解決奧數難題的基本技巧

　　奧數對青少年的腦力鍛煉有著(zhù)一定的作用，可以通過(guò)奧數對思維和邏輯進(jìn)行鍛煉，對學(xué)生起到的并不僅僅是數學(xué)方面的作用,通常比普通數學(xué)要深奧些。下面是小編整理的解決奧數難題的基本技巧，歡迎大家參考。

　　一、構造的技巧：

　　它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結論為方向，構造出一種新的數學(xué)形式，使得問(wèn)題在這種形式下簡(jiǎn)捷解決。常見(jiàn)的有構造圖形，構造方程，構造恒等式，構造函數，構造反例，構造抽屜，構造算法等。

　　二、映射的技巧：

　　它的基本形式是RMI原理。令R表示一組原像的關(guān)系結構(或原像系統)，其中包含著(zhù)待確定的原像 ，令 表示一種映射，通過(guò)它的作用把原像結構R被映成映象關(guān)系結構R*，其中自然包含著(zhù)未知原像 的映象 。如果有辦法把 確定下來(lái)，則通過(guò)反演即逆映射 也就相應地把 確定下來(lái)。取對數計算、換元、引進(jìn)坐標系、設計數學(xué)模型，構造發(fā)生函數等都體現了這種原理。建立對應來(lái)解題，也屬于這一技巧。

　　三、遞推的技巧：

　　如果前一件事與后一件事存在確定的關(guān)系，那么，就可以從某一(幾)個(gè)初始條件出發(fā)逐步遞推，得到任一時(shí)刻的結果，用遞推的方法解題，與數學(xué)歸納法(但不用預知結論)，無(wú)窮遞降法相聯(lián)系，關(guān)鍵是找出前號命題與后號命題之間的遞推關(guān)系。

　　四、區分的技巧：

　　當“數學(xué)黑箱”過(guò)于復雜時(shí)，可以分割為若干個(gè)小黑箱逐一破譯，即把具有共同性質(zhì)的部分分為一類(lèi)，形成數學(xué)上很有特色的方法——區分情況或分類(lèi)，不會(huì )正確地分類(lèi)就談不上掌握數學(xué)。

　　有時(shí)候，也可以把一個(gè)問(wèn)題分階段排成一些小目標系列，使得一旦證明了前面的情況，便可用來(lái)證明后面的情況，稱(chēng)為爬坡式程序。比如，解柯西函數方程就是將整數的情況歸結為自然數的情況來(lái)解決，再將有理數的情況歸結為整數的情況來(lái)解決，最后是實(shí)數的情況歸結為有理數的情況來(lái)解決。

　　區分情況不僅分化了問(wèn)題的難度，而且分類(lèi)標準本身又附加了一個(gè)已知條件，所以，每一類(lèi)子問(wèn)題的解決都大大降低了難度。

　　五、染色的技巧：

　　染色是分類(lèi)的直觀(guān)表現，在數學(xué)競賽中有大批以染色面目出現的問(wèn)題，其特點(diǎn)是知識點(diǎn)少，邏輯性強，技巧性強;同時(shí)，染色作為一種解題手段也在數學(xué)競賽中廣泛使用。下面是一些熟知的結果。

　　1.在(點(diǎn))二染色的直線(xiàn)上存在相距1或2的同色兩點(diǎn);

　　2.在(點(diǎn))二染色的直線(xiàn)上存在成等差數列的同色三點(diǎn);

　　3.在(點(diǎn))二染色的平面上存在邊長(cháng)為1或 的單色正三角形(三個(gè)頂點(diǎn)同色的三角形);

　　4.設T1，T2是兩個(gè)三角形，T1有一邊長(cháng)1，T2一邊長(cháng) ，若將平面作(點(diǎn))二染色，則恒可找到一個(gè)全等于T1或T2的單色三角形;

　　5.在(點(diǎn))三染色的平面上，必有相距為1的兩點(diǎn)同色;

　　6.在(點(diǎn))三染色的平面上，必存在一個(gè)斜邊為1的直角三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)是全同色的或是全不同色的;

　　7.在(邊)染色的六階完全圖中必有單三角形(三邊同色);

