數學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習
一、數學(xué)問(wèn)題和數學(xué)問(wèn)題解決的涵義（一）數學(xué)問(wèn)題的涵義。
1．什么是數學(xué)問(wèn)題
數學(xué)問(wèn)題是指不能用現成的數學(xué)經(jīng)驗和方法解決的一種情景狀態(tài)。如除數是小數的除法，對初學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一個(gè)不能直接用除數是整數的除法法則進(jìn)行計算的情景狀態(tài)，它就是一個(gè)問(wèn)題。就信息加工而言，數學(xué)問(wèn)題對學(xué)生來(lái)講是一組尚未達到目標狀態(tài)的、有待加工處理的信息。如果把一個(gè)數學(xué)問(wèn)題看作一個(gè)系統，那么這個(gè)系統中至少有一個(gè)要素是學(xué)生還不知道的。假如構成這個(gè)系統的全部要素都是學(xué)生已知的，那么這個(gè)系統對學(xué)生來(lái)說(shuō)就不是問(wèn)題系統了，而是一種穩定系統。數學(xué)問(wèn)題有兩個(gè)特別顯著(zhù)的特點(diǎn)：一是障礙性，即學(xué)生不能直接看出問(wèn)題的解法和答案，必須經(jīng)過(guò)深入的研究與思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起學(xué)生的學(xué)習興趣，學(xué)生愿意運用已掌握的知識和方法去解決。
2．數學(xué)問(wèn)題的結構。
數學(xué)問(wèn)題作為一種有待加工的信息系統，它主要由以下三種成分構成。
（l）條件信息。條件信息是指問(wèn)題已知的和給定的東西，它可以是一些數據、一種關(guān)系或者某種狀態(tài)。如計算題中給定的數據和運算符號、應用題中的已知數量及其相互之間的關(guān)系等都是數學(xué)問(wèn)題給定的條件信息。
（2）目標信息。目標在這里是指一個(gè)數學(xué)問(wèn)題求解后所要達到的結果狀態(tài)，即通常所說(shuō)的要求什么。如問(wèn)題“課外活動(dòng)時(shí)，體育委員到保室領(lǐng)球，按5個(gè)人一個(gè)籃球、8 個(gè)人一個(gè)排球、10 個(gè)人一個(gè)足球計算，一共要領(lǐng)17 個(gè)球。全班共有多少人參加課外活動(dòng)？籃球、排球、足球各要領(lǐng)多少個(gè)？”中的“全班共有多少人參加課外活動(dòng)”和“籃球、排球、足球各要領(lǐng)多少個(gè)”就是問(wèn)題給定的目標信息。數學(xué)問(wèn)題一旦由問(wèn)題狀態(tài)轉化成目標狀態(tài)以后，它就不再是一個(gè)問(wèn)題系統了。如在上例中，未求出全班參加課外活動(dòng)人數和三種球的個(gè)數以前它是一個(gè)問(wèn)題系統，一旦求出答案達到目標狀態(tài)以后，它就是一個(gè)穩定系統了。
（3）運算信息。運算在這里是指條件所允許采取的求解行動(dòng)，即可以采取哪些操作方式把數學(xué)問(wèn)題由問(wèn)題狀態(tài)轉化成目標狀態(tài)，它是問(wèn)題求解的依據。如56.28÷0.67，可以利用除法商不變性質(zhì)把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法，然后按照除數是整數的除法法則進(jìn)行計算，這就是問(wèn)題給定的運算信息，沒(méi)有這些信息就無(wú)法計算出結果。
（二）數學(xué)問(wèn)題解決及其特征。
根據數學(xué)問(wèn)題的涵義，數學(xué)問(wèn)題解決是指學(xué)生在新的情景狀態(tài)下，運用所掌握的數學(xué)知識對面臨的問(wèn)題采用新的策略和方法尋求問(wèn)題答案的一種心理活動(dòng)過(guò)程。
數學(xué)問(wèn)題解決是以思考為內涵，以問(wèn)題目標為走向的心理活動(dòng)過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是運用已有的知識去探索新情景中的問(wèn)題結果，使問(wèn)題由初始狀態(tài)達到目標狀態(tài)的一種活動(dòng)過(guò)程。與其它一般問(wèn)題解決一樣，小學(xué)數學(xué)學(xué)習中的問(wèn)題解決也具有以下基本特征。
