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解析幾何建構及對數學(xué)的貢獻
解析幾何創(chuàng )立之前，幾何與代數就猶如兩條平行線(xiàn)一樣，是相互分離的兩個(gè)完成不同的領(lǐng)域，以下是小編搜集整理的一篇探究幾何構建對數學(xué)所做貢獻的論文范文，供大家閱讀查看。
1 時(shí)代背景的分析
勒內·笛卡爾(Ren¨DesCartes,1596~1650)，一般認為為近代歐洲哲學(xué)的始祖，理性主義的先驅?zhuān)谡軐W(xué)與科學(xué)上，完美地演繹了近代西方思想之流變的代表者。在哲學(xué)上，他以“我思故我在”的首命題開(kāi)啟了近代主體性哲學(xué)，被譽(yù)為“近代哲學(xué)第一人”;在自然科學(xué)上，解析幾何、光的反射及折射定律、血液循環(huán)學(xué)說(shuō)、漩渦宇宙論等突出成就奠定了笛卡爾在現代科學(xué)基礎性地位。尤為重要的是在笛卡爾初期思想體系中，“哲學(xué)”與“科學(xué)”之間從未真正分離過(guò)，統一的原則性與相同的邏輯推理融會(huì )貫通。本文選擇從解析幾何創(chuàng )立出發(fā)，討論笛卡爾方法論在解析幾何創(chuàng )立過(guò)程中的運用，進(jìn)而進(jìn)一步分析笛卡爾方法論思想在其哲學(xué)道路中的演化。
2 幾何的研究法對笛卡爾的影響
2.1 古代數學(xué)觀(guān)的影響
柏拉圖學(xué)園入口處的碑銘是：“不懂幾何學(xué)者莫入。”而柏拉圖本人也根深蒂固地認為幾何學(xué)知識是掌握其他更高領(lǐng)域知識的必由之路。而這種思想也是古希臘多數智者的統一認識。古希臘畢達哥拉學(xué)派，以“數”為本原，認為量和形式是實(shí)務(wù)多樣性的統一基礎。笛卡爾認為，蘇格拉底以前的希臘人憑借著(zhù)創(chuàng )造性的天賦創(chuàng )立了幾何學(xué)和算術(shù)科學(xué)，使之成為獲取確定性知識的科學(xué)基礎，這是柏拉圖哲學(xué)形成的前期條件。如果說(shuō)笛卡爾把幾何學(xué)作為哲學(xué)研究的基礎和模式，把幾何學(xué)公里體系的確定性作為哲學(xué)的標準。那么笛卡爾從古樸的數學(xué)觀(guān)開(kāi)始，由此及彼，最終形成自己哲學(xué)體系。
2.2 笛卡爾對數學(xué)的探索
1919 年 7 月笛卡爾在慕尼黑的烏爾姆，與剛出版《論算術(shù)》數學(xué)家福爾哈貝爾交往，對其產(chǎn)生影響。11 月，笛卡爾開(kāi)始試圖借鑒數學(xué)構建他的哲學(xué)方法論規則，并在此規則下研究各種具體的科學(xué)問(wèn)題。“我還繼續練習運用我所規劃的那種方法，因為我除了按照這些規則小心地對我的一切思想作普遍的引導外，還不時(shí)留下一點(diǎn)時(shí)間，從特殊方面著(zhù)手，用來(lái)解決數學(xué)上的一些難題，有時(shí)也用來(lái)解決一些別的科學(xué)上的難題;我發(fā)現那些問(wèn)題所依據的本原不夠牢靠，使它們脫離那些本原，于是把問(wèn)題弄得幾乎和數學(xué)問(wèn)題差不多了。”①1628 年 11 月，在巴黎羅馬教皇特使的住所，笛卡爾發(fā)表了演講。他通過(guò)周密的論證提出了不能在或然性上建立科學(xué)，而應當將科學(xué)建立在確定性的基礎上，并且只能如此，實(shí)現的途徑可以用數學(xué)的方法來(lái)演繹證明。
