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淺談數學(xué)教學(xué)中發(fā)展聯(lián)想能力的實(shí)踐與認識
【摘要 】 如何發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力是一個(gè)數學(xué)教師必須努力實(shí)踐與思考的重要問(wèn)題。本文針對“發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力”的實(shí)踐從幾個(gè)方面：相似聯(lián)想、接近聯(lián)想、對比聯(lián)想、因果聯(lián)想進(jìn)行了分析，以及培養學(xué)生聯(lián)想能力的做法和體會(huì )。通過(guò)具體實(shí)例闡述發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力的必要性和運用聯(lián)想解決問(wèn)題的方法。
關(guān)鍵詞 ：形似聯(lián)想 、接近聯(lián)想、對比聯(lián)想
一、問(wèn)題提出
自古以來(lái)，我國的教育家對培養學(xué)生思維能力就很重視，如孔子說(shuō)：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”、“參乎，吾道一以貫之”，其中“一以貫之”就是融會(huì )貫通、舉一反三。錢(qián)學(xué)森也指出：“思維科學(xué)是教育科學(xué)的核心問(wèn)題”。隨著(zhù)教改的深入，人們越來(lái)越清楚地認識到數學(xué)教育之培養能力的重要性。這里的能力，核心是數學(xué)思維能力，而聯(lián)想能力是數學(xué)思維能力的重要組成部分。這一切都要求教師在數學(xué)教學(xué)中加強對學(xué)生聯(lián)想能力的培養和訓練。但不是所謂的題海戰術(shù)，有些教師深信熟能生巧，并采用這一原理來(lái)指導學(xué)生學(xué)習，事實(shí)證明：大量數學(xué)習題訓練和經(jīng)常性測驗考試僅能提高學(xué)生成績(jì)，并不能培養學(xué)生思維能力，大量習題造成：學(xué)生機械地作業(yè)，及老師沒(méi)有講過(guò)的不敢想，沒(méi)有做過(guò)的不敢做的現象。我們應要求學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，加強學(xué)生聯(lián)想能力等思維能力的培養。
二、聯(lián)想的理論基礎
聯(lián)想能力是一種多因素的綜合性能力，聯(lián)想思維是聯(lián)想能力的核心。
心理學(xué)家把人們的認識過(guò)程一般分為為感知、理解、鞏固、應用四個(gè)基本階段。感知是認識新知識的起點(diǎn)，理解是認識過(guò)程的中心，鞏固是暫時(shí)聯(lián)系的加強，應用是認識的繼續和深入，也是認識的最終目的。人們以感性認識為基礎，上升為思維，可以把外形、品質(zhì)不同但本質(zhì)相同的事物，歸納為一類(lèi)。還可以認識到存在于自然界植物、動(dòng)物之間的生態(tài)平衡關(guān)系，達爾文的《生物進(jìn)化論》是人們由感性認識上升到思維的產(chǎn)物。而學(xué)生的學(xué)生過(guò)程與人們的認識過(guò)程也是一致的，例如學(xué)生在學(xué)習了兩數和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2之后，就可以透過(guò)這一形式表達式，了解實(shí)質(zhì)含義，這就是思維過(guò)程。聯(lián)想思維屬于思維范疇，具有思維的一般特點(diǎn)。
從心理學(xué)方面來(lái)考察，聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過(guò)程，也是記憶的再現過(guò)程。一般地說(shuō)，記憶經(jīng)過(guò)一段時(shí)間會(huì )變得模糊、散亂，甚至“消失”。但暫時(shí)“消失”的記憶受當前事物的刺激會(huì )再現出來(lái)，把當前事物與過(guò)去的事物有機聯(lián)系起來(lái)。起這種作用的主要是聯(lián)想 ，聯(lián)想 可以喚醒沉睡的記憶，產(chǎn)生新觀(guān)念。
