構造函數法在解題中的應用

摘要：函數思想是數學(xué)思想的有機組成部分,它在數學(xué)解題中的應用越來(lái)越廣泛。本文就構造函數這一方法在不等式、數列、方程有解及恒成立問(wèn)題等方面的應用舉例說(shuō)明。
關(guān)鍵詞：函數思想；構造函數；不等式；方程；應用
        函數思想，指運用函數的概念和性質(zhì)，通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想轉化合理地構造函數，然后去分析、研究問(wèn)題，轉化問(wèn)題并解決問(wèn)題。因此函數思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀(guān)點(diǎn)提出數學(xué)對象，抽象其數量特征，建立函數關(guān)系。
        函數思想在數學(xué)應用中占有重要的地位，應用范圍很廣。函數思想不僅體現在本身就是函數問(wèn)題的高考試題中，而且對于諸如方程、三角函數、不等式、數列、解析幾何等問(wèn)題也常�？梢酝ㄟ^(guò)構造函數來(lái)求解。
        根據需要，構造輔助函數是高等數學(xué)中一種常用的方法，這種方法也已滲透到中學(xué)數學(xué)中。首先解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，用函數的觀(guān)點(diǎn)加以分析，�？墒箚�(wèn)題變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑。其次數量關(guān)系是數學(xué)中的一種基本關(guān)系�，F實(shí)世界的復雜性決定了數量關(guān)系的多元性。因此，如何從多變元的數量關(guān)系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關(guān)系，有時(shí)便成了數學(xué)問(wèn)題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。下面我們舉例說(shuō)明構造函數的方法在解題中的應用。
        一、構造函數解決有關(guān)不等式的問(wèn)題
        有些不等式證明和比較大小的問(wèn)題，如能根據其結構特征，構造相應的函數，從函數的單調性或有界性等角度入手，去分析推理，證明過(guò)程就會(huì )簡(jiǎn)潔又明快。
        例1：若  ，則 的大小關(guān)系是        。
        分析：式中各項的結構相同，只是字母不同，故可構造函數 進(jìn)行判斷。
        解：構造函數 ，易證函數  在其區間 是單調遞增函數。
        例2(2008年山東理)：已知函數 其中  為常數。當 時(shí)，證明：對任意的正整數 ，當 時(shí)，有 
        證法一：因為 ，所以 。
        當 為偶數時(shí)，令   則 （ ）所以  當 時(shí)， 單調遞增。又 ，因此 恒成立，所以   成立。當 為奇數時(shí)，要證 ，由于 ，所以只需證 ，令 ，則 （ ），所以，當 時(shí)， 單調遞增，又 ，所以當 時(shí)，恒有 ，即 命題成立。
        綜上所述，結論成立。
        證法二：當 時(shí)， ，當 時(shí)，對任意的正整數 ，恒有 ，故只需證明 。令    則   ，當 時(shí)， ，故 在 上單調遞增，因此  當 時(shí)， ，即 成立。故  當 時(shí)，有 ，即   。
        試題分析：第二問(wèn)需要對構造的新函數 進(jìn)行“常規處理”，即先證單調性，然后求最值，最后作出判斷。
        評注：函數類(lèi)問(wèn)題的解題方法要內悟、歸納、整理，使之成為一個(gè)系統，在具體運用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹防盲目套用。函數與不等式之間如同一對孿生兄弟，通過(guò)對不等式結構特征的分析，來(lái)構造函數模型，常�？梢允盏匠銎嬷苿俚男Ч�。此類(lèi)問(wèn)題對轉化能力要求很高，不能有效轉化是解題難以突破的主要原因，要善于構造函數證明不等式，從而體現導數的工具性。
        二、構造函數解決數列中的有關(guān)問(wèn)題
        數列的實(shí)質(zhì)是函數,用函數思想解數列問(wèn)題能夠加深對數列概念及公式的理解,加強知識點(diǎn)間的聯(lián)系.
        例3：在等差數列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,  求 Sp+q 的值。   
        略解：因為  是n的一次函數，點(diǎn)( n ,  ) 共線(xiàn)，所以點(diǎn) （p ,   ） ,   ( q  ,   )   ,  ( p + q ,    )  共線(xiàn)， 則有        化簡(jiǎn)即得   Sp+q  = －( p + q ) 。
        例4：等差數列{ }的首項 ,前 項的和為 ,若 ,問(wèn) 為何值時(shí) 最大?
        簡(jiǎn)析:運用數列中的通項公式的特點(diǎn),把數列問(wèn)題轉化為函數問(wèn)題解決。
        解:依題意,設此函數是以 為自變量的二次函數。
故二次函數 的圖象開(kāi)口向下當 時(shí), 最大,但 中,  當 為偶數時(shí),  時(shí),  最大當 為奇數時(shí),  時(shí),  最大。
        三、構造函數解決方程有解、無(wú)解及若干個(gè)解的問(wèn)題
        方程有解、無(wú)解問(wèn)題可以用“變量分離法”轉化為求函數的值域，或直接構造函數。
        例5(2010上海文科數學(xué))：若 是方程式 的解，則 屬于區間()       
        A. （0，1）  B.（1，1.25）  C.（1.25，1.75）  D.（1.75，2）
        解析： 
        知 屬于區間（1.75，2）
        例6（2010天津文科數學(xué)）：設函數f(x)=x- ,對任意 恒成立，則實(shí)數m的取值范圍是________。答案：m<-1

