運籌學(xué)運輸問(wèn)題的教學(xué)方法探討論文
【摘要】 用運籌學(xué)的思想探討運籌學(xué)課程的教學(xué)方法。運籌學(xué)中的指派問(wèn)題、最短路問(wèn)題，最小費用流問(wèn)題可轉化為運輸問(wèn)題或轉運問(wèn)題，從而可以統籌安排這些教學(xué)內容，為提高教學(xué)效果，減少教學(xué)時(shí)間找出更優(yōu)的教學(xué)方法。
【關(guān)鍵詞】 運輸問(wèn)題; 轉運問(wèn)題; 運籌學(xué); 教學(xué)方法
運籌學(xué)是一門(mén)應用科學(xué)，它運用數學(xué)方法對經(jīng)濟和管理系統中的各種有限資源進(jìn)行統籌安排，為決策者提供最優(yōu)參考方案，以實(shí)現有效的科學(xué)管理。運籌學(xué)是管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎課，對管理類(lèi)人才培養有著(zhù)重要的意義。該課程的特點(diǎn)是將數學(xué)知識、數學(xué)建模、經(jīng)濟管理與計算機應用四者融為一體，通過(guò)各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的案例，培養學(xué)生分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。該課程本身有一定的難度，作為教師，應努力探索教育教學(xué)規律，認真把握課程的特點(diǎn)，以獲得良好的教學(xué)效果。如何在現有的有限資源條件下(如學(xué)時(shí)、生源、師資)，將這門(mén)課上好，不也正是運籌學(xué)研究的內容嗎?
運籌學(xué)涉及內容較多，線(xiàn)性規劃是最主要的一個(gè)分支，其理論最完善、方法最成熟，應用也最廣泛，涉及的很多問(wèn)題都是經(jīng)典的問(wèn)題，如運輸問(wèn)題、指派問(wèn)題、最短路問(wèn)題，最小費用流問(wèn)題等。自己在運籌學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現，這些問(wèn)題有相同的共性，可以歸結為同一個(gè)問(wèn)題，從而可以統籌安排教學(xué)內容，為運籌學(xué)課程提高教學(xué)效果，減少教學(xué)時(shí)間找出更優(yōu)的教學(xué)方法。
1 運輸問(wèn)題和轉運問(wèn)題
1.1 運輸問(wèn)題
運輸問(wèn)題一般指貨物可直接從產(chǎn)地運往銷(xiāo)地。下面以運費問(wèn)題為例進(jìn)行說(shuō)明。
記si 為產(chǎn)地Ai(i=1,2,…,n) 的產(chǎn)量，dj 為銷(xiāo)地Bj(j=1,2,…,m) 的銷(xiāo)量，cij 為把貨物從產(chǎn)地Ai 運往銷(xiāo)地Bj 的單位運價(jià)。設xij 為從產(chǎn)地Ai 運到銷(xiāo)地Bj 的貨物量，則運費最少的產(chǎn)銷(xiāo)平衡問(wèn)題的線(xiàn)性規劃模型為[1,4]：
目標函數 min z=秐i=1 秏j=1cijxij
約束條件 秏j=1xij=si ，(i=1,2,…n) (1)
秐i=1xij=dj ，(j=1,2,…m) (2)
xij≥0 ,對所有的i 和j 。
對于不同的實(shí)際問(wèn)題，有時(shí)還需加一些約束條件。例如，當貨物量的單位為“件”、“箱”時(shí)，還需加上x(chóng)ij 為整數的約束條件。
對于產(chǎn)銷(xiāo)不平衡問(wèn)題一般用兩種方法解決：
第一種方法是建立一個(gè)假想(虛擬)的產(chǎn)地或銷(xiāo)地，根據實(shí)際問(wèn)題，將從產(chǎn)地運往銷(xiāo)地的單位運價(jià)設為0或一個(gè)很大的數，再轉化為產(chǎn)銷(xiāo)平衡問(wèn)題，這一方法比較復雜一些。另一種更簡(jiǎn)單的方法是，對產(chǎn)大于銷(xiāo)問(wèn)題，將(1)式中的等式變?yōu)椤?，對銷(xiāo)大于產(chǎn)問(wèn)題，將(2)式中的等式變?yōu)椤?，這種方法更直觀(guān)，易于學(xué)生理解和掌握。
1.2 轉運問(wèn)題
轉運問(wèn)題是運輸問(wèn)題的一個(gè)擴充，當產(chǎn)地的貨物不能直接運往銷(xiāo)地時(shí)，需通過(guò)中轉站。
記產(chǎn)地為發(fā)點(diǎn)，銷(xiāo)地為收點(diǎn)，中轉站為中轉點(diǎn)，cij 為把貨物從點(diǎn)i 運往點(diǎn)j 的單位運價(jià)。設xij 為從點(diǎn) i運往點(diǎn)j 的貨物量，則運費最少的產(chǎn)銷(xiāo)平衡轉運問(wèn)題的線(xiàn)性規劃模型為[1,4] ：