聯(lián)想是人們正常的思維活動(dòng)，平常的聯(lián)想往往是自發(fā)的，有隨意性，不見(jiàn)得有什么意義，并且大多數處于散漫無(wú)序的狀態(tài)，但在學(xué)習中，聯(lián)想卻是思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。波利亞解題思想也離不開(kāi)聯(lián)想，波利亞說(shuō)，在解題活動(dòng)中我們要設法“預測到解，或解的某些特征，或某一條通向它的小路”�！盎貞浧鹉承┯杏玫臇|西，把有關(guān)知識動(dòng)員起來(lái)”。而這種預測就離不開(kāi)聯(lián)想，如果在思考問(wèn)題時(shí)通過(guò)聯(lián)想產(chǎn)生這種預見(jiàn)，我們把它稱(chēng)為有啟發(fā)性的想法或靈感。波利亞稱(chēng)想出一個(gè)好念頭是一種靈感活動(dòng)，也是一種聯(lián)想思維過(guò)程。聯(lián)想不僅讓人能運用舊知識解決新問(wèn)題，同時(shí)會(huì )引導人們去探索未知的世界，聯(lián)想產(chǎn)生創(chuàng )造，飛機、潛艇的發(fā)明就是從鳥(niǎo)的飛翔、魚(yú)的沉浮，經(jīng)過(guò)聯(lián)想 反復試驗而獲得的，一個(gè)人聯(lián)想豐富，這個(gè)人會(huì )被認為聰明、點(diǎn)子多、反應快。據不完全統計，大約有70%以上的人愛(ài)聯(lián)想。學(xué)生在學(xué)習過(guò)程和解題過(guò)程如果愛(ài)聯(lián)想即稱(chēng)為愛(ài)動(dòng)腦筋，那么他們接受知識比較快，運用知識之間的聯(lián)系解題也較快。當然聯(lián)想能力與學(xué)生的知識是聯(lián)系在一起的，知識較豐富，聯(lián)想能力自然就強、聯(lián)想的范圍也廣闊。
從一定意義上講，在平時(shí)的數學(xué)教學(xué)中，我們要鼓勵學(xué)生將所學(xué)的知識與未解決的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，展開(kāi)合理、恰當、有效的聯(lián)想。如求函數y= 的值域。若聯(lián)想到斜率K= ,則y= 可看作是點(diǎn)（2，-1）與圓x2+y2=1上的點(diǎn)（cosx，sinx）連線(xiàn)的斜率，這樣利用數形結合思想，可解出此題。若聯(lián)想到asinx+bcosx= sin(x+φ) 的形式也可解出。斜率公式 K= ,距離公式d= ,三角等式 =tan(x+ ),對數運算法則等重要公式在具體問(wèn)題的解決中均有重要的指導作用。
總之，一個(gè)人具有了聯(lián)想思維和聯(lián)想能力，解決問(wèn)題時(shí)會(huì )更敏銳，更靈活，更有創(chuàng )造性。
三、聯(lián)想的類(lèi)型
聯(lián)想主要有以下幾種類(lèi)型。
(一)形似聯(lián)想
形似聯(lián)想也稱(chēng)相似聯(lián)想或類(lèi)比聯(lián)想，就是指事物某種屬性的相似性。
由于事物之間具有相同或相似的屬性，我們可以由一個(gè)事物已知的特殊性質(zhì)聯(lián)想到另一事物的特殊性質(zhì)。在日常生活中，人們很容易由江河想到湖海，由樹(shù)木想到森林等，就是因為這些事物具有相似之處。開(kāi)普勒說(shuō)：“我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它總是我最可信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應該是最不容忽視的�！辈ɡ麃喺f(shuō)過(guò)“類(lèi)比是偉大的引路人”。
在解題過(guò)程中為了尋找問(wèn)題的解
決線(xiàn)索，往往借助于類(lèi)比聯(lián)想，以達到啟發(fā)思路的目的，因此，類(lèi)比聯(lián)想在求解問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的應用。在解題教學(xué)中采用類(lèi)比教學(xué)，可以達到梳理知識、歸納題型、總結解題方法，這樣做既有利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識，又有利于培養學(xué)生聯(lián)想思維的靈活性。
例1． 求證：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0則x,y,z成等差數列。
�。河^(guān)察已知條件的外形，可聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式
△ =b2-4ac非常相似，則類(lèi)比題設可以構造一個(gè)一元二次方程來(lái)求解。于是我們可把已知條件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件。
再次觀(guān)察還可以發(fā)現方程左邊的系數之和為零，故方程有兩個(gè)根為1，于是由韋達定理得：t1t2= =1
說(shuō)明，由本例可見(jiàn)，一般的類(lèi)比聯(lián)想解決問(wèn)題線(xiàn)索為：觀(guān)察——類(lèi)比——聯(lián)想。
例2． x R,求函數y= + 的最小值.