第一，數學(xué)問(wèn)題解決指的是學(xué)生初次遇到的新問(wèn)題，如果是解以前解過(guò)的題，對學(xué)習者來(lái)說(shuō)就不是問(wèn)題解決了，而是做練習。
第二，數學(xué)問(wèn)題解決是一種積極探索和克服障礙的活動(dòng)過(guò)程。它所采用的途經(jīng)和方法是新的，至少其中某些部分是新的，這些方法和途徑是已有數學(xué)知識和方法的重新組合。這種重新組合通常構成一些更高級的規則和解題方法，因此數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程又是一個(gè)發(fā)現和創(chuàng )新的過(guò)程。
第三，數學(xué)問(wèn)題一旦得到解決，學(xué)生通過(guò)問(wèn)題解決過(guò)程所獲得的解決問(wèn)題的方法就成為他們認知結構的一個(gè)組成部分，這些方法不僅可以直接用來(lái)完成同類(lèi)學(xué)習任務(wù)，還可以作為進(jìn)一步解決新問(wèn)題的已有策略和方法。
二、教學(xué)問(wèn)題解決的功能
數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程是一個(gè)復雜的心理活動(dòng)過(guò)程，它對學(xué)生的學(xué)習和發(fā)展具有重要的作用，其功能可概括為以下幾個(gè)方面。
（一）問(wèn)題解決有利于提高學(xué)生數學(xué)知識的掌握水平。
數學(xué)問(wèn)題解決，從根本上來(lái)講是把前面已學(xué)到的數學(xué)知識運用到新的情景中去的過(guò)程，并且這種運用不是一種簡(jiǎn)單的模仿操作，而是一種對已經(jīng)掌握的數學(xué)概念、規則、方法和技能重新組合的創(chuàng )造性運用。這個(gè)過(guò)程本身就是一種加深數學(xué)知識的理解并靈活運用所學(xué)知識的過(guò)程，因此數學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習有利于學(xué)生提高數學(xué)知識和技能的掌握水平。如計算異分母分數加減法，要綜合運用分數的基本性質(zhì)、通分和同分母分數加減法法則等知識才能使問(wèn)題得到解決，很明顯，這個(gè)過(guò)程的本身就是一個(gè)提高分數基本性質(zhì)、通分和同分母分數加減法法則掌握水平的過(guò)程。
數學(xué)問(wèn)題解決和練習都有提高知識掌握水平的功能，但兩者有著(zhù)根本性的區別。前者主要是通過(guò)對已有知識和方法的重新組合而生成新的解題策略和方法，它通過(guò)創(chuàng )新活動(dòng)去實(shí)現已有數學(xué)知識在更高層次上的掌握；而練習則更多地是一種對已有知識的重復學(xué)習，它主要是通過(guò)鞏固去加深知識的理解和掌握。
（二）問(wèn)題解決能培養學(xué)生運用所學(xué)數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
在數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，根據實(shí)現問(wèn)題目標的需要，學(xué)生要主動(dòng)地將原來(lái)所學(xué)過(guò)的有關(guān)知識運用到新的情景中去，使問(wèn)題得到解決。這個(gè)過(guò)程本身就是一個(gè)運用數學(xué)知識，使知識轉化成能力的過(guò)程。
因此數學(xué)問(wèn)題解決對于培養學(xué)生的數學(xué)能力，特別是運用所學(xué)數學(xué)知識解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力具有重要的意義。
