以根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題

時(shí)間：2024-09-02 09:59:36 數學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　【論文關(guān)鍵詞】根的分布線(xiàn)性規劃交匯題

　　【論文摘要】由2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題看出，我們可以構造一類(lèi)函數與線(xiàn)性規劃的交匯題——以根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題. 這是因為函數在區間端點(diǎn)的函數值，是討論一元二次方程區間根的重要參數.由于是關(guān)于、、的一次表達式，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題創(chuàng )造了條件，同時(shí)也符合高考在知識網(wǎng)絡(luò )的交匯點(diǎn)處命題的思想.近兩年的高考題、模擬題中以一元二次方程根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題的常見(jiàn)變式有以下三種：變式一：由函數問(wèn)題導出根的分布特征的線(xiàn)性規劃問(wèn)題；變式二：以根的分布為題設的非線(xiàn)性規劃問(wèn)題；變式三：由函數問(wèn)題導出根的分布特征的非線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　【正文】

　　題目（2007年全國卷Ⅱ，文22）已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且 .（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求的取值范圍.

　　解函數的導數．

　�。á瘢┯珊瘮� 在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根．

　　所以

　　當時(shí)，為增函數，，由，得．

　�。á颍┰陬}設下，等價(jià)于

　　即

　　此不等式組表示的區域為圖1中的陰影區域，不難求得 .

[1]

　　評注由這道題看出，我們可以構造一類(lèi)函數與線(xiàn)性規劃的交匯題——以根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題.本題的特征是已知含有兩個(gè)參數的三次函數極值點(diǎn)范圍，求關(guān)于這兩個(gè)參數的線(xiàn)性目標函數的值域.由于三次函數的導函數為二次函數，已知三次函數極值點(diǎn)的范圍，亦即給出了二次導函數根的分布區間，于是便可得到參數的線(xiàn)性約束條件，從而構造出線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　一般地，解決一元二次方程根的分布問(wèn)題可按如下三個(gè)步驟進(jìn)行：

　　第一步：分析的符號.

　　若，則方程無(wú)實(shí)根；

　　若，則方程有兩等根；

　　若，則方程有兩不等實(shí)根.

　　第二步：當時(shí)，討論函數在區間端點(diǎn)的函數值符號.

　　若，則方程的兩根在的異側，即；

　　若，則方程的兩根在的同側，即 .

　　第三步：當時(shí)，再討論對稱(chēng)軸與區間端點(diǎn)的位置關(guān)系.

　　若，則方程的兩根在的左側，即；

　　若，則方程的兩根在的右側，即 .

　　由上述解法可以看出，函數在區間端點(diǎn)的函數值，是討論一元二次方程區間根的重要參數.由于是關(guān)于、、的一次表達式，所以根據方程區間根列出的不等式，往往是關(guān)于、、的線(xiàn)性約束條件，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題創(chuàng )造了條件，同時(shí)也符合高考在知識網(wǎng)絡(luò )的交匯點(diǎn)處命題的思想.

　　由于高考強調“以能力立意”，因此，我們看到的高考題往往是這類(lèi)問(wèn)題的拓展與改造，如將線(xiàn)性規劃問(wèn)題改為非線(xiàn)性規劃問(wèn)題，或由函數問(wèn)題引出一元二次方程根的分布特征.現結合近兩年的高考題、模擬題談?wù)勔砸辉畏匠谈姆植紴轭}設的線(xiàn)性規劃問(wèn)題的常見(jiàn)變式及其解法.

　　變式1 由函數問(wèn)題導出根的分布特征的線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題就是這類(lèi)題型.

[2]

　　變式2 以根的分布為題設的非線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　例1 （2006年北京西城區抽樣測試，理）已知方程的兩根為，，并且，則的取值范圍是（）

　　A. B. C. D.

　　解設，則有：

　　即

　　表示圖2中陰影區域內的點(diǎn)與點(diǎn)(0,0)連線(xiàn)的斜率.

　　不難得到 .

　　故選D.

　　點(diǎn)評這是一道由一元二次方程根的分布得出線(xiàn)性約束條件后的非線(xiàn)性目標函數值域問(wèn)題.高中常見(jiàn)的線(xiàn)性約束條件下的非線(xiàn)性目標函數值域問(wèn)題有斜率型（如例1、例3）、距離型（如例2）.