教你輕松求解考研數學(xué)數列極限
【摘要】極限是考研數學(xué)每年必考的內容，所占比重相當大，在此整理求數列極限的方法，僅供大家參考。
極限在客觀(guān)題和主觀(guān)題中都有可能會(huì )涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內容的基礎性，每年間接考查或與其他章節結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。
一、極限無(wú)外乎出這三個(gè)題型：求數列極限、求函數極限、已知極限求待定參數。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵,極限的運算法則必須遵從,兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運算,如果有一個(gè)不存在就無(wú)法進(jìn)行運算。以下我們就極限的內容簡(jiǎn)單總結下。
二、極限的計算常用方法：四則運算、洛必達法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調有界收斂定理、利用連續性求極限等方法。
四則運算、洛必達法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎階段的學(xué)習中是重點(diǎn)，考生應該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強化復習階段這些內容還應繼續練習達到熟練的程度;在強化復習階段考生會(huì )遇到一些較為復雜的極限計算，此時(shí)運用泰勒公式代替洛必達法則來(lái)求極限會(huì )簡(jiǎn)化計算，熟記一些常見(jiàn)的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來(lái)計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計算，如果最大的`分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計算;單調有界收斂定理可用來(lái)證明數列極限存在，并求遞歸數列的極限。
三、與極限計算相關(guān)知識點(diǎn)包括：
1、連續、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類(lèi)：判斷間斷點(diǎn)類(lèi)型的基礎是求函數在間斷點(diǎn)處的左右極限；
2、可導和可微，分段函數在分段點(diǎn)處的導數或可導性，一律通過(guò)導數定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在；
3、漸近線(xiàn)，(垂直、水平或斜漸近線(xiàn))；
4、多元函數積分學(xué)，二重極限的討論計算難度較大，�？疾樽C明極限不存在。
下面我們重點(diǎn)講一下數列極限的典型方法。
求數列極限可以歸納為以下三種形式。
抽象數列求極限
這類(lèi)題一般以選擇題的形式出現,因此可以通過(guò)舉反例來(lái)排除。此外,也可以按照定義、基本性質(zhì)及運算法則直接驗證。
求具體數列的極限,可以參考以下幾種方法：
1、利用單調有界必收斂準則求數列極限。首先,用數學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性,進(jìn)而確定極限存在性；其次,通過(guò)遞推關(guān)系中取極限，解方程,從而得到數列的極限值。
2、利用函數極限求數列極限。如果數列極限能看成某函數極限的特例,形如,則利用函數極限和數列極限的關(guān)系轉化為求函數極限,此時(shí)再用洛必達法則求解。
求項和或項積數列的極限,主要有以下幾種方法：
1、利用特殊級數求和法。如果所求的項和式極限中通項可以通過(guò)錯位相消或可以轉化為極限已知的一些形式，那么通過(guò)整理可以直接得出極限結果。
2、利用冪級數求和法。若可以找到這個(gè)級數所對應的冪級數,則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出,再根據這個(gè)極限的形式代入相應的變量求出函數值。
3、利用定積分定義求極限。若數列每一項都可以提出一個(gè)因子,剩余的項可用一個(gè)通項表示,則可以考慮用定積分定義求解數列極限。
4、利用夾逼定理求極限。若數列每一項都可以提出一個(gè)因子,剩余的項不能用一個(gè)通項表示,但是其余項是按遞增或遞減排列的,則可以考慮用夾逼定理求解。
5、求項數列的積的極限,一般先取對數化為項和的形式,然后利用求解項和數列極限的方法進(jìn)行計算。
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