題理論，一般把解題歷程分為弄清問(wèn)題、擬定企圖 、實(shí)現企圖 、回首等４個(gè)階段。這是針對解題歷程本身而言的。但就解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，還該當增加一個(gè)步驟，也是重要環(huán)節，即要使學(xué)生“進(jìn)入問(wèn)題情境”，讓學(xué)生產(chǎn)生 一種認知的需要 。對于“進(jìn)入問(wèn)題情境”環(huán)節，請求教師用簡(jiǎn)短的語(yǔ)言，在承上啟下中，提出學(xué)習目標 ，明確 學(xué)習任務(wù) ，激起認知沖突。而對其余４個(gè)環(huán)節，教師的行徑可按波利亞的“怎樣解題表”中的請求去構思。一般教師和學(xué)生都能夠注意做到做好前３個(gè)環(huán)節，卻容易漠視“回首”環(huán)節。嚴峻說(shuō)來(lái)，回首環(huán)節對解題能力 的進(jìn)步，對例題教學(xué)目標的實(shí)現起著(zhù)不可替代的作用。對回首環(huán)節來(lái)講，除波利亞提出的幾條以外，更為首要的是對解題法子 的概括和反思，并使其能遷移到其它問(wèn)題的解決之中。
４．根據 數學(xué)法子 領(lǐng)導的目標和內容適度調劑例題。通常，人們根據 問(wèn)題的條件（Ａ）、解決的歷程（Ｂ）及問(wèn)題的結論（Ｃ）的情況 把數學(xué)題劃分為標準 題和非標準 題兩大類(lèi)：如果條件和結論都明確 ，學(xué)生也熟知解題歷程（即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），這種題為標準 題（記為ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中短缺一個(gè)或兩個(gè)要素的題則為非標準 題。如果分辨 用Ｘ、Ｙ、Ｚ表現對應于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，則非標準 題的題型（計６種）可表現為：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。數學(xué)教材中的例題大多數是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和極少數的ＡＹＺ型。由于數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導的一項首要任務(wù) 是教學(xué)生會(huì )抽象、概括、歸納、演繹，會(huì )數學(xué)地思考和交換，會(huì )分析 問(wèn)題和解決問(wèn)題，因而例題教學(xué)要特別 重視教材中短缺的幾種類(lèi)型題的教學(xué)。其中最為首要的是“開(kāi)放性題”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例題中，Ｚ不唯一）和“數學(xué)問(wèn)題解決”中所指出的“數學(xué)利用題”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主題是數學(xué)以外的內容）。對于“開(kāi)放性題”，由于它的結論不唯一，對培植學(xué)生數學(xué)思維有著(zhù)至關(guān)首要的作用。對于“數學(xué)利用題”，則由于它的解決要用數學(xué)模型法，因而對培植學(xué)生運用 分析 問(wèn)題和解決問(wèn)題的法子 是十分首要的。從數學(xué)學(xué)法領(lǐng)導的角度來(lái)說(shuō)，適度調劑例題很有必要。調劑的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點(diǎn)有關(guān)的“開(kāi)放性題”和“數學(xué)利用題”。
５．重視對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點(diǎn)外，例題教學(xué)還具有傳授新知識，積累 數學(xué)經(jīng)驗，完善 數學(xué)認知結構
參考文獻：
1、曲培富《數學(xué)教學(xué)中“教為主導、學(xué)為主體”的認識與實(shí)踐》（《中學(xué)數學(xué)雜志》1993年第1期）
2、肖柏榮《數學(xué)教導設計的藝術(shù)》（《數學(xué)通報》 1996年10月）
3、馮克誠《中學(xué)數學(xué)鉆研：3+x中學(xué)成功 學(xué)法系統》（內蒙古出版社，2000年9月）
4、皮連生《學(xué)與教的心理學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社 1997年）
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