試析在“高等數學(xué)”教學(xué)中培養學(xué)生的數學(xué)素養
論文摘要：“高等數學(xué)”課程不僅要傳授知識，更要傳授數學(xué)的精神、思想和方法，以培養學(xué)生的思維能力和數學(xué)素養。闡述了數學(xué)素養的內涵及培養數學(xué)素養的重要性，以及在科學(xué)思維、科學(xué)方法指導下通過(guò)“高等數學(xué)”教學(xué)培養學(xué)生數學(xué)素養和創(chuàng )新能力的基本思路。論文關(guān)鍵詞：高等數學(xué)教學(xué)；數學(xué)素養；科學(xué)思維能力；啟發(fā)式教學(xué)
數學(xué)的許多理論與方法已經(jīng)廣泛深入地滲透到自然科學(xué)和社會(huì )科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域之中。隨著(zhù)知識經(jīng)濟時(shí)代和信息時(shí)代的到來(lái)，數學(xué)更是“無(wú)處不在，無(wú)所不用”。數學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的應用對大專(zhuān)院校的“高等數學(xué)”教學(xué)提出了更高的要求�！案叩葦祵W(xué)”是非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎課，該課程除了使學(xué)生收獲到必要的數學(xué)知識以外，更重要的是學(xué)生能收獲到讓他們終生受益的良好的數學(xué)素養和數學(xué)思維。只有掌握了正確的科學(xué)思維方法和具備了良好的數學(xué)素養，才能提高應變能力和創(chuàng )新能力。
一、數學(xué)素養的內涵
由經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）領(lǐng)航的國際學(xué)生評測計劃（PISA）對數學(xué)素養的界定是：數學(xué)素養是一種個(gè)人能力，能確定并理解數學(xué)對社會(huì )所起的作用，得出有充分根據的數學(xué)判斷和能夠有效地運用數學(xué)。這是作為一個(gè)有創(chuàng )新精神、關(guān)心他人和有思想的公民，適應當前及未來(lái)生活所必須的數學(xué)能力。
南開(kāi)大學(xué)數學(xué)科學(xué)學(xué)院顧沛先生認為數學(xué)素養是通過(guò)數學(xué)教學(xué)賦予學(xué)生的一種學(xué)數學(xué)、用數學(xué)、創(chuàng )新數學(xué)的修養和品質(zhì)，也可以叫數學(xué)素質(zhì)。具體包括以下五個(gè)方面內容：主動(dòng)探尋并善于抓住數學(xué)問(wèn)題中的背景和本質(zhì)的素養；熟練地用準確、嚴格、簡(jiǎn)練的數學(xué)語(yǔ)言表達自己的數學(xué)思想的素養；具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng )新精神，合理地提出數學(xué)猜想、數學(xué)概念的素養；提出猜想后以“數學(xué)方式”的理性思維，從多角度探尋解決問(wèn)題的道路的素養；善于對現實(shí)世界中的現象和過(guò)程進(jìn)行合理地簡(jiǎn)化和量化，建立數學(xué)模型的素養。
二、培養數學(xué)素養的重要性
數學(xué)與人類(lèi)文明、人類(lèi)文化有著(zhù)密切的關(guān)系。數學(xué)在人類(lèi)文明的進(jìn)步和發(fā)展中，一直在文化層面上發(fā)揮著(zhù)重要的作用。數學(xué)素養是人的文化素養的一個(gè)重要方面，而文化素養又是民族素質(zhì)的重要組成部分。因此，培養學(xué)生的數學(xué)素養，可以為民族素質(zhì)的提高和發(fā)展創(chuàng )造有利的條件。