�。呵筮@樣的無(wú)理函數的最值，用代數法直接求解較難，可由條件聯(lián)想到距離公式，作如下變形：
y= +
設p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如圖1所示，
于是求y的最小值轉化為求x軸上一點(diǎn)p，
使 ︱PA︱+︱PB︱最小顯然是︱PA︱+︱PB︱≥︱AB︱=3
∴當x=0時(shí),y =3
說(shuō)明由“數”到“形”的類(lèi)比聯(lián)想，獲得解題的新思路。
(二） 接近聯(lián)想
接近聯(lián)想是指在相互接近的事物之間形成的聯(lián)想。接近聯(lián)想是從已知探索未知的有力武器�；瘜W(xué)元素周期表的發(fā)現便是有力的例證，在數學(xué)教學(xué)中我們要培養學(xué)生學(xué)會(huì )觀(guān)察問(wèn)題的條件和結論，聯(lián)想到與之內容相近的有關(guān)知識，從而發(fā)現解決問(wèn)題的思路。
例3：設(x-3)2+(y-3)2=6，試求
(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
�。阂阎姆匠檀硪粋�(gè)圓Q，如圖2，題中的點(diǎn)M(x,y)均在圓周上，觀(guān)察第（1）題中的“y/x”
可以聯(lián)想到直線(xiàn)OM 的斜率，
欲求y/x 的極值，就是要求直線(xiàn)OM的斜率的極值，即切線(xiàn)OT1，OT2觀(guān)察第（2）題中的”x2+y2”,可以聯(lián)想到距離公式，而x2+y2的極值就是OQ與圓Q的交點(diǎn)p1、p2到原點(diǎn)O的距離。因此，兩個(gè)問(wèn)題都不難解決。
說(shuō)明：此題運用接近聯(lián)想把相互接近的式子巧妙地聯(lián)系在一起，再找出解題方法。
�。ㄈ⿲Ρ嚷�(lián)想
對比聯(lián)想亦稱(chēng)相反聯(lián)想。是指具有相反特征的事物或相互對立的事物之間所形成的聯(lián)想。在平時(shí)的教學(xué)中，對比聯(lián)想的事例比比皆是，如在指數函數與對數函數的教學(xué)中，它們的定義域和值域、圖象和性質(zhì)，通過(guò)對比產(chǎn)生聯(lián)想，有助于學(xué)生的學(xué)習和培養對比聯(lián)想能力。
例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
求證：x=y=z
�。罕绢}條件是一個(gè)連等式，可化簡(jiǎn)得到一個(gè)三元方程組
x2y+x=xyz+y
y2z+y=xyz+z
z2x+z=xyz+x
三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
聯(lián)想到不等式x2y+y2z+z2x 3
即x2y+y2z+z2x 3xyz②
比較①式和②會(huì )發(fā)現當且僅當x=y=z時(shí)等式成立。
說(shuō)明：運用對比聯(lián)想（等式和不等式）解題可起到意想不到的效果。
�。ㄋ模┮蚬�(lián)想
因果聯(lián)想是從某一事物出現某種現象，從而聯(lián)想到它們之間的因果關(guān)系的一種思維方法。
�。ㄎ澹┌l(fā)散聯(lián)想
發(fā)散聯(lián)想就是在接觸某一事物時(shí)產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，將思維向更廣闊的空間，得出更豐富的結論。我們在講解教材中的概念、法則、公式、例題時(shí)，應引導學(xué)生從不同的方面，不同的角度去聯(lián)想，培養學(xué)生一題多解的發(fā)散思維能力。
如（ab）n=anbn,則(a1a2……an)n=?
(a+b)2=a2+2ab+b2,則（a1+a2+……+an）2=?