首先，它促使學(xué)生在原有認知結構中去提取有用的知識和經(jīng)驗運用于新的問(wèn)題情景，培養學(xué)生根據目標需要檢索和提取有用信息的能力。其次，數學(xué)問(wèn)題解決促使學(xué)生將過(guò)去已掌握的靜態(tài)的知識和方法轉化成可操作的動(dòng)態(tài)程序。這個(gè)過(guò)程本身就是一個(gè)將知識轉化成能力的過(guò)程。另外，數學(xué)問(wèn)題解決能使學(xué)生將已有的數學(xué)知識遷移到他們不熟悉的情景中去，并作為實(shí)現問(wèn)題解決的方法和措施。這既是一種遷移能力的培養，同時(shí)又是一種主動(dòng)運用原有的知識解決新問(wèn)題能力的培養。
（三）問(wèn)題解決能培養學(xué)生數學(xué)意識。
在數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生對面臨的問(wèn)題要運用哪些數學(xué)知識，怎樣去運用這些知識才能使問(wèn)題得到解決，他們都有明確的認識，因此數學(xué)問(wèn)題解決能有效地培養學(xué)生的數學(xué)意識。首先，在數學(xué)問(wèn)題解決中學(xué)生能更加明確地認識到過(guò)去所學(xué)數學(xué)知識的重要作用。如加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律、分配律，學(xué)生在學(xué)習這些定律時(shí)并沒(méi)有完全意識到它們的作用，只有在用這些定律解決簡(jiǎn)便計算問(wèn)題時(shí)，他們才真正體會(huì )到這些定律的重要性。其次，長(cháng)期的數學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習，能培養學(xué)生用數學(xué)的眼光去觀(guān)察身邊的事物，用數學(xué)的思維方法去分析日常生活中的現象。再次，在數學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生還能切身感受到運用數學(xué)知識解決問(wèn)題后的成功體驗，這不僅可以增強學(xué)生學(xué)好數學(xué)的信心，還可以使他們更加深刻地感受到自己所學(xué)的數學(xué)知識都是有用的。
（四）問(wèn)題解決能培養學(xué)生的探索精神和創(chuàng )新能力。
數學(xué)問(wèn)題解決中的問(wèn)題對學(xué)生來(lái)說(shuō)都是第一次遇到的新情景，怎樣去實(shí)現問(wèn)題的解決并沒(méi)有現成的方法和措施可采用，需要學(xué)生根據具體的問(wèn)題情景去探索和發(fā)現能使問(wèn)題達到目標狀態(tài)的方法與途徑，這個(gè)過(guò)程的本身就是一個(gè)主動(dòng)探索的過(guò)程。因此數學(xué)問(wèn)題解決有利于學(xué)生探索精神的培養。另一方面，任何數學(xué)問(wèn)題的解決都不能直接依賴(lài)于已有的知識和方法，只有通過(guò)對已掌握的知識和方法的重新組合并生成新的策略和方法才能實(shí)現問(wèn)題的解決。很明顯，數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程又是一個(gè)創(chuàng )新的過(guò)程。這一過(guò)程促使學(xué)生尋求新的途徑和方法去實(shí)現問(wèn)題的解決。它不僅可以使學(xué)生獲得初步的創(chuàng )新能力，同時(shí)還可以讓學(xué)生從小養成創(chuàng )新的意識和創(chuàng )新的思維習慣，為今后實(shí)現更高層次的創(chuàng )新奠定良好的基礎。 在教學(xué)中挖掘數學(xué)問(wèn)題解決中隱藏的培養學(xué)生探索精神和創(chuàng )新能力的巨大潛力，引導學(xué)生加強數學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習，充分發(fā)揮其培養學(xué)生探索精神和創(chuàng )新能力的功能，在當前也是素質(zhì)教育賦予小學(xué)數學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要任務(wù)。
三、教學(xué)問(wèn)題解決的一般過(guò)程
