如何認識中國古代數學(xué)中的數和形

　　摘要：數和形概念的產(chǎn)生是數學(xué)的萌芽和起源，它們的發(fā)展進(jìn)程奠定了早期古代數學(xué)科學(xué)形成的基礎。從數和形開(kāi)始的中國早期古代數學(xué)，在發(fā)展過(guò)程中也伴隨著(zhù)數學(xué)理念、思想的形成和發(fā)展。數和形的相關(guān)內容和內涵與古代人們的生活融為一體，對中國古代數學(xué)中數與形的認識應從社會(huì )整體角度來(lái)認識才會(huì )全面深刻。

　　關(guān)鍵詞：中國 數和形 古代數學(xué)

　　一、中國早期數學(xué)中數與形的建立

　　學(xué)習和了解過(guò)中國古代數學(xué)的人們都會(huì )清楚地記得，人類(lèi)“數”的概念首先是從“結繩記事”和“刻痕記數”開(kāi)始。古代人從原始生活中收集到的小木棍、小石子，以及動(dòng)物的牙齒、骨頭開(kāi)始記數。而關(guān)于“形”的概念則是從原始生活中建造器具、修建簡(jiǎn)易居住房屋開(kāi)始的。

　　“數”的發(fā)展過(guò)程中，隨著(zhù)殷墟甲骨文中的一、二、三文字的出現，各種秦漢竹簡(jiǎn)中關(guān)于不同版本“九九表”的記錄和“九九歌訣”的廣泛流行，以及早期“十六進(jìn)制”的創(chuàng )建應用，可以認為這些是中國早期數學(xué)中代數學(xué)的萌芽和形成;在這一個(gè)過(guò)程中“算籌”出現繼而有了完美的十進(jìn)位位值制記數法，是中國的獨特創(chuàng )造，是世界其他古代民族所沒(méi)有的。而“形”的發(fā)展過(guò)程，從古代生活器具的形狀以及它們上面的花紋和圖案，到建筑房屋所形成的平面和立體的幾何形狀，各種形狀的房頂搭建，生活及生產(chǎn)中各種方形、梯形、三角形、圓形等，再到后來(lái)的各種準確測量和記錄，“割圓術(shù)”和“勾股定理”的推廣應用，這一切都奠定并建立了中國古代幾何學(xué)的基礎。

　　單純地從一些書(shū)籍和文獻來(lái)看中國的古代數學(xué)，會(huì )認為早期的中國古代數學(xué)中關(guān)于“數”和“形”的相關(guān)內容不夠豐富，不夠充實(shí)，沒(méi)有形成基本的結構和框架，也沒(méi)有連續性和系統性。帶有這種想法和態(tài)度，就難以認識和體會(huì )到中國古代數學(xué)中“數”和“形”的廣度與深度，也難以認識到早期中國古代數學(xué)所形成的體系和發(fā)揮的作用，因而對中國古代數學(xué)的歷史地位和巨大貢獻就認識不足。

　　中國文字起源于象形文字，數字也不例外，如，在“河圖洛書(shū)”中，數用圖來(lái)表示，圖可以表示數。這說(shuō)明數與形有時(shí)也沒(méi)有完全區別。

　　二、中國古代數學(xué)內涵的非單一性

　　數和形的相關(guān)內容和內涵與古代人們的生活融為一體，不可分離。

　　在當時(shí)宗教與社會(huì )生產(chǎn)和生活緊密相聯(lián)系的時(shí)期，許多東西的含義不是單一的，具有多方面的意義，也不具有排他性，共生共存。許多后來(lái)被人們提煉出來(lái)的具有數學(xué)意義的內容和抽象出來(lái)的具體數學(xué)表達形式，其實(shí)最開(kāi)始出現的形態(tài)和內涵并非來(lái)源于數學(xué)本身。首先這些內容來(lái)源于古代人們對生活和生產(chǎn)的初步認識與總結，其次逐步上升到對事物內在聯(lián)系的認知和世界觀(guān)的形成。如“道生一、一生二、二生三、三生萬(wàn)物”，這是道家的哲學(xué)思想，一直影響著(zhù)人們，至今仍是了解古代人們思維形成過(guò)程和思想進(jìn)步的重要參照，它仍具有必然的歷史意義和現實(shí)意義。從哲學(xué)層面來(lái)看，它反映出一種遞增關(guān)系，是一種逐漸發(fā)展的過(guò)程;同時(shí)也是一種頭尾相連相互依存與相互回應的內在關(guān)系，具有相互循環(huán)甚至等同的含義。從數學(xué)的角度來(lái)看，“一”和“萬(wàn)”，首先它是一個(gè)“數”的概念，而且反映出了在“量”上的差異，但它不只反映出數字上的大與小、多與少，同時(shí)也可用一個(gè)數學(xué)式子將兩者聯(lián)系在一起。因而，這種思想內涵既有哲學(xué)上的意義同時(shí)也具有數學(xué)意義。

