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關(guān)于相對論與其解的時(shí)空分析
一。狹義相對論的時(shí)空解及比較在狹義相對論中，兩慣性系相對速度 與 和 平行
（1）
（ ）為 坐標系的坐標，（ ）為 坐標系的坐標，令 ， ，所以變換矩陣為
（2）
如果; ,相對速度 不變，那么
(3)
比較 與
（4）
（5）
比較后知道（4）式=（5）式
（6）
二。時(shí)空觀(guān)測的定義
為了較方便地說(shuō)清楚不同的觀(guān)測結果與不同坐標中長(cháng)度與時(shí)間的相互比較
的關(guān)系，在字母頂部加3個(gè)指標，
如：
定義為：左邊指標為觀(guān)察目標所在的坐標系，中間指標為觀(guān)察者選擇的單
位長(cháng)度與時(shí)間所在的坐標系，右邊指標為觀(guān)察者觀(guān)察時(shí)所在的坐標系。這樣有：
其中， 和 是固有時(shí)， 與 是固有長(cháng)度。
三。 的推導
在狹義相對論中有
(6.1)
那么，在什么條件下上式會(huì )是普適的呢？
先來(lái)考察歐幾里德幾何。對觀(guān)察者而言，在歐幾里德幾何中的二維空間的坐
標 中，觀(guān)察到的單位長(cháng)度 ，與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標 中，
觀(guān)察到的單位長(cháng)度 。觀(guān)察者是無(wú)法在長(cháng)度方面區別 和 的，即
（7）
這是歐幾里德幾何的觀(guān)察者假設，也是符合經(jīng)驗的假設，以前從未被指出過(guò)。
根據相對論，在四維時(shí)空坐標中，時(shí)空量表示為：
（8）
廣義相對論中的不變量原理確定了，任意四維時(shí)空坐標都有（8）式。
現在，在非歐幾里德的四維時(shí)空坐標中，推廣歐幾里德幾何的觀(guān)察者假設。
先定義一種四維時(shí)空坐標，在觀(guān)察者觀(guān)察的時(shí)間內，這個(gè)坐標內的時(shí)空度規
時(shí)間平移不變性和空間平移不變性，令ξ為坐標內時(shí)空場(chǎng)ξ=
ξ ,(i=1,2,3,4)，表示為李（Lie）微商有
?ξ gμυ =0 （9）
而
（10）
如果所取的時(shí)空體積足夠小，即 ，那么總可以成為這種坐標。這種坐
標具有普適性。
在四維時(shí)空中,隨意取兩個(gè)這種坐標 和 ，觀(guān)察者在坐標內所觀(guān)察到的單
位時(shí)空量 和 ，如果觀(guān)察者不與坐標外其他坐標比較的話(huà)，他是無(wú)法在
時(shí)空量方面區分他在 和坐標內觀(guān)察到的單位時(shí)空量和（觀(guān)察者在 坐標內觀(guān)察 時(shí)，也不能與 坐標內的比較。他只能分別觀(guān)察 和 后，再比較 和 ）。這是四維彎曲時(shí)空的觀(guān)察者假設。即觀(guān)察
者無(wú)法區分不同的這種坐標系的固有時(shí)間和固有長(cháng)度。
這樣觀(guān)察者可以得到
（11）
令 ， ，得：
（12）
（12.1)
由（9）式和（10）式的定義，觀(guān)察者總能認為他所在的坐標系內滿(mǎn)足
（13）
（14）
那么有
（6）
因
所以 有相同的量綱。
所以可以，令
（15）
（16）
那么有
（15.1)
(16.1)
所以
(17)
而在上述定義的坐標系中，總有
（18）
所以 （19）
這樣就有在上述定義的坐標系中，時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化
量相等。這就是時(shí)空的對稱(chēng)變化�？蓪�(xiě)為
（6）
這里稱(chēng)為時(shí)空對稱(chēng)理論。上式的空間量是固有長(cháng)度 和 ，時(shí)間量則
不是固有時(shí)，固有時(shí) 和 有下列關(guān)系：
（20）
而 和 不符合 中的任一
種時(shí)間量的微分，故
（16）
不是真實(shí)觀(guān)測值。
四。Schwarzchild解的分析
用時(shí)空對稱(chēng)理論求解Schwarzchild解十分簡(jiǎn)單，在得到 后，因
（19）
可得
（15.2)
