由0是自然數引發(fā)的思考論文
隨著(zhù)九年義務(wù)教育小學(xué)數學(xué)教材（試用修訂版），把0劃歸自然數后，一些數的概念是否發(fā)生變化，引起小學(xué)了數學(xué)教師的關(guān)注。無(wú)論是在日常的教研活動(dòng)，還是教師私下交流，或是因特網(wǎng)上的教育論壇，都有許多教師提出疑問(wèn)，引發(fā)了大家的思考。
思考之一：為什么要把0劃歸自然數。
從歷史上看，國內外數學(xué)界對于0是不是自然數歷來(lái)有兩種觀(guān)點(diǎn)：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來(lái)，我國的中小學(xué)教材一直規定自然數不包括0。目前，國外的數學(xué)界大部分都規定0是自然數。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB 3100—3102—93）《量和單位》（11—2。9）第311頁(yè)，規定自然數包括0。所以在近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數學(xué)教材修訂中，教材研究編寫(xiě)人員根據上述國家標準進(jìn)行了修改。即一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數。
思考之二：最小的一位數是“1”還是“0”？
0是最小的自然數，那么最小的一位數是“1”還是“0”？在0沒(méi)有歸入自然數以前大家都很清楚，最小的一位數是1。那么，現在0也成為自然數了，最小的一位數還是1嗎？這是許多教師提出的疑問(wèn)，筆者認為最小的一位數還是1。
因為，0表示一個(gè)物體也沒(méi)有，在記數法中是表示空位的一個(gè)符號，如3005里“0”就分別表示這個(gè)數的十位、百位、都是空位。這次調整雖然將“0”劃歸自然數，然而對幾位數的概念并沒(méi)改變。關(guān)于“幾位數”是這樣定義的“只用一個(gè)有效數字表示的數，叫做一位數，只用兩個(gè)有效數字，其中左邊第一個(gè)數字是有效數字來(lái)表示的數就叫做兩位數……”假設0也算作一位數的話(huà)，那么最小的兩位數是“10”還是“00”呢？那么最小的三位數、四位數……又是多少呢？
《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數學(xué)第八冊教師教學(xué)用書(shū)》第98頁(yè)“關(guān)于幾位數”是這樣敘述的：“通常在自然數里，含有幾個(gè)數位的數，叫做幾位數。例如，2，含有一個(gè)數位的數，叫做一位數；30含有兩個(gè)數位的數，叫做兩位數；405含有三個(gè)數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說(shuō)0是幾位數。
所謂最大的幾位數，最小的幾位數，通常也是在非零自然數有范圍來(lái)說(shuō)。所以，最大一位數是9，最小一位數是1；最大兩位數是99，最小兩位數是10；最大三位數是999，最小三位數是100……”
綜上所述，“0”雖然是最小的自然數，但仍然不能稱(chēng)為“一位數”，更不能稱(chēng)為最小的一位數。
思考之三：自然數的計數單位還是“1”嗎？
大家都知道，0是自然數中最小的一個(gè)。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……這樣繼續下去可以得到任意一個(gè)自然數。而從自然數的排列順序可知，后面一個(gè)自然數比前面一個(gè)自然數多1。因此，任何一個(gè)自然數都是由若干個(gè)1合并而成，所以1是自然數的單位。0可以看成是由0個(gè)1組成的自然數。
思考之四：0是其它非零自然數的倍數嗎？
《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數學(xué)》第十冊中，關(guān)于“數的整除”及“約數和倍數”的定義并未做任何改變，教材第54頁(yè)就有這樣的敘述：“因為0也能被2整除，所以0也是偶數”。以此類(lèi)推，0能被所有非零自然數整除，根據約數倍數的定義，0是任何非零自然數的倍數，任何非零自然數都是0的約數。但考慮到研究分解質(zhì)因數、最大公約數、最小公倍數時(shí)，一般限于非零自然數范圍內，如講最小公倍數時(shí)，是把0排除在外的。為此，《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數學(xué)》第十冊50頁(yè)明確指出：“為了方便，以后在研究約數和倍數時(shí)，我們所說(shuō)的數一般不包括0”。這樣就避免了一些不必要的麻煩。但過(guò)去的一些說(shuō)法就必須加以糾正了。例如：“一個(gè)自然數的最小倍數是它本身”、“自然數的約數的個(gè)數是有限的”等，這樣的結論必須糾正。
思考之五：0是不是合數？
過(guò)去，在教學(xué)中，關(guān)于自然數的組成，有兩種情況：一是所有奇數和所有的偶數組成自然數集合；二是所有的質(zhì)數與所有的合數及1也組成自然數集合�，F在0也成為了自然數集合的一員，因而有許多教師提出這樣的問(wèn)題：0是不是合數？
前面已經(jīng)談過(guò)了，以后“在研究約數和倍數時(shí)，我們所說(shuō)的數一般不包括0”，但作為一種學(xué)術(shù)研究，進(jìn)行探討也未嘗不可。筆者以為，0的約數有無(wú)數個(gè)，根據《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數學(xué)》第十冊中關(guān)于合數的定義：“一個(gè)數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數�！彼坪鯌摪�0劃歸為合數范圍，但仔細一想0是個(gè)特殊的自然數，因為所有非零自然數都有“本身”這個(gè)約數，如，1是1的約數，2也是2的約數……，而0這個(gè)自然數恰恰少了“本身”這個(gè)約數，因此，也不能歸為合數。試想：假設如果0是合數，那么它能用質(zhì)因數相乘的形式表現出來(lái)嗎？這就與“每個(gè)合數都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數相乘的形式”產(chǎn)生了矛盾。所以，我主張把0劃歸為“既不質(zhì)數，也不是合數”范圍。當然了，這需要權威機構和專(zhuān)家們的認定。但我認為，目前在沒(méi)有明確0是不是合數的情況下，還是以回避為好。
思考之六：“任何相鄰的兩個(gè)自然數是互質(zhì)數”對嗎？
0沒(méi)有成為自然數時(shí)，這一結論毫無(wú)疑問(wèn)是正確的�，F在0也是自然數，我們只要研究“0和1”這兩個(gè)相鄰的自然數是不是質(zhì)數，就行了。根據《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數學(xué)》第十冊中關(guān)于互質(zhì)數的定義：“公約數只有1的兩個(gè)數，叫做互質(zhì)數�！惫P者認為，0的約數有無(wú)數個(gè)，而1的約數只有一個(gè)，那就是它本身。綜上所述，0和1的公約數只有“1”，因此，0和1是互質(zhì)數。自然，“任何相鄰的兩個(gè)自然數是互質(zhì)數”這個(gè)結論也是正確的。
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