數學(xué)問(wèn)題解決是一個(gè)連續的心理活動(dòng)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程通常反映為以下四個(gè)基本步驟。
（一）感知、理解問(wèn)題。
感知和理解問(wèn)題是數學(xué)問(wèn)題解決的第一步。這一步主要是學(xué)習者明確問(wèn)題所提供的條件信息和目標信息，并在頭腦里建立起問(wèn)題的表象。具體來(lái)講，在這一步先感知問(wèn)題通過(guò)文字描述、畫(huà)面或其它形所提供的信息，了解問(wèn)題給定了哪些已知條件和有用的東西，在此基礎上明確問(wèn)題中有哪些可供利用的有用信息；然后進(jìn)一步了解問(wèn)題所提供的目標信息，即知道要解決什么問(wèn)題，由此在頭腦里形成問(wèn)題事件的表象，明確問(wèn)題的初始狀態(tài)和所要達到的目標狀態(tài)。
感知和理解問(wèn)題時(shí)要注意對問(wèn)題的已知條件和問(wèn)題的初始狀態(tài)有全面而完整地認識，尤其是對那些綜合性強、關(guān)系復雜的數學(xué)問(wèn)題，要注意發(fā)現問(wèn)題中的隱蔽條件，充分搜集有用的信息，這對實(shí)現問(wèn)題的解決有重要的意義。例如，在問(wèn)題“大數和小數的差是80.l，小數的小數點(diǎn)向右移動(dòng)一位就剛好與大數相等，大數和小數各是多少”中，大數和小數之間的倍數關(guān)系這一重要條件信息，題中就沒(méi)有直接告訴，而是隱蔽在“小數的小數點(diǎn)向右移動(dòng)一位剛好與大數相等”之中，需要學(xué)習者自己去發(fā)現。
另外，感知和理解問(wèn)題時(shí)不要忽視問(wèn)題目標的導向作用，要根據目標信息去搜集條件信息，這樣不僅可以更容易獲得使問(wèn)題達到目標狀態(tài)的所有有用信息，同時(shí)還可以有效地排除無(wú)用信息的干擾。
（二）確定求解方案。
這是一個(gè)根據前面獲得的條件信息、目標信息、問(wèn)題的初始狀態(tài)及學(xué)習者頭腦里形成的問(wèn)題目標狀態(tài)選擇解題方法，制定求解計劃的過(guò)程，這是實(shí)現問(wèn)題解決的最關(guān)鍵的一步。這一步是一個(gè)復雜的心理活動(dòng)過(guò)程，要連續完成以下幾方面的任務(wù)。
1．問(wèn)題類(lèi)化。
問(wèn)題類(lèi)化在這里是指把問(wèn)題中的主要內容同學(xué)習者原有認知結構中有關(guān)的數學(xué)知識和方法聯(lián)系起來(lái)，并把這些已有的知識和方法作為重新組合成解決問(wèn)題的新方法的依據和基礎。如在上例中，這一步就是將問(wèn)題中的內容同原來(lái)已掌握的“小數點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數大小變化規律”�！敖獯鸩畋秵�(wèn)題的方法”等內容聯(lián)系起來(lái)，讓這些內容在學(xué)習者頭腦里處于激活狀態(tài)，為后面確定求大數和小數的解題方法做好準備。
如果問(wèn)題內容太復雜、太抽象，一時(shí)難以類(lèi)化，就應采取適當的措施降低難度，使問(wèn)題同學(xué)生原有認知結構中的有關(guān)內容建立起聯(lián)系。其方法一是可以利用實(shí)物、模像或圖示等直觀(guān)手段，使問(wèn)題中的隱蔽條件明朗化；二是可以利用適當改變問(wèn)題內容的敘述方式，將逆向表述的問(wèn)題變成順向表述的問(wèn)題，使問(wèn)題內容同學(xué)生原有認知結構建立起直接的聯(lián)系。
2．尋找解決問(wèn)題的突破口。
尋找解題的突破口，在這里包含兩方面的任務(wù)：一是抓住問(wèn)題解決的關(guān)鍵，找到解題的主攻方向；二是明確從什么地方入手去解決問(wèn)題，確定解題思維的起點(diǎn)。這一步對整個(gè)解題過(guò)程至關(guān)重要，它是問(wèn)題能否實(shí)現順利解決的關(guān)鍵。由于解決問(wèn)題時(shí)所采用的思維方法和思維起點(diǎn)的不同，所以這一步在具體實(shí)施過(guò)程中具有相對的靈活性，有些問(wèn)題可以從目標入手去找問(wèn)題解決的條件，有些問(wèn)題應當從條件入手通過(guò)條件的組合去實(shí)現問(wèn)題的解決，有些問(wèn)題需要將兩者結合起來(lái)思考找出問(wèn)題解決的辦法。到底從什么地方入手去解決問(wèn)題，要根據不同數學(xué)問(wèn)題的具體情況和學(xué)習者的思維習慣及發(fā)展水平去定，不能一概而論。