(16.1)
(13.1)
下面用廣義相對論四維時(shí)空標架求解Schwarzchild解，并比較時(shí)空對稱(chēng)理
論用四維時(shí)空標架求解Schwarzchild解的辦法
（t=ict , c =1) (21)
這是靜態(tài)球對稱(chēng)度規的標準形式。
在求解過(guò)程中得到
， （22）
令 ，得到
（23）
令 ，其意義是將絕對平直坐標系內的固有時(shí)與固有長(cháng)度之間
物理條件，應用到有引力場(chǎng)的非慣性坐標系。
因此
（16.2)
不是真實(shí)觀(guān)測值。
而固有時(shí) 與 之間有
（20.1)
這樣 與固有長(cháng)度的度規 有
（24）
又因為對觀(guān)測者而言 項是觀(guān)測不到的，所以觀(guān)測到的是正交時(shí)空
坐標，這樣靜態(tài)球對稱(chēng)度規的標準形式：
（t=ict , c =1) （21）
不符合要求，只有
（25）
符合要求。
計算克里斯朵夫聯(lián)絡(luò )的非零分量，其中
， ， ，
， 。
與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計算值一樣。
（26）
也與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計算值一樣，也可得
， （22）
令 ，Schwarzchild解中的長(cháng)度量，用固有長(cháng)度表示有
（23.1）
用時(shí)空對稱(chēng)理論求解Schwarzchild解有
（13.1）
因為 項觀(guān)測不到，任何觀(guān)測坐標都是正交的。
不變，
（其中的r 是遠離引力場(chǎng)的觀(guān)測者的觀(guān)測值， ）
這樣，時(shí)空對稱(chēng)理論依舊可解釋引力紅移，引力引起的光線(xiàn)偏折和水星近
日點(diǎn)進(jìn) 動(dòng)（詳細內容在附錄中）。
這樣，用時(shí)空對稱(chēng)理論和廣義相對論求得的Schwarzchild解時(shí)空物理意義
等價(jià)。
五。關(guān)于Kerr解
Kerr解中 不全為0，不是真實(shí)觀(guān)測解，不能符合用四維時(shí)空的觀(guān)
察者假設推導出的時(shí)空對稱(chēng)理論。
但用時(shí)空對稱(chēng)理論分析自轉坐標系，也能得到Kerr解才有的單位質(zhì)量的角
量a ，這將在下面分析。
六。時(shí)間量和空間量
經(jīng)驗告知，空間是三維的，時(shí)間是一維的。在觀(guān)測者的直接觀(guān)測中，是觀(guān)
測不到空間與時(shí)間，空間與空間的相互作用。
故假定：觀(guān)測者通過(guò)直接觀(guān)測，無(wú)法觀(guān)測到空間與時(shí)間的相互作用量。即：
(27)
除非通過(guò)計算觀(guān)測結果，方可知道空間與時(shí)間的相互作用量。
這樣，對觀(guān)測者的直接觀(guān)測而言，任何觀(guān)測四維時(shí)空的線(xiàn)元長(cháng)度為
(13)
而 項是觀(guān)測不到的。
絕對平直時(shí)空的四維時(shí)空線(xiàn)元
（13）
就是任何觀(guān)測者的直接觀(guān)測結果。
設有一種坐標系：
在該坐標系內任何一點(diǎn)觀(guān)測，光在此坐標系內的任何兩點(diǎn)的行走路 徑，都
是直線(xiàn)；在坐標系內任意點(diǎn)的真空中光速恒定，稱(chēng)為相對平直坐標系。在彎曲時(shí)
空取足夠小的時(shí)空范圍，可得到此類(lèi)坐標系，這類(lèi)似微分。在彎曲時(shí)空取足夠小
的時(shí)空范圍，該范圍的時(shí)空近似平直。這與上面關(guān)于直接觀(guān)測是觀(guān)測不
到 項是一致的。在此坐標系內有統一的時(shí)空單位和統一的鐘和尺。
所以，此坐標系有：
（28）
[v]是指此坐標系內任意點(diǎn)真空中光的速度， [t]是指此坐標系內任意點(diǎn)的
時(shí)間。
以后本文中的坐標系都是此類(lèi)坐標系。稱(chēng)為相對平直坐標系。
不同的相對平直坐標系之間是"平行"的，須通過(guò)物理參數的變化，物質(zhì)方