培養數學(xué)素養還有利于學(xué)生適應社會(huì )的發(fā)展，有利于今后的可持續發(fā)展。大多數非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生在今后的工作中所需要的數學(xué)知識并不多，如果他們畢業(yè)后沒(méi)什么機會(huì )去用數學(xué)，那么他們很快就會(huì )忘掉在學(xué)校所學(xué)的那些作為知識的數學(xué)，包括具體的數學(xué)定理、數學(xué)公式和解題方法。對此，日本著(zhù)名數學(xué)教育家米山國藏認為：“不管學(xué)生們將來(lái)從事什么工作，深深銘刻在心中的數學(xué)精神、數學(xué)的思維方法，研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著(zhù)眼點(diǎn)等，卻將隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身�！彼�說(shuō)：“對科學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，所需要的數學(xué)知識，相對的說(shuō)也是不多的，然而數學(xué)的研究精神、數學(xué)的發(fā)明發(fā)現的思想方法、大腦的數學(xué)思維訓練，卻是絕對必要的�！庇纱丝梢钥吹�，對學(xué)生今后的發(fā)展起到最大作用的并非他們在課堂上學(xué)到的數學(xué)知識，而是在循序漸進(jìn)的數學(xué)學(xué)習過(guò)程中獲得的數學(xué)的精神、科學(xué)的思維方法、分析問(wèn)題的邏輯性、處理問(wèn)題的條理性、思考問(wèn)題的嚴密性。這些良好的數學(xué)素養對人的發(fā)展起著(zhù)不可或缺的作用。
三、在“高等數學(xué)”教學(xué)中培養學(xué)生數學(xué)素養的具體做法
1.重視數學(xué)的靈魂——概念和觀(guān)念的教學(xué)，培養學(xué)生善于抓住問(wèn)題本質(zhì)的素養
“高等數學(xué)”中的很多基本數學(xué)概念，如極限、導數、積分和級數等都是從實(shí)際應用問(wèn)題中產(chǎn)生并抽象出來(lái)的，數學(xué)概念的提出和完善過(guò)程最能反映抽象思維的過(guò)程。而且只有深入分析并透徹理解數學(xué)概念才能指導學(xué)生將其應用于解決其他相關(guān)問(wèn)題，從而提高應用能力。如果將教學(xué)的重心放到解題方法和解題技巧上，而忽略了真正的靈魂——概念和觀(guān)念的教學(xué)就是本末倒置了。從美國優(yōu)秀微積分教材中對概念的闡述及美國AP（Advanced Placement）微積分計劃中受到啟發(fā)，對重要概念的教學(xué)進(jìn)行了改革。例如，在導數概念的引入過(guò)程中增加一些有趣的新穎的例子，讓學(xué)生體會(huì )從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數學(xué)概念的方法。同時(shí)在課外練習中增加很多概念理解型的題目，幫助學(xué)生深刻理解導數概念的本質(zhì)；在引入偏導數和全微分概念的時(shí)候，通過(guò)實(shí)例引導學(xué)生思考如何能在一元函數導數和微分的定義基礎上進(jìn)行相應地修改或做一定的變化得到多元函數的類(lèi)似概念；講授微分概念時(shí)，著(zhù)重強調以直線(xiàn)段代曲線(xiàn)段、以線(xiàn)性函數代非線(xiàn)性函數的思想。另外，還簡(jiǎn)單地介紹離散化、隨機化、線(xiàn)性化、迭代、逼近、擬合及變量代換等重要的數學(xué)方法，讓有興趣的學(xué)生課后查找資料深入學(xué)習。這樣做可以讓學(xué)生學(xué)會(huì )解決實(shí)際問(wèn)題的根本方法即抓住問(wèn)題的本質(zhì)，并在探究的過(guò)程中體會(huì )到樂(lè )趣和成就感，同時(shí)培養學(xué)生抽象的能力，聯(lián)想的能力以及學(xué)習新知識的能力，有利于提高學(xué)生的數學(xué)素養。
2.在課堂教學(xué)中滲透數學(xué)史，讓學(xué)生感受數學(xué)精神、感受數學(xué)美