3 解析幾何建構及對數學(xué)的貢獻
解析幾何創(chuàng )立之前，幾何與代數就猶如兩條平行線(xiàn)一樣，是相互分離的兩個(gè)完成不同的領(lǐng)域。文藝復興后，歐洲學(xué)者不僅繼承了古希臘的幾何學(xué)，同時(shí)也接受了由阿拉伯傳入的代數學(xué)。雖然歐洲學(xué)者接受了這門(mén)新興學(xué)科---代數學(xué)，但是幾何學(xué)的思維仍舊根深蒂固地占據著(zhù)絕大多數數學(xué)家思維模式的統治地位。“至于古代人分析與近代人的代數，都只是研究抽象，看來(lái)十分無(wú)用的題材。”①笛卡爾認為：古老的幾何學(xué)和新興的代數學(xué)，二者的統一在于都是討論高度抽象且毫無(wú)實(shí)用價(jià)值的東西之外，前者只限于擺弄圖形，讓想象力匱乏的人不知所云，疲憊不堪，也就不能很好地理解運用;而后者則高度限制于定律和方程式中，形成呆板、混亂及模糊的科學(xué)，以至于不但不能栽培心智，反倒阻礙了發(fā)展。笛卡爾看到了幾何的直觀(guān)與推理的優(yōu)勢和代數運算的簡(jiǎn)便，決定尋找一種新的方法，可以涵蓋二者的優(yōu)勢，摒棄缺陷，笛卡爾希望提出把圖形和代數完美結合的模式，建立一種“真正的數學(xué)”.
3.1 解析幾何的創(chuàng )立
1637 年，笛卡爾在其第一部也是最具影響力的著(zhù)作《談?wù)劮椒ā分蟹治隽讼ＥD著(zhù)名的數學(xué)問(wèn)題---帕波斯問(wèn)題，在此基礎上創(chuàng )立了解析幾何。笛卡爾在附錄《幾何學(xué)》中把變量引進(jìn)數學(xué)：把幾何學(xué)的問(wèn)題轉化成代數的問(wèn)題，用代數學(xué)的方法研究幾何，開(kāi)創(chuàng )了用代數方法解決幾何問(wèn)題的先河。
笛卡爾在坐標系中，引進(jìn)單位長(cháng)度，利用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線(xiàn)的距離來(lái)確定點(diǎn)的位置，用坐標來(lái)描述空間上的點(diǎn)。線(xiàn)段與數量聯(lián)系起來(lái)，解決幾何作圖的原則性問(wèn)題。他在單位線(xiàn)段基礎上，進(jìn)行線(xiàn)段的加、減、乘、除、開(kāi)方等運算。通過(guò)線(xiàn)段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達同一個(gè)量，這將構成一個(gè)方程”,然后根據方程的解所表示的線(xiàn)段間的關(guān)系作圖。笛卡爾用數形結合的方法解決數學(xué)問(wèn)題，依照這種思想他創(chuàng )立了“解析幾何學(xué)”.