　　三、一切人類(lèi)文明結晶都是社會(huì )發(fā)展的必然產(chǎn)物，數學(xué)也不例外

　　每一個(gè)地域的古代文明，必然伴隨著(zhù)大量文明智慧的結晶，從而形成了各具特色、豐富多彩的文化形態(tài)，今天去看待和解讀這些文明成果時(shí)，應具有一種開(kāi)放的態(tài)度和全面的視角。

　　1974年陜西西安發(fā)掘出的秦始皇兵馬俑，這是一個(gè)具有時(shí)代意義的發(fā)現，它將2000多年前世界上先進(jìn)的成就、偉大的文明展現在人們面前。僅對一號坑進(jìn)行統計，就挖掘出了6000多個(gè)鎧甲俑，各種兵器、戰車(chē)等物品加在一起，數目巨大。在2000多年前的秦朝，如何統計這些“數”，如何計算這些物品，必將是一件十分復雜而困難的事情，其中必將包含有數學(xué)計算和其他數學(xué)原理的內容�？梢韵胂�，若當時(shí)沒(méi)有一系列有效的統計方法，沒(méi)有一套較為準確的良好計算，今天人們就無(wú)法看到這個(gè)輝煌的成果，從單個(gè)的“數”到極其大量的“數量”。從數到數量，這是一個(gè)思維的形成和進(jìn)步，這是一個(gè)質(zhì)的突破，一個(gè)內涵上的飛躍。

　　單純地從甲骨文中的簡(jiǎn)單數字，難以看到中國古代數學(xué)的全貌，其實(shí)從目前眾多的文物和史料中，可以不斷地豐富和發(fā)展人們對中國古代數學(xué)的認識，如：在成都金沙遺址中，可以看到3000多年前商周時(shí)期出土的眾多精美玉器，其優(yōu)美的曲線(xiàn)、曲面造型極具美感并具有數學(xué)意義。

　　四、文明特點(diǎn)及多樣化表達，不影響中國古代數學(xué)的成就

　　中華文明的特點(diǎn)之一就是在表達上的多樣化，許多數學(xué)意義和思想隱藏在文字的表達里面，數學(xué)方法與計算方式就少有體現，在古代時(shí)期更是如此，如用兵馬過(guò)萬(wàn)、率眾人馬、不計其數等文字記載，來(lái)反映數量的多少。容易造成現代人在認識中國古代數學(xué)時(shí)有種“模糊”的感覺(jué)，在與其他的地域文明相比較時(shí)，感覺(jué)那些時(shí)期的數學(xué)內容不夠豐富，體系形成得不夠完整與嚴謹，缺乏清晰和數字化的印象，其數學(xué)理論也沒(méi)有得到有效的建立，因而削弱了中國古代數學(xué)在人們心中的地位。然而，從早期出現的文明史料“河圖洛書(shū)”中可看到，盡管它不是專(zhuān)業(yè)性的源于數學(xué)的文明成果，但它確實(shí)具有十分豐富的數學(xué)內容以及表現形式，從某種意義上講，今天在理解和研究“河圖洛書(shū)”時(shí)，更應該去探索它在數學(xué)發(fā)展上的重要性，以及當初形成時(shí)的數學(xué)思想脈絡(luò )以及思維發(fā)展的軌跡。這樣才會(huì )揭開(kāi)歷史真相，還原古代人們的智慧光芒。就其現實(shí)意義來(lái)講，它所蘊藏的數學(xué)內涵和思想是不可替代的，其歷史地位不可低估。這種思想的起源及延續深刻地影響著(zhù)人們的思維方向，為人類(lèi)后來(lái)在數學(xué)領(lǐng)域中建立和發(fā)展出的幻方、數獨和群論等數學(xué)學(xué)科起到了奠基的作用。中國最早的數學(xué)文獻實(shí)物《算表》，利用乘法交換律原理，能夠快速計算100以?xún)鹊膬蓚�(gè)任意整數的乘積，還能夠計算包含特殊分數“半”的兩位數乘法，被認為是目前發(fā)現的最早的實(shí)用算具�！端惚怼樊a(chǎn)生的春秋戰國時(shí)期是中國傳統數學(xué)發(fā)展的一個(gè)高潮，而且為傳統數學(xué)的第一個(gè)高潮提供了佐證。