能從一個(gè)相對平直坐標系進(jìn)入另一個(gè)相對平直坐標系。
（29）
（29）是時(shí)空對稱(chēng)理論，即時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所
用的坐標系是相對平直坐標系。其中 和 不是固有時(shí)，設這兩個(gè)坐標系
固有時(shí)為 和 ，有：
（30）
所以，這里的時(shí)間量平方 與空間量平方 不能理解為：
可用時(shí)間單位或空間單位的平方代替，而應理解為類(lèi)似密度的一種量，稱(chēng)為時(shí)
間量密度與空間量密度。時(shí)空對稱(chēng)理論是指時(shí)間量密度與空間量密度的對稱(chēng)變
化。
令時(shí)間量密度為 ，空間量密度為 ，
類(lèi)比固有時(shí)平方的倒數 ，并可以替代；
類(lèi)比固有長(cháng)度平方 ，并可以替代；
（ 分別為固有時(shí)和固有長(cháng)度）
令時(shí)空密度為 ，不同的相對平直坐標系有不同的時(shí)空密度 ，任意相對平直坐標系中有
（31）
在同一個(gè)相對平直坐標系中， 類(lèi)比線(xiàn)元 ，但是不可以替代。
不同的相對平直坐標系比較時(shí)空觀(guān)測值時(shí)，須使用時(shí)間量密度和空間量密
度，通過(guò)設定某一相對平直坐標系時(shí)間量密度和空間量密度為1，得到不同的相
對平直坐標系的不同時(shí)間量密度和空間量密度。然后，對不同的相對平直坐標系
換算出不同的時(shí)間量和空間量單位。
這樣時(shí)空對稱(chēng)理論實(shí)際上是關(guān)于時(shí)空密度的變化的理論，可表示為：
（32）
為不同的兩個(gè)相對平直坐標系時(shí)空密度， 為時(shí)空密度的變化量。
七。時(shí)空密度的變化量
在狹義相對論中
（33）
在Schwarzschild解中
（c=1） (34)
引力 （35）
根據等效原理有慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量，或在局域時(shí)空內慣性力和引力不
可區分，在本文中局域時(shí)空為相對平直坐標系代替，那么在相對平直坐標系中
（36）
（37）
（38）
所以有：
（39）
在狹義相對論和Schwarzschild解中
（33）
那么，時(shí)空對稱(chēng)理論中，時(shí)空密度變化量 ，在 時(shí)，
（33）
這樣 （37）
變?yōu)?（40）
此積分為不定積分。
這里 是能量的一種形式。用四維時(shí)空觀(guān)點(diǎn)看， 是二階逆變二階
協(xié)變張量而不是狹義速度矢量的平方。
時(shí)空對稱(chēng)理論在 時(shí)表示為
（41）
為須觀(guān)測的坐標系的時(shí)空密度； 為觀(guān)測者所在的坐標系的時(shí)空密度，時(shí)間 密度，空間密度； 是能量的一種形式。哪個(gè)坐標系絕對地得到能量，這個(gè)坐標系的時(shí)空密度絕對地改變。
八。時(shí)空對稱(chēng)理論和狹義相對論
假設兩個(gè)相對平直坐標系，一個(gè)靜止，一個(gè)角速度為 做圓周運動(dòng)。
用時(shí)空對稱(chēng)理論分析
(42)
對于角速度為 的坐標系，離心力為 （ r 為圓周半徑），
即 （43）
（44）
所以，時(shí)空密度的變化量 為
（45)
有 （46）
對于固有時(shí) 和固有長(cháng)度 有
（47）
用狹義相對論分析固有時(shí)和固有長(cháng)度有
（48）(是速度方向）
可以看出兩理論對固有時(shí)有相同結論；對于固有長(cháng)度，時(shí)空對稱(chēng)理論認為
固有長(cháng)度全方向改變，狹義相對論認為只是平行瞬間速度 方向的固有長(cháng)度
改變。
用時(shí)空對稱(chēng)理論和狹義相對論分析以速度 v做直線(xiàn)運動(dòng)的坐標系也有相同
結論，只不過(guò)時(shí)空對稱(chēng)理論將以速度 v做直線(xiàn)運動(dòng)的坐標系當做繞無(wú)窮遠處某
點(diǎn)做圓周運動(dòng)。
對于邁克耳遜-莫雷實(shí)驗，狹義相對論是用慣性系中光速恒定來(lái)解釋?zhuān)瑫r(shí)空