3．確定解題步驟。
確定解題步驟是指學(xué)生在頭腦里擬出問(wèn)題求解的具體操作程序，即確定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求學(xué)生寫(xiě)出書(shū)面的解題計劃。從解決問(wèn)題的思考過(guò)程來(lái)講，這一步主要是一個(gè)確定解題思維發(fā)展方向的問(wèn)題，即在前面已確定的思考起點(diǎn)的基礎上進(jìn)一步確定出整個(gè)解題過(guò)程應沿著(zhù)什么方向思考下去，以保證解題時(shí)思維目標信息確定的方向順利進(jìn)行。解題時(shí)思維過(guò)程的發(fā)展方向是直接受思考起點(diǎn)制約的，同一問(wèn)題如果思考起點(diǎn)不同，思維過(guò)程展開(kāi)的方向也不同。例如“小玲讀一本故事書(shū)，第一天讀了全書(shū)的25％，第二天讀了余下的，還剩下45 頁(yè)沒(méi)有讀。這本故事書(shū)一共有多少頁(yè)？”制定求解方案時(shí)，如果以求二天所看頁(yè)數占全書(shū)總頁(yè)數的分率為突破口，其思維過(guò)程就可以沿著(zhù)“第二天看了全書(shū)的幾分之幾→剩下的45 頁(yè)占全書(shū)的總頁(yè)數的幾分之幾→全書(shū)共有多少頁(yè)”的方向展開(kāi)；如果以求第一天看后還剩下的頁(yè)數為突破口，就先把第一天看后還剩下的頁(yè)數看做單位“l(fā)”，然后再把全書(shū)總頁(yè)數著(zhù)做單位“l(fā)”，其思維過(guò)程是：先求出第二天讀后剩下的45 頁(yè)對應的分率，再求第一天讀后剩下的頁(yè)數，緊接著(zhù)求第一天讀25％后還剩下百分之幾沒(méi)有讀，最后求出全書(shū)的總頁(yè)數。確定解題步驟時(shí)，不管以什么為思考起點(diǎn)和沿著(zhù)什么方向展開(kāi)思維，都要注意兩點(diǎn)：一是要注意問(wèn)題目標的導向，思考的方向始終要朝著(zhù)問(wèn)題的目標狀態(tài)展開(kāi)；二是思維活動(dòng)不能脫離數學(xué)問(wèn)題所給定的條件，只能在問(wèn)題的運算信息所允許的范圍內進(jìn)行。
（三）實(shí)施問(wèn)題解答。
實(shí)施問(wèn)題解答就是將前面所制定的解題計劃付諸實(shí)施，使問(wèn)題達到目標狀態(tài)。它要求學(xué)習者按照既定的解題思路有序地進(jìn)行推導、運算、操作，直到得出正確的答案。這一步既是一個(gè)執行解題計劃的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)檢驗和修正解題計劃的過(guò)程。解題時(shí)如果發(fā)現前面所制定的求解計劃和解題思路不當或者不簡(jiǎn)便，應及時(shí)修正，以減少解題過(guò)程中的失誤，使問(wèn)題比較順利地達到目標狀態(tài)。
（四）總結評價(jià)。
問(wèn)題解決以后，學(xué)習者還應主動(dòng)對自己的求解過(guò)程和結果進(jìn)行檢驗與評價(jià)，看解題過(guò)程是否合理、簡(jiǎn)便，結果是否正確。如果發(fā)現錯誤，應認真分析錯誤的原因，并及時(shí)糾正錯誤，使問(wèn)題獲得正確答案�？偨Y評價(jià)時(shí)應注意分析問(wèn)題還有無(wú)其它解答方法、還有哪些新的方法，這樣有利于學(xué)生養成從不同角度去分析和解決問(wèn)題的能力及思維習慣。
總結評價(jià)是構成數學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的一個(gè)不可缺少的步驟，它對學(xué)生反省解題過(guò)程，保證解題過(guò)程及結果的正確性，提高學(xué)生自我反思和評價(jià)能力都具有十分重要的意義。
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