目標函數 min z=端有的弧cijxij
約束條件 ：對發(fā)點(diǎn)i 有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=si (3)
對中轉點(diǎn)有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=0 (4)
對收點(diǎn)j 有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=di (5)
xij≥0 ，對所有的i 和j 。
對于產(chǎn)銷(xiāo)不平衡問(wèn)題，可根據實(shí)際問(wèn)題將(3)或(5)式中的等號改為不等號。
2 可轉化為運輸問(wèn)題的問(wèn)題
2.1 指派問(wèn)題
一般的指派問(wèn)題為[1,4]：有n 項任務(wù)，恰好有n 個(gè)人可分別承擔這些任務(wù)，由于各人特長(cháng)不同，完成各項任務(wù)的效率等情況(如時(shí)間)也不同，現假設必須指派每個(gè)人去完成一項任務(wù)，怎樣把n 項任務(wù)指派給n 個(gè)人，使完成n 項任務(wù)的總效率最高。
以完成任務(wù)的效率是時(shí)間為例，說(shuō)明指派問(wèn)題可轉化為運輸問(wèn)題。
將每個(gè)人看成產(chǎn)地，產(chǎn)量均為1，si=1 ，即每個(gè)人生產(chǎn)出一個(gè)勞動(dòng)力;將每項工作看成銷(xiāo)地，銷(xiāo)量為1，dj=1 ，即每項工作需要一個(gè)勞動(dòng)力來(lái)完成;將每個(gè)人完成各項任務(wù)的時(shí)間看成單位運價(jià)cij ;設xij=1 為指派第 i個(gè)人完成第j 項工作，設xij=0 為不指派第i 個(gè)人完成第j 項工作，則上述指派問(wèn)題可轉化為產(chǎn)銷(xiāo)平衡的運輸問(wèn)題。
當任務(wù)項數多于人數時(shí)，可看成是銷(xiāo)大于產(chǎn)的情況，當人數多于任務(wù)項數時(shí)，可看成是產(chǎn)大于銷(xiāo)的情況，由此可轉化為產(chǎn)銷(xiāo)不平衡的運輸問(wèn)題。
2.2 特殊的背包問(wèn)題
一般的背包問(wèn)為[1]：設背包攜帶物品的重量限制為W ，N 種物品中第i 種物品的重量為wi ，價(jià)值為ci ，總數量為ni ，如何決定這N 種物品中的每一種物品多少數量裝入背包內，使得裝入背包物品的總價(jià)值最大。
考慮wi 都相等的特殊情況，即每種物品的重量都相等，不妨設為1。將第i 種物品看成產(chǎn)地Ai ，產(chǎn)量為ni ;將背包看成唯一的一個(gè)銷(xiāo)地，銷(xiāo)量為W ，將第i 種物品的價(jià)值負數看成單位運價(jià)-ci ，設xi 為攜帶的第i 種物品的數量，則這種背包問(wèn)題可轉化為銷(xiāo)大于產(chǎn)的的運輸問(wèn)題。
3 可轉化為轉運問(wèn)題的問(wèn)題
3.1 最短路問(wèn)題
一般的最短路問(wèn)題為[1]：對一個(gè)賦權的有向圖，找到一條從一個(gè)指定的起點(diǎn)到另一個(gè)指定的終點(diǎn)的路，使這條路上所有弧的權數的總和最小。
將起點(diǎn)看成唯一的一個(gè)產(chǎn)地(發(fā)點(diǎn))，產(chǎn)量為1;將終點(diǎn)看成唯一的一個(gè)銷(xiāo)地(收點(diǎn))，銷(xiāo)量為1;將其余點(diǎn)看成中轉點(diǎn)，任兩點(diǎn)的權看成單位運價(jià)，并設xij==1 為最短路經(jīng)過(guò)弧(i ，j )， xij=0為最短路不經(jīng)過(guò)弧(i ，j )，則最短路問(wèn)題可轉化為產(chǎn)銷(xiāo)平衡的轉運問(wèn)題。
在實(shí)際應用中遇到更多的是無(wú)向圖的最短路問(wèn)題。這時(shí)需將無(wú)向圖添加方向變?yōu)橛邢驁D。由于最短路不可能由起點(diǎn)出發(fā)再回到起點(diǎn)，到了終點(diǎn)也不會(huì )再轉向其它點(diǎn)，而其它情況的各種可能性都有，所以可用如下方法為無(wú)向圖添加方向：與起點(diǎn)相連的弧，方向由起點(diǎn)指向另一點(diǎn);與終點(diǎn)相連的弧，方向由另一點(diǎn)指向終點(diǎn);與起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)的弧，給出雙向的方向(圖1)�；�(i ，j )和弧(i ，j )權相同。圖1 無(wú)向圖(左)添加方向成為有向圖(右)，其中1為起點(diǎn)，5為終點(diǎn)