現代數學(xué)的體系猶如“茂密的森林”，容易使人身陷迷津，而數學(xué)史的作用正是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。數學(xué)的發(fā)展歷史中，包含了許多數學(xué)家無(wú)窮的創(chuàng )造力。很多數學(xué)問(wèn)題并非靠邏輯推理就能一步步解決的，而是起源于某種直覺(jué)，某種創(chuàng )造性構建，甚至把許多表面不相關(guān)的東西牽連在一起思考，然后再通過(guò)嚴密的邏輯推導過(guò)程來(lái)完善它。如果在課堂上適時(shí)適當地引用數學(xué)史的知識作為補充和指導，不但可以活躍課堂氣氛，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。比如在講授微積分的內容時(shí)介紹它是人類(lèi)數學(xué)史上的重大發(fā)現，介紹牛頓-萊布尼茲定理產(chǎn)生的歷史背景；在講授解析幾何時(shí)，將笛卡爾引入坐標方法用方程表示曲線(xiàn)并創(chuàng )立解析幾何的思維過(guò)程展現給學(xué)生，使學(xué)生明白學(xué)習解析幾何的意義。通過(guò)數學(xué)史可以了解知識的邏輯源頭，理解數學(xué)概念、結論產(chǎn)生的背景和逐步形成的過(guò)程，體會(huì )蘊涵在其中的思想，體驗尋找真理和發(fā)現真理的方法，體會(huì )數學(xué)家的創(chuàng )造性，有利于培養學(xué)生的創(chuàng )新能力。另一方面，數學(xué)的發(fā)展并非一帆風(fēng)順的，數學(xué)史是數學(xué)家們克服困難和戰勝危機的斗爭記錄，是蘊涵了豐富數學(xué)思想的歷史。了解數學(xué)史的同時(shí)會(huì )為數學(xué)家們的科學(xué)態(tài)度和執著(zhù)追求的精神而感動(dòng)，這是能夠引領(lǐng)學(xué)生一生的精神食糧。除此之外，數學(xué)無(wú)論是在內容上還是在方法上都具有自身的美。數學(xué)之美體現在多個(gè)方面，如微積分的符號集中體現了數學(xué)的簡(jiǎn)潔美，眾多微積分公式體現了數學(xué)的對稱(chēng)性和協(xié)調性，線(xiàn)性微分方程解的結構體現了數學(xué)的和諧美。在講授“高等數學(xué)”的時(shí)候引導學(xué)生欣賞數學(xué)的美，則數學(xué)的學(xué)習將不再枯燥，學(xué)生的審美情趣也會(huì )在對美的享受過(guò)程中逐步提升。 3.采用啟發(fā)式和研究式教學(xué)，提高學(xué)生的思維能力
選擇適當的內容，有針對性地安排討論課，精心設計討論的問(wèn)題，讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，可以極大地激發(fā)他們求知和創(chuàng )新的欲望，培養了學(xué)生的創(chuàng )新思維和創(chuàng )新意識。例如，選擇微分中值定理進(jìn)行討論，這部分內容理論性強，對初學(xué)者來(lái)說(shuō)短時(shí)間內較難理解。選取一些典型的難度適當的習題，讓學(xué)生認真思考后自由討論。通過(guò)討論學(xué)生不僅對構造輔助函數的方法有了深刻的印象，而且加深了對抽象數學(xué)理論的理解，同時(shí)還鍛煉了數學(xué)語(yǔ)言的表達能力，培養了邏輯推理能力，增強了學(xué)生主動(dòng)參與課堂的意識和創(chuàng )新的意識。又如，在高階線(xiàn)性微分方程的教學(xué)中，從一階線(xiàn)性微分方程解的結構入手，引導學(xué)生做大膽的猜想，并嘗試對猜想的結論進(jìn)行分析和論證；接著(zhù)再從最簡(jiǎn)單的二階常系數齊次微分方程和開(kāi)始，引導學(xué)生通過(guò)觀(guān)察找到方程的通解，然后再引導學(xué)生嘗試如何得到一般的二階常系數齊次微分方程的通解；如此逐步發(fā)現這類(lèi)方程的通解形式實(shí)際上是由特征方程的根決定的，最后歸納出求解二階常系數齊次微分方程的特征方程法，并將此方法和換元降階的方法對比，討論用哪種方法求解更好。采用啟發(fā)式和研究式相結合的教學(xué)方法使學(xué)生更樂(lè )于積極地思考問(wèn)題，并從中體會(huì )到發(fā)現的快樂(lè )，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習熱情及研究興趣，也培養了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。