        解析：本題主要考查了恒成立問(wèn)題的基本解法及分類(lèi)討論思想，屬于難題。
        已知f（x）為增函數且m≠0，
        若m>0，由復合函數的單調性可知 和 均為增函數，此時(shí)不符合題意。
        M<0，時(shí)有 因為 在 上的最小值為2，所以1+ 即 >1,解得m<-1。
        點(diǎn)評：本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通�？梢岳�用分離變量。
        例7：已知函數 ，是否存在實(shí)數 ，使得 的圖象與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，求出 的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。
        解：函數 的圖象與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即構造函數。的圖象與 軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當 時(shí)， 是增函數； 當 時(shí)， 是減函數；當 時(shí)， 是增函數； 當 或 時(shí)， 當 充分接近0時(shí)， 當 充分大時(shí)， 要使 的圖象與 軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須所以存在   ，使得函數 與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。
        四、構造函數解決幾何問(wèn)題
        在幾何問(wèn)題中, 我們往往會(huì )遇到求夾角的最值和求線(xiàn)段的最短(長(cháng))距離等問(wèn)題，如果僅從幾何方面去思考,往往使問(wèn)題難以解決, 倘若能夠靈活地運用構造函數方法, 從而使幾何問(wèn)題“柳暗花明”。
        例8（2010福建文科數學(xué)）：若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為          
        A．2    B．3 C．6   D．8
        解析：由題意，F（-1，0），設點(diǎn)P ，則有 ,解得 ，因為 ， ，所以=  = ，此二次函數對應的拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸為 ，因為 ，所以當 時(shí)， 取得最大值 ，選C。
        從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數思想的應用，函數思想的應用想當廣泛，但這些方面都涉及到最基礎知識，只要在學(xué)習中扎扎實(shí)實(shí)地掌握基礎知識，學(xué)會(huì )全面地分析問(wèn)題，并注意在解題中不斷總結經(jīng)驗，就一定會(huì )真正掌握運用函數思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。 
參考文獻： 
[1]郭靜莉.構造函數法在高等數學(xué)解題中的應用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(科學(xué)教育版)，2011(2).
[2]李智. 淺談高等數學(xué)解題中構造函數法的應用[J].科技資訊，2008(16).
Abstract: Functional idea is an organic ingredient in mathematics idea and it is widely used in mathematics problem-solving. This paper analyzes the application of constructed function approach in inequality, progression, the existence of the solution and constant established.
Key words: functional idea; constructed function; inequality; equation; application

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