3.2 最大流問(wèn)題
一般的最大流問(wèn)題為[1] ：給了一個(gè)帶收發(fā)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò )，其每條弧的賦權稱(chēng)之為容量，在不超過(guò)每條弧的容量的前提下，求出從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的最大流量。
記發(fā)點(diǎn)為v1 ，收點(diǎn)為vn ，fij 為弧(vi,vj) 上的容量，M=秗k=2f1k ，各條弧上的單位運價(jià)為c1k=-1 ，k=2,3,…,r ，其余cij=0 。設xij 為弧(vi,vj) 上的流量，則上述最大流問(wèn)題可轉化為只有一個(gè)產(chǎn)地(發(fā)點(diǎn))，產(chǎn)量為M，只有一個(gè)銷(xiāo)點(diǎn)(收點(diǎn))，銷(xiāo)量為秗k=2x1k 的產(chǎn)大于銷(xiāo)的轉運問(wèn)題：
目標函數 min z=端有的弧cijxij=-秗k=2x1k 約束條件 ：對發(fā)點(diǎn)1 有 秗k=2x1k≤M (6)
對中轉點(diǎn)有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=0
對收點(diǎn)n 有 端有的流入量xin=秗k=2x1k
0≤xij≤fij ，對所有的 i和j 。
其實(shí)(6)式是多余的，由 0≤xij≤fij可以得到，這里僅為了說(shuō)明該問(wèn)題可轉化為轉運問(wèn)題。
3.3 最小費用流問(wèn)題
一般的最小費用流問(wèn)題為[4]：給了一個(gè)帶收發(fā)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò )，對每一條弧除給出了容量外，還給出了這條弧的單位流量的費用，要求一個(gè)可行流，并使得總運送費最小。
若可行流是最大流時(shí)，則為最小費用最大流問(wèn)題。
最小費用最大流問(wèn)題分兩步解，第一步，先求出最大流F;第二步，在最大流F的所有解中，找出一個(gè)最小費用的解。
關(guān)于第一步求最大流問(wèn)題，已在前面討論過(guò)。第二步求最小費用問(wèn)題，將發(fā)點(diǎn)看成唯一的產(chǎn)地，產(chǎn)量為F(或可行流)，將收點(diǎn)看成唯一的銷(xiāo)地，銷(xiāo)量為F(或可行流)，每條弧的單位流量的費用看成單位運價(jià)，由此可轉化為產(chǎn)銷(xiāo)平衡的轉運問(wèn)題。
4 討論
在教學(xué)中，將看似不同的問(wèn)題歸納轉化為同一問(wèn)題，非常重要。首先，這涉及到教學(xué)內容的結構問(wèn)題，原來(lái)看似不同的問(wèn)題可能在教材的不同章節，轉化為同一問(wèn)題后可并入同一章節。第二，對提高教學(xué)效果有一定的幫助。對老師而言，可減少教學(xué)時(shí)間，原先要花較多時(shí)間講解不同的問(wèn)題，現在只需講解一個(gè)問(wèn)題，然后作為同一問(wèn)題舉一反三，不僅可將原問(wèn)題講授得更清楚，也解決了新問(wèn)題。對學(xué)生而言，原先要記多種問(wèn)題的解法，現在只需記一種解法就可以了，減輕了學(xué)習負擔。第三，更重要的是，啟發(fā)學(xué)生對問(wèn)題有更深入的理解，抓住事物的本質(zhì)，而不是停留在表面，這對培養學(xué)生抽象思維、綜合歸納能力是大有裨益的。當然，要做到這一點(diǎn)，對老師的要求顯然更高，必須要花更多的時(shí)間和精力研究問(wèn)題，吃透教材，理解精髓，融會(huì )貫通，非一般的應付教學(xué)所能解決的。最后，在用計算機求解方面，可用同一程序處理這些類(lèi)似的問(wèn)題。
因此，將看似不同的問(wèn)題歸納轉化為同一問(wèn)題，可以統籌安排教學(xué)內容，在現有的教學(xué)條件下，能幫助我們提高教學(xué)效果，減少教學(xué)時(shí)間。這正是運籌學(xué)的精髓，對各種有限資源進(jìn)行統籌安排，找出最優(yōu)方案。所以本文與其說(shuō)是教學(xué)體會(huì )，還不如說(shuō)是運籌學(xué)方法的運用，用運籌學(xué)方法探討運籌學(xué)的教學(xué)問(wèn)題，為運籌學(xué)教學(xué)找到一種更好的方法。
【參考文獻】
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