　　五、早期形成的潛在數學(xué)思想和方法今天仍有意義

　　同樣用秦始皇兵馬俑來(lái)認識當時(shí)的“形”，戰車(chē)車(chē)身的直線(xiàn)和立方體，車(chē)輪的圓弧線(xiàn)和圓柱體，在當時(shí)，這些物體的造“形”如此精美，鑄造得如此細致，沒(méi)有杰出的數學(xué)知識和方法是無(wú)法達到的。

　　兵馬俑中關(guān)于馬匹形狀的造型，以及秦朝以前商周時(shí)期的各種青銅器的形狀造型，只從某些局部就能看到那是一些復雜的曲面，早已不是平面幾何所能解決的問(wèn)題，用今天的立體幾何來(lái)看，仍是十分復雜的圖形，用解析幾何來(lái)認識，將會(huì )是十分復雜的曲線(xiàn)方程和曲面方程。目前仍具有啟迪和借鑒意義，也為后來(lái)中國在形的方面的突破奠定了基礎。例如，在臺北故宮博物院中，至今珍藏著(zhù)清朝時(shí)期的眾多物品，其中，一個(gè)用象牙制作的球圖形雕刻十分精美，象牙球內外共計24層，各層均可旋轉，且各層造型獨特。

　　在數形結合方面也用得非常巧妙，例如勾股定理的證明，通過(guò)構造一個(gè)“弦圖”來(lái)進(jìn)行證明，就是數形轉換的一個(gè)極好的例子。此外，在用數形結合的方法上用得也非常廣泛，如，劉徽的“牟合方蓋”模型。祖沖之在劉徽的基礎上推導出球體體積的正確公式，并提出“冪勢既同，則積不容異”的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。

　　六、從社會(huì )整體角度來(lái)認識才會(huì )全面深刻

　　“數”和“形”的發(fā)展與中國古代社會(huì )發(fā)展同步，這個(gè)過(guò)程也體現出社會(huì )文明進(jìn)步的過(guò)程。同時(shí)由于古代社會(huì )整體的生產(chǎn)力低下，人類(lèi)的認知水平和智力發(fā)展的局限性，一切活動(dòng)均是為了人類(lèi)自身的簡(jiǎn)單生存而進(jìn)行的生產(chǎn)和生活。在中國古代，不可能形成單獨的數學(xué)學(xué)科，更不可能有意識地總結、提煉、歸納、綜合那些涉及到數學(xué)的相關(guān)知識和內容。

　　從“數”和“形”開(kāi)始的中國早期古代數學(xué)，在形成和發(fā)展過(guò)程中也伴隨著(zhù)數學(xué)理念和思想的形成發(fā)展，包裹在人們社會(huì )生活中的數學(xué)內容和方法，我們在認識中國古代數學(xué)時(shí)，不能簡(jiǎn)單孤立地從中抽離出來(lái)，在今天認識和解讀時(shí)，必將回歸到當時(shí)的環(huán)境和狀態(tài)中，只有從古代整體社會(huì )和人們生活這一切入點(diǎn)，才能科學(xué)客觀(guān)、全面深入地認識中國古代數學(xué)的成就和意義。

　　參考文獻：

　　[1]研究發(fā)現中國最早數學(xué)文獻實(shí)物《算表》[EB/OL].http：//www.chinanews.com/cul/2014/01-07/5707900.shtml

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