例5．如圖正方形ABCD中，E為BC上任意一點(diǎn)，∟EAD的平分線(xiàn)交CD于F，求證：BE+DE=AE
�。河梢阎獥l件和結論可聯(lián)想到將BE、DF放在一起，這樣可將△ADF旋轉到如圖△ABF，的位置。
�。河深}設中的直角三角形較多，
可聯(lián)想到用面積來(lái)探索解題思路，
由S△ABE+ S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。
�。阂驐l件中有角相等及直角關(guān)系，還聯(lián)想到三角函數來(lái)解，設正方形ABCD邊長(cháng)為a，∠DAF=θ,
則BE=a tan( ),DF=a tan ,
∴BE+DF=a cot2 +a tan
=a.( + )
=a. =
而AE= = , ∴BE+DF=AE
說(shuō)明：發(fā)散聯(lián)想思維是一種很重要的思維能力，它能導致許多科學(xué)發(fā)展創(chuàng )造，如：飛機、潛艇等。
四、培養學(xué)生聯(lián)想能力的做法
聯(lián)想能力的提高是改善學(xué)生思維品
質(zhì)的可靠保證，在平時(shí)的教學(xué)中不只是注重課本知識，更注重培養學(xué)生能力。一方面,因為聯(lián)想往往要利用頭腦中已有知識及解題方法，去探索新問(wèn)題的解題途徑，所以學(xué)生不僅要理解基礎知識，而且還必須通過(guò)親自體驗，即通過(guò)例題習題來(lái)鞏固，形成一種思想上的飛躍，以建構自己的知識網(wǎng)，這樣才能舉一反三，產(chǎn)生聯(lián)想 。另一方面，在平時(shí)教學(xué)中不能拘泥于簡(jiǎn)單的“做”，聯(lián)想是有條件的，是在對基礎知識熟練掌握及運用的基礎上，進(jìn)行思考、反省、是高級智力活動(dòng)，過(guò)度的講與練，會(huì )剝奪學(xué)生獨立思考、自由發(fā)揮的機會(huì )，產(chǎn)生負面效應，應講究一個(gè)“度”。
例6：設0＜x＜1,0＜y＜1,求證: + + +
�。河^(guān)察不等式左邊的特征，
聯(lián)想到幾何中兩點(diǎn)的距離公式，
可將問(wèn)題轉化為正方形OABC 內點(diǎn)p(x,y)
到點(diǎn)A，B，C，O的距離之和不小于2 。（如圖）
即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱≥︱OC︱+︱AB︱=2
�。河^(guān)察不等式左邊每項被開(kāi)方數都是兩個(gè)正數，故而聯(lián)想到基本不等式：a2+b2≥(a+b)2/2 (a＞0,b＞0)
原不等式左邊≥ (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
即左邊≥2
�。河^(guān)察不等式左邊各項特征 ，聯(lián)想到復數模的性質(zhì)，設Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
所以原不等式左邊也轉化為 ｜Z1｜+｜Z 2｜+｜Z 3｜+｜Z 4｜≥｜Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4｜=｜2+2i｜=2
還可以聯(lián)想到正弦、余弦的三角函數，函數的極值等等，這樣即復習了代數幾何知識，又培養學(xué)生聯(lián)想思維能力。
例7：是否存在這樣的二次函數f(x)=ax2+bx+c,使它的圖象過(guò)點(diǎn)M(-1,0)且滿(mǎn)足條件對一切切實(shí)實(shí)x∈R都有x≤f(x) ≤ (1+x)
:單從結構上聯(lián)想，就近掛靠基本不等式及其變形，直接建立它與ab≤( )2≤ （a,b∈R）的聯(lián)系，設a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且過(guò)點(diǎn)（-1，0），合乎題意，還可以構造例題：是否存在這樣的二次函數其過(guò)點(diǎn)（-n ,0）,且對一切實(shí)數x滿(mǎn)足nx≤f(x)≤ (n +x ).
說(shuō)明，一道好的數學(xué)題字里行間無(wú)不散發(fā)著(zhù)大量信息，由此展開(kāi)豐富的聯(lián)想，大膽的創(chuàng )新，直至關(guān)鍵的突破。
例8:設x∈,求證cscx-cotx＞ -1
由 ,1聯(lián)想等腰直角三角形,不仿構造一個(gè)等腰直角三角形來(lái)研究.