在此之前，有學(xué)者研究以?xún)蓷l相交直線(xiàn)作為參照系;同時(shí)也有學(xué)者天文研究時(shí)，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)數量經(jīng)度和緯度來(lái)表示。這些都對解析幾何的創(chuàng )建產(chǎn)生了很大的影響，但他們只是感性的認識，笛卡爾系統總結并公開(kāi)發(fā)表。另外，在數學(xué)史上，法國數學(xué)家費爾馬也是解析幾何的創(chuàng )建者之一。他的思路是通過(guò)軌跡來(lái)研究方程，與笛卡爾相反，剛好是解析幾何原則的兩個(gè)相反的方面，互為補充。
3.2 解析幾何創(chuàng )立的現實(shí)意義
解析幾何的出現，架起了“數”與“形”的橋梁，把二者統一了起來(lái)，并改變了自古希臘以來(lái)代數和幾何相互分離的趨向，使幾何曲線(xiàn)與代數方程相結合。笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問(wèn)題時(shí)，在平面上以一條直線(xiàn)為基線(xiàn)，為它規定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線(xiàn)，它們分別相當于x 軸、原點(diǎn)、y 軸，構成一個(gè)斜坐標系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)唯一地確定。帕普斯問(wèn)題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數與坐標系的選擇無(wú)關(guān)，因此可以根據方程的次數將曲線(xiàn)分類(lèi)。
笛卡爾這一天才創(chuàng )見(jiàn)，為微積分的創(chuàng )立奠定了基礎，從而開(kāi)拓了變量數學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡爾用運動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)，把曲線(xiàn)看成點(diǎn)的運動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數的對應關(guān)系，通過(guò)將點(diǎn)、線(xiàn)、面等形和“數”統一起來(lái)，建立了曲線(xiàn)和方程的對應關(guān)系。這種函數概念式的萌芽，標志變量進(jìn)入了數學(xué)思想方法。“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡爾的變數。有了變數，運動(dòng)進(jìn)入了數學(xué)，有了變數，辯證法進(jìn)入了數學(xué)，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。”①笛卡爾的這些成就，為后來(lái)牛頓、萊布尼茲發(fā)現微積分發(fā)現開(kāi)辟了道路。此后，人類(lèi)進(jìn)入變量數學(xué)階段。這也為后來(lái)的黎曼幾何奠定了基礎。
4 從解析幾何創(chuàng )立分析笛卡爾數學(xué)方法論
一般認為亞里士多德學(xué)說(shuō)是希臘科學(xué)的一個(gè)轉折點(diǎn)。從宏觀(guān)的角度，他是古希臘最后一個(gè)提出完整世界體系的哲學(xué)家。之后許多科學(xué)家放棄提出完整體系的想法，轉入具體問(wèn)題的研究上。在古希臘，數學(xué)是屬于形而上學(xué)的一部分，它用抽象的思維來(lái)解釋世界。笛卡爾在解析幾何上突破，在亞里士多德的形而上學(xué)體系打破缺口，在認知問(wèn)題跨出重要的一步，使得數學(xué)問(wèn)題不再是困擾哲學(xué)的一個(gè)問(wèn)題，促進(jìn)數學(xué)與哲學(xué)各自的發(fā)展，推動(dòng)數學(xué)方法推理，演繹更加合理化，從而在方法論發(fā)展哲學(xué)。
笛卡爾總結歸納其思想方法
第一條：“凡是我沒(méi)有明確認識到的東西，我絕不把他當做接受。”①永遠不接受任何我自己不清楚的真理。即沒(méi)有自身經(jīng)歷的問(wèn)題，無(wú)論多么權威都可以懷疑，也必須懷疑。這也是“認識自己”的前提，笛卡爾認為除了公理以外，真理是可以證明的。這是笛卡爾回歸古希臘的傳統。這也是文藝復興后，哲學(xué)的一個(gè)重要轉向的問(wèn)題，認知的問(wèn)題。這也是培根提出“經(jīng)驗主義”的根源。笛卡爾認為幾何就是用一連串的十分證明來(lái)完成最艱難的證明。他進(jìn)行推廣，由此及彼必然次序推理，只要我們不把假的當做真的接受，人類(lèi)能夠認識所有的東西。而一切要回到哲學(xué)的本源，最簡(jiǎn)單，最原始的東西開(kāi)始。