　　8.在(邊)染色的六階完全圖中至少有兩個(gè)單色三角形。

　　六、極端的技巧：

　　某些數學(xué)問(wèn)題中所出現的各個(gè)元素的地位是不平衡的，其中的某個(gè)極端元素或某個(gè)元素的極端狀態(tài)往往具有優(yōu)先于其它元素的特殊性質(zhì)，而這又恰好為解題提供了突破口，從極端元素入手，進(jìn)而簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，這就是通常所說(shuō)的“極端原理”。

　　七、對稱(chēng)的技巧：

　　對稱(chēng)性分析就是將數學(xué)的對稱(chēng)美與題目的條件或結論相結合，再憑借知識經(jīng)驗與審美直覺(jué)，從而確定解題的總體思想或入手方向。其實(shí)質(zhì)是美的啟示、沒(méi)的追求在解題過(guò)程中成為一股宏觀(guān)指導的力量。著(zhù)名物理學(xué)家楊振寧曾高度評價(jià)對稱(chēng)性方法：“當我們默默考慮一下這中間所包含的數學(xué)推理的優(yōu)美性和它的美麗完整性，并以此對比它的復雜的、深入的物理成果，我們就不能不深深感到對對稱(chēng)定律的力量的欽佩”。

　　八、配對的技巧：

　　配對的形式是多樣的，有數字的湊整配對或共軛配對，有解析式的對稱(chēng)配對對或整體配對，有子集與其補集的配對，也有集合間象與原象的配對。凡此種種，都體現了數學(xué)和諧美的追求與力量，小高斯求和(1+2+…+99+100)首創(chuàng )了配對。

　　九、特殊化的技巧：

　　特殊化體現了以退求進(jìn)的思想：從一般退到特殊，從復雜退到簡(jiǎn)單，從抽象退到具體，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論，從高維退到低維，退到保持特征的最簡(jiǎn)單情況、退到最小獨立完全系的情況，先解決特殊性，再歸納、聯(lián)想、發(fā)現一般性。華羅庚先生說(shuō)，解題時(shí)先足夠地退到我們最易看清楚問(wèn)題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去。特殊化既是尋找解題方法的方法，又是直接解題的一種方法。

　　十、一般化的技巧：

　　推進(jìn)到一般，就是把維數較低或抽象程度較弱的有關(guān)問(wèn)題轉化為維數較高、抽象程度較強的問(wèn)題，通過(guò)整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考慮，而使問(wèn)題獲得解決，離散的問(wèn)題可以一般化用連續手段處理，有限的問(wèn)題可以一般化用數學(xué)歸納法處理，由于特殊情況往往涉及一些無(wú)關(guān)宏旨的細節而掩蓋了問(wèn)題的關(guān)鍵，一般情況則更明確地表達了問(wèn)題的本質(zhì)。波利亞說(shuō)：“這看起來(lái)矛盾，但當從一個(gè)問(wèn)題過(guò)渡到另一個(gè)，我們常�？吹�，新的雄心大的問(wèn)題比原問(wèn)題更容易掌握，較多的問(wèn)題可能比只有一個(gè)問(wèn)題更容易回答，較復雜的定理可能更容易證明，較普遍的問(wèn)題可能更容易解決。”希爾伯特還說(shuō)：在解決一個(gè)數學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果我們沒(méi)有獲得成功，原因常常在于我們沒(méi)有認識到更一般的觀(guān)點(diǎn)，即眼下要解決的只不夠是一連串有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)環(huán)節。

　　十一、數字化的技巧：

　　數字化的好處是：將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題的同時(shí)，還將抽象的推理轉化為具體的計算。

　　十二、有序化的技巧：

　　當題目出現多參數、多元素(數、字母、點(diǎn)、角、線(xiàn)段等)時(shí)，若按一定的規則(如數的大小，點(diǎn)的次序等)，將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個(gè)已知條件(有效增設)，從而大大降低問(wèn)題的難度。特別是處理不等關(guān)系時(shí)，這是一種行之有效的技巧。

　　十三、不變量的技巧：

　　在一個(gè)變化的數學(xué)過(guò)程中常常有個(gè)別的不變元素或特殊的不變狀態(tài)，表現出相對穩定的較好性質(zhì)，選擇這些不變性作為解題的突破口是一個(gè)好主意。

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