對稱(chēng)理論是用相對平直坐標系中光速不變來(lái)解釋。
九。時(shí)空對稱(chēng)理論的詳細表述
假設1：設有時(shí)空坐標系
(28)
（即光速恒定, 項觀(guān)測不到 ）
是指此坐標系內任意點(diǎn)光的速度， 指此坐標系內任意點(diǎn)的固有時(shí)。
此類(lèi)坐標系稱(chēng)為相對平直坐標系。
假設2：任何觀(guān)測者所觀(guān)測到的真實(shí)時(shí)空坐標系都是相對平直坐標系。
不論是慣性系或非慣性系，只要坐標系足夠小，都是此類(lèi)坐標系。
相對平直坐標系之間比較時(shí)空量，使用時(shí)空密度
（31）
是時(shí)間密度 ， 是空間密度。
在任一相對平直坐標系中，觀(guān)測者處在相同的時(shí)空密度 中，就有相同
的時(shí)間密度 和 空間密度 ，因而有相同的固有時(shí)和固有長(cháng)度。
的大小正比于固有時(shí)流逝的快慢。
的大小正比于固有長(cháng)度的長(cháng)短。
時(shí)空對稱(chēng)理論可表述為
(32)
為不同相對平直坐標系的時(shí)空密度。
當 ，有 （42）
(40)
用四維時(shí)空觀(guān)點(diǎn)看是二階逆變二階協(xié)變張量。
時(shí)空對稱(chēng)理論認為 是能量的一種形式，而不是狹義的速度平方或加速
度，或二階逆變二階協(xié)變張量，上式的積分為不定積分。
當能量形式 絕對的改變，時(shí)空密度 絕對的改變。
十。時(shí)空對稱(chēng)理論對不同坐標系之間的觀(guān)測比較
時(shí)空對稱(chēng)理論對不同坐標系之間的觀(guān)測比較可簡(jiǎn)單的分為兩種情況。其計
算結果是真實(shí)觀(guān)測值。
1。兩個(gè)相對平直坐標系 , 比較，有時(shí)空密度 ，
假設：
那么： （42）
為兩坐標系時(shí)空密度的比較
坐標系 的固有時(shí)比坐標系 的固有時(shí)流逝快。
坐標系 的固有長(cháng)度比坐標系 的固有長(cháng)度長(cháng)。
并通過(guò) （40）
與經(jīng)典的速度，引力和加速度對比，從而得到不同坐標系的固有時(shí)和固有
長(cháng)度的區別。
2。設有三個(gè)坐標系 ，時(shí)空密度分別為 ，
假設
有
（32.1)
(49)
其中（ , ）
不論觀(guān)測者在 坐標系都將得到（49）式觀(guān)測結果，觀(guān)測者在第四坐標系也將得到（49）式觀(guān)測結果，這是時(shí)空對稱(chēng)理論中所得計算結果是真實(shí)觀(guān)測
值的推論，也是時(shí)空對稱(chēng)理論的兩個(gè)假設的推論。
十一。關(guān)于時(shí)空對稱(chēng)理論可能的實(shí)驗證實(shí)
一種是檢測高速自轉物體的半徑和厚度是否縮短？
這種情況下，狹義相對論認為只有沿速度方向的周長(cháng)縮短，半徑和厚度不
變。而時(shí)空對稱(chēng)理論認為周長(cháng)，半徑和厚度都將縮短。半徑縮短后為
（略去 以后項） （49）
項與Kerr-Newman解中的單位質(zhì)量角動(dòng)量項a一致。
厚度縮短后為
（50）
另外一種是一個(gè)加速運動(dòng)坐標系與相對靜止的坐標系之間，在 的情況下，將有時(shí)空密度 的變化。
那么，當發(fā)射光譜的元素做加速運動(dòng)時(shí)，將有類(lèi)似引力紅移的光譜紅移現
象。
如果，是發(fā)射光譜的元素靜止，而觀(guān)測光譜的儀器和觀(guān)測者做加速運動(dòng)，
將有光譜紫移現象。
除去多普勒效應，由振動(dòng)頻率公式可得，光譜線(xiàn)發(fā)生紅移時(shí)，移動(dòng)的頻率
為： （51）
是光子的固有振動(dòng)頻率
很顯然，對于相對平直坐標系中的物體而言，當 時(shí)，物體進(jìn)入類(lèi)似黑洞事件視界的另一種事件視界。
參 考 文 獻
A.愛(ài)因斯坦 相對論的意義 科學(xué)出版社 1961
E.G.哈里斯 現代理論導論 上�？茖W(xué)技術(shù)出版社 1975
張鎮九 現代相對論及黑洞物 華中師范大學(xué)出版社 1986
