淺談數學(xué)解學(xué)中發(fā)散思維的培養

        一、 一題多解，引導學(xué)生廣開(kāi)思路、發(fā)散思維
        在教學(xué)中，在教學(xué)中運用精選的習題進(jìn)行一題多解的訓練，一題多解，就是用不同的思維分析方法，多角度多途徑地解答問(wèn)題數學(xué)題目，由于其內在的規律，或思考的途徑不同，可能會(huì )有許多不同的解法．因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師有意識的通過(guò)教材題目的引伸拓寬，引導學(xué)生廣開(kāi)思路、發(fā)散思維，探求多種解法，以此來(lái)訓練和培養他們思維的創(chuàng )造性．
        如2008年陜西中考試題第二十題：陽(yáng)光明媚的一天，數學(xué)興趣小組的同學(xué)們去測量一棵樹(shù)的高度（這棵樹(shù)底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺、標桿、一副三角尺、小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案．

        第一種方法：選用皮尺、標桿；證明△ABC∽△DEF ,測量DE、AC、EF的長(cháng)就能得出樹(shù)AB的高度．
        第二種方法：選用平面鏡、皮尺；利用平面鏡成像原理證明證明△ABC∽△DEF ,測量CE、DE、AC的長(cháng)就能得出樹(shù)AB的高度．
        第三種方法：選用標桿、皮尺；利用視線(xiàn)，測量DF、AF、EF、CD的長(cháng)，構造相似三角形，從而得出樹(shù)高AB的高度．
        采用“一題多解”時(shí)要引導學(xué)生從不同角度來(lái)觀(guān)察和思考，以尋求不同的解題途徑，同時(shí)引導學(xué)生對多種方法進(jìn)行比較，優(yōu)化解題方法，并注意找出同一問(wèn)題存在各種解法的條件與原因，挖掘其內在規律．
        二、 一題多變，變式題目結構，培養學(xué)生的數學(xué)發(fā)散思維
        教學(xué)中也可運用“一題多變”將題目結構進(jìn)行變式，將一題演變成多題，而題目實(shí)質(zhì)不變，讓學(xué)生解答這樣的問(wèn)題，能隨時(shí)根據變化的情況思考，從中找出它們之間的區別和聯(lián)系，以及特殊和一般的關(guān)系．使學(xué)生不僅能復習、回顧、綜合應用所學(xué)的知識，而且是使學(xué)生把所學(xué)的知識、技能、方法、技巧學(xué)牢、學(xué)活，培養了思維的靈活性和解決問(wèn)題的應變能力．
        如：學(xué)習人教版九年級的二次函數時(shí)，例題：已知二次函數的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（－2，0）、C（2，4）三點(diǎn)，求此函數的解析式．        出示題目后，讓學(xué)生分析題意，再做解答，大多數學(xué)生用待定系數法：設
        Y= ａX2 +ｂX+ C（a≠0）通過(guò)解方程組求得；也有一部分學(xué)生由于認真分析了這道題的特征，設出了Y=ａ（x－1）（x－2）（ａ≠0），再將（2，4）代入上式，很快得出函數解析式，并確認了第二種解法更簡(jiǎn)捷，此時(shí)學(xué)生們情緒激昂、思維活躍，教師便因勢利導提出問(wèn)題：能否適當改變題中的條件，使所求的函數解析式不變？學(xué)生分小組討論、交流，并明確比一比哪一小組編得又快又好．各小組分別進(jìn)行探究，教師深入到小組中，了解學(xué)生探究的過(guò)程、碰到的問(wèn)題等．在給定時(shí)間內學(xué)生充分討論后，編得了許多好題，并要求其他小組的同學(xué)驗證、評價(jià)．典型的題目有以下幾種： 
        變式１．已知Y＝ａX2＋X＋C（ａ≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（－2，0），求這個(gè)函數的解析式．
        變式2．已知Y＝X2，平移，使這個(gè)函數的圖象經(jīng)過(guò)（1，0）和（－2，0），求這個(gè)函數的解析式．
        變式3．已知二次函數的圖象經(jīng)過(guò)（0，－2），圖象向右平移 個(gè)單位后，以Y軸為對稱(chēng)軸，圖象向上平移 個(gè)單位后與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)二次函數的解析式．
        變式4．已知二次函數Y＝ａX2＋ｂX－2圖象過(guò)點(diǎn)（－1，－2），且函數最小值為－1 ，求這個(gè)二次函數的解析式．
        以上所用的方法都不同，但所求函數解析式均為Y＝X2＋X－2，正所謂殊途同歸，一題多用，例題既考慮到知識的覆蓋面，又和教材重點(diǎn)內容緊密相聯(lián)，經(jīng)常通過(guò)這樣的訓練，能使學(xué)生具有敏捷的思維，豐富的想象，出眾的發(fā)散思維能力．
        三、一法多用，通過(guò)對方法實(shí)質(zhì)的理解，運用一種方法解決同類(lèi)型的題目，鍛煉學(xué)生的思維．
        學(xué)生在解題過(guò)程中能總結有著(zhù)普遍意義的方法，這種方法能向寬闊的范圍內遷移，并應用于許多情況．
        例如，人教版八年級下冊四邊形中有這樣一道題：你知道順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是什么四邊形嗎？在本題中涉及中點(diǎn)，自然應該聯(lián)想到三角形兩邊中點(diǎn)連線(xiàn)平行第三邊．因此，在圖上進(jìn)行分解時(shí)，要有意識把全圖用不同形式分解出三角形中具有中位線(xiàn)的圖形，不難推出這個(gè)四邊形是平行四邊形．
        許多幾何圖形之間有著(zhù)內在的聯(lián)系，此題可引申為任意四邊形、平行四邊形、菱形，矩形，正方形中點(diǎn)連線(xiàn)所得的四邊形是什么樣的形狀．這樣對題目進(jìn)行訓練，一是有利把四邊形的知識作充分的復習和應用；二是對如何運用三角形中位線(xiàn)的技巧做了系統的訓練，可以完全掌握這類(lèi)問(wèn)題的思路，并且他們會(huì )把新知識消化吸收，納入已有的知識系統，形成新的 認知結構，這樣從一題多解引申探討，達到做一題知一類(lèi)，提高解題能力，培養發(fā)散思維的目標．
        發(fā)散思維是對已知信息進(jìn)行多方面、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問(wèn)題，探索新知識或發(fā)現多種解答和多種結果的思維方式，其功能是“求異”．發(fā)散思維對推廣原問(wèn)題、引申舊知識、發(fā)現新方法等具有積極的開(kāi)拓作用．因此，創(chuàng )造力更多地富于發(fā)散思維中．發(fā)散思維是多方向性和開(kāi)放性的思維方式，它同單一、刻板和封閉的思維方式相對立，它承認事物的復雜性、多樣性和生動(dòng)性，在聯(lián)系和發(fā)展中把握事物．發(fā)散性思維仿佛具有眾多條的”觸角”，不拘泥于一個(gè)方向、一個(gè)框架而向四面八方延伸，可使學(xué)生的思維縱橫交錯，構成豐富多彩的“意識之網(wǎng)”，是一種數學(xué)意識的生成． 

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