4.在“高等數學(xué)”教學(xué)中滲透數學(xué)建模思想，培養學(xué)生應用數學(xué)的意識和創(chuàng )新意識
數學(xué)建模是將數學(xué)思想與方法應用到解決實(shí)際問(wèn)題中的有效途徑，是培養學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、靈活運用數學(xué)知識處理實(shí)際問(wèn)題的能力，是激發(fā)學(xué)習興趣、增強協(xié)作意識、培養創(chuàng )新能力的最佳手段。建立數學(xué)模型是數學(xué)活動(dòng)中最具有開(kāi)創(chuàng )性的工作。在各種數學(xué)新領(lǐng)域的開(kāi)辟工作中，建立數學(xué)模型起到了奠定基礎、勾畫(huà)藍圖、提出新思想、新方法的作用。運用數學(xué)理論解決實(shí)際問(wèn)題也具有較強的創(chuàng )新性。要解決一個(gè)問(wèn)題首先要判斷它是否為數學(xué)問(wèn)題，其次要將問(wèn)題數學(xué)化，然后才能運用數學(xué)理論來(lái)解答它。實(shí)際上，在“高等數學(xué)”課程中就有很多數學(xué)建模的實(shí)例。如，由LRC串聯(lián)電路建立二階常系數線(xiàn)性微分方程，為了求流體的流量而引入對坐標的曲面積分，根據條件建立目標函數求最大值和最小值等。在教學(xué)中對這些例子加以剖析，滲透數學(xué)建模的概念，可以使學(xué)生對數學(xué)建模有一個(gè)初步的認識。即將具體問(wèn)題簡(jiǎn)化、一般化，從而得出問(wèn)題原型的一個(gè)數學(xué)化的抽象，就是數學(xué)模型。換言之，模型是對原型的抽象，而使用數學(xué)語(yǔ)言將原型抽象化的結果，就是數學(xué)模型。為了配合后繼數學(xué)建模課程的教學(xué)和數學(xué)建模競賽，在“高等數學(xué)”教學(xué)中增加了一定學(xué)時(shí)的數學(xué)實(shí)驗，結合具體實(shí)例讓學(xué)生學(xué)會(huì )利用計算機的繪圖和計算功能作出圖形或計算出結果，使學(xué)生對相關(guān)概念或結論獲得較直觀(guān)的認識，既減輕了學(xué)生在接受和理解抽象知識上的困難，也為后期的建模打下基礎。
數學(xué)來(lái)源于實(shí)踐并應用于實(shí)踐，在“高等數學(xué)”教學(xué)中滲透數學(xué)建模思想可以使學(xué)生充分認識到數學(xué)的應用價(jià)值，培養學(xué)生的應用意識和創(chuàng )新意識，對于發(fā)展學(xué)生的數學(xué)思維也是非常重要的。
四、結束語(yǔ)
數學(xué)的應用是時(shí)時(shí)存在，處處存在的，數學(xué)的影響是潛移默化的。數學(xué)的精神、思想和方法是數學(xué)教育的根本目的之所在�！案叩葦祵W(xué)”課程是培養非數學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生數學(xué)素養的重要載體。在“高等數學(xué)”的教學(xué)中要把培養和提高學(xué)生的數學(xué)素養放在重要的位置，不斷地尋找有效的手段使學(xué)生在學(xué)習數學(xué)知識的過(guò)程中理解數學(xué)的精神、思想、觀(guān)念和意識等；能夠靈活地運用數學(xué)的思想方法，掌握正確的學(xué)習方法、工作方法和思想方法，弘揚數學(xué)研究中的科學(xué)精神；能夠認識和欣賞數學(xué)的美。數學(xué)素養的養成不是一朝一夕的，在教學(xué)中務(wù)必要堅持注重培養學(xué)生科學(xué)思維的品質(zhì)，讓數學(xué)素養能夠在每一個(gè)學(xué)生身上沉淀和積累，為他們今后的可持續發(fā)展奠定堅實(shí)的基礎。
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