王仁川 廣義相對論引論 中國科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強 廣義相對論引論 北京大學(xué)出版社 1997
趙崢 黑洞的熱性質(zhì)與時(shí)空奇異性 北京大學(xué)出版社 1999
附 錄
（用時(shí)空對稱(chēng)理論解釋光子軌線(xiàn)的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)）
廣義相對論中求質(zhì)點(diǎn)和光子的軌道方程時(shí)，取球坐標，認為運動(dòng)滿(mǎn)足于
, （1）
協(xié)變動(dòng)量 和 是守恒量，有
（2）
E和L的物理意義，為觀(guān)測者所測到的質(zhì)點(diǎn)或光子的能量和角動(dòng)量。
四維速度的歸一條件 有
（3）
得到質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程
（4）
光子的軌道微分方程
（5）
廣義相對論用這兩個(gè)軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點(diǎn)
進(jìn)動(dòng)。
廣義相對論用來(lái)解釋引力紅移的方法也一樣適用于時(shí)空對稱(chēng)理論。這里
就不重復了。只討論時(shí)空對稱(chēng)理論解釋光子軌線(xiàn)的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。
因為時(shí)空對稱(chēng)理論是用真實(shí)觀(guān)測值來(lái)解釋時(shí)空的理論。用它得到的Schw-
arzschild解有
（6）
（7）
固有時(shí)的關(guān)系有
（8）
固有長(cháng)度的關(guān)系有
（9）
為時(shí)空密度， 為時(shí)間密度， 為空間密度。
按固有時(shí)和固有長(cháng)度來(lái)看，觀(guān)測者在遠離引力場(chǎng)的坐標系，觀(guān)測引力場(chǎng)坐
標系有
（10）
是引力場(chǎng)坐標系固有時(shí)， 是遠離引力場(chǎng)的坐標系固有時(shí)， 是引力場(chǎng)坐標系運動(dòng)平面角。這樣就有
（11）
因為兩個(gè)坐標系之間的能量 ，角度 ，角動(dòng)量 和長(cháng)度 的比較有
（12）（能量守恒）
（13） （ 項為零）
（14） （坐標系之間固有時(shí)和固有長(cháng)度的比較）
（15） （坐標系之間固有長(cháng)度的比較）
代入（11）式有
（16）
四維速度的歸一條件變?yōu)檎鎸?shí)觀(guān)測值有
（17）
將（16）式代入（17）式有
(18)
, 這就是時(shí)空對稱(chēng)理論的引力場(chǎng)中的軌道微分方程。
能量E是遠離引力場(chǎng)中的觀(guān)測者觀(guān)測到引力場(chǎng)中的能量，為引力場(chǎng)坐標系與無(wú)窮遠處坐標系的能量差，數量級為 略去二級小量，時(shí)空對稱(chēng)理論的軌道微分方程成為相對論的質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程
（4）
對于光子而言，角動(dòng)量 ，因為光子在弱引力場(chǎng)中走的幾乎是直線(xiàn)，
可以認為光子繞無(wú)窮遠處某點(diǎn)做圓周運動(dòng)。
（4）式 略去小量后，得到相對論的光子軌道微分方程
（5）
這樣，用時(shí)空對稱(chēng)理論就可以解釋引力紅移，光子軌線(xiàn)的引力偏折和水星日
點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)了。
參 考 文 獻
A.愛(ài)因斯坦 相對論的意義 科學(xué)出版社 1961
張鎮九 現代相對論及黑洞物理學(xué) 華中師范大學(xué)出版社 1986
王仁川 廣義相對論引論 中國科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強 廣義相對論引論 北京大學(xué)出版社 1997
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