作RT△ABC,令∠C=90.AC=1在A(yíng)C上取一點(diǎn)D,設∠CDB=X,則BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB≥AB=
可得cscx-cotx≥ -1
說(shuō)明:在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生通過(guò)敏銳的觀(guān)察、豐富的聯(lián)想,構造數學(xué)模型解題。
總之，在教學(xué)中培養學(xué)生的聯(lián)想能力要有一個(gè)過(guò)程，要體現層次，要充分讓學(xué)生思考，教師加以積極的引導，鼓勵他們聯(lián)想，而不應將解題思路、定理結論等強加給學(xué)生。這樣才能更好地培養學(xué)生的聯(lián)想能力，提高他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
下面是我在平時(shí)數學(xué)教學(xué)中一個(gè)關(guān)于培養學(xué)生聯(lián)想能力的教學(xué)案例。
課題：三角函數的解題技巧
在解三角函數的具體問(wèn)題時(shí)，我們常需要通過(guò)豐富的聯(lián)想、靈活的構思、創(chuàng )造性的思維等能力構造數學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，因此在平時(shí)教學(xué)中我常設計這樣的習題課，讓學(xué)生積極想象，找出解題思維。
例1：若0＜β＜α＜ ，求證α-β＜tanα-tanβ
通過(guò)此題，學(xué)生熱烈討論后（討論了許多思路都行不能）教師可適當提示，最后總結出用單位圓中的三角函數線(xiàn)求解。
例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。
求證：sinA:sinB:sinC的值.有些同學(xué)很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，聯(lián)想到相似三角形，根據相似三角形性質(zhì)及勾股定理來(lái)求出三邊之比。（△ABC～△CBD）
例3：設m是給定的非零常數，f(x)定義在R上，且對任意x。，有f(x+m)=
求證：f(x)為周期函數、并求其周期。
此題屬于抽象函數題較難，同學(xué)們討論分析的時(shí)間也最長(cháng)。最后在教師的指導下，由f(x)為周期函數聯(lián)想到三角函數，再由條件f(x+m)=
的結構聯(lián)想到正切公式tan(x+ )= 因為tanx的周期是π，恰為π/4的4倍，因此同學(xué)生們猜想f(x)的周期有可能為4m，有些同學(xué)并給出如下證法：
f(x+m)=
f(x+２m)=f(x+m+m)=-
f(x+3m)=f(x+2m+m)=
f(x+4m)=f(x+3m+m)=f(x)
所以f(x)是周期函數，其周期為4m。
通過(guò)上述例子的分析學(xué)生對抽象函數的問(wèn)題就有了比較好的思考途徑。接著(zhù)給出下列問(wèn)題讓學(xué)生思考：
設f(x)是定義在R上的函數，對于任意x1,x2∈（0， ）。都有f(x1+x2)=f(x1)* f(x2)求f( )和f( ).
并讓學(xué)生考慮，根據下面所列函數的性質(zhì)，聯(lián)想它們可能對應哪些初等函數（1）f(xy)=f(x)f(y),(2)f(x+y)=f(x)+f(y),
(3)f(x-y)=f(x)-f(y),這樣幾種常見(jiàn)的函數的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)了。
在教學(xué)中多舉例讓學(xué)生進(jìn)行合理聯(lián)想，使學(xué)生養成愛(ài)動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)發(fā)現問(wèn)題的習慣，對學(xué)好數學(xué)培養數學(xué)思維能力起到積極的推動(dòng)作用。
五、實(shí)踐體會(huì )
當然，在教學(xué)實(shí)踐中我深深之體會(huì )到，要提高學(xué)生的聯(lián)想能力還存在許多困難，因為：① 學(xué)生聯(lián)想意識不強，未養成愛(ài)聯(lián)想的習慣。②學(xué)生基礎知識掌握得不牢固，無(wú)想可聯(lián)。③有些學(xué)生思維活潑，可受較害羞、性格內向、想了不敢說(shuō)且不敢繼續想等心理的影響。我將在今后的工作學(xué)習中進(jìn)一步提高自己，努力發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力。
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