第二條：“把我所審查的難題近按照可能和必要的程度分成若干份，一一妥為的解決。”①這是分析的方法。在研究的過(guò)程中，我們要將復雜的研究問(wèn)題，化整為小，然后各個(gè)解決。笛卡爾就是利用幾個(gè)月時(shí)間研究幾何與代數最簡(jiǎn)單的問(wèn)題，他抓住“全部?jì)H僅是研究對象之間的各種關(guān)系或者比例”特點(diǎn)。為了研究他們，笛卡爾首先用簡(jiǎn)單的線(xiàn)段直觀(guān)的出現，再“盡量用短的數字”說(shuō)明它。“盡量用短的數字”這里指的是方程。這是笛卡爾的辯證的思想表現。
第三條：“按照我的次序進(jìn)行思考，先從最簡(jiǎn)單的、最容易認識的地方開(kāi)始;一點(diǎn)一點(diǎn)地上升，直到最復雜的認識對象;對于那些本來(lái)沒(méi)有次序的東西，也給它們設定一個(gè)次序。”①將這些小問(wèn)題從簡(jiǎn)單到復雜排列，先從容易解決的問(wèn)題著(zhù)手。先用簡(jiǎn)單的成功，促進(jìn)局部問(wèn)題的解決，這樣有利整體問(wèn)題的根本的解決。最重要要有次序，建立了一種邏輯關(guān)系。
笛卡爾認為直觀(guān)和演繹是數學(xué)上兩種基本方法。推演真理的程序是由公理達到結論。直觀(guān)是理智最單純的基本活動(dòng)，是絕對真理的供給基礎渠道。只要我們應用“心靈之眼”觀(guān)看三角形只有三邊等這樣顯而易見(jiàn)的感受事實(shí)，在研究任何問(wèn)題的過(guò)程中，一切難題的解答必須借助這類(lèi)單純的觀(guān)念。演繹也是理智的活動(dòng)，但是和直觀(guān)不同，它們不是單純理智的活動(dòng)，必須先假定了某些真理(或定義)之后，憑借這些定義推出一些結論。笛卡爾認為直觀(guān)的功用是在于提供科學(xué)和哲學(xué)的最新原則;而演繹則是應用這些原則來(lái)建立一些定理和命題。也就是說(shuō)，直觀(guān)是發(fā)明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過(guò)笛卡爾認為演繹是有缺陷的，因為同一個(gè)原則往往會(huì )演繹出不同的結論，每個(gè)人洞悉自己存在的事實(shí)和思想存在的事實(shí)。所以最終糾正的方法就是事實(shí)。這個(gè)糾正的方法就是經(jīng)驗，即所謂的訴諸事實(shí)。
歷史的積淀和現實(shí)的創(chuàng )造織成了一張人類(lèi)對知識的反思之網(wǎng)，縱向、橫向這兩個(gè)維度構成了一個(gè)“笛卡爾坐標系”,笛卡爾哲學(xué)不過(guò)是這張網(wǎng)上的紐結。它標示出了笛卡爾哲學(xué)的歷史坐標。
笛卡爾認為一切科學(xué)體系等同人的智慧�？茖W(xué)應用到不同的事物上，自然反應也就不同。理智等同的信念就成為科學(xué)的方法根據。哲學(xué)是愛(ài)智慧，笛卡爾深信在所有的知識中，數學(xué)最具資格被稱(chēng)為真正的科學(xué)。它具有真正科學(xué)的條件和達到真理的方法，所以他要借助數學(xué)的形式作為一切知識的形式。同時(shí)，數學(xué)方法也是普遍知識的方法。所以應當在數學(xué)中尋求理智活動(dòng)的法則�？茖W(xué)只有一種，因而方法也只有一個(gè)，數學(xué)方法也是其他科學(xué)的方法。任何人都能應用，并且十分方便，只要你仔細遵守，絕不會(huì )把假的當做真的，隨著(zhù)時(shí)間的推移，知識自然而然得到積累，而心靈達到理智所能知道的知識最高境界。
實(shí)驗方法、數學(xué)方法以及兩種方法的融合，是近代自然科學(xué)得以建立的基礎，這樣的實(shí)證研究方法在古希臘阿基米德那里已見(jiàn)傳統，隨著(zhù)力學(xué)自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，描述運動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問(wèn)題。笛卡爾站在方法論的自然哲學(xué)的高度，用數學(xué)方法演繹數學(xué)家與哲學(xué)家的歷史地位。
參考文獻
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[3] 黃學(xué)勝。論笛卡爾哲學(xué)中的“上帝”[J].華中科技大學(xué)學(xué)報：社會(huì )科學(xué)版，2007(4)。
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