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中考數學(xué)第九章復習資料
第九章：三角形
知識點(diǎn)：
一、關(guān)于三角形的一些概念：
由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
組成三角形的線(xiàn)段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。
1、三角形的角平分線(xiàn)：三角形的角平分線(xiàn)是一條線(xiàn)段（頂點(diǎn)與內角平分線(xiàn)和對邊交線(xiàn)間的距離）
2、三角形的中線(xiàn)：
三角形的中線(xiàn)也是一條線(xiàn)段（頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)間的距離）
3、三角形的高：
三角形的高線(xiàn)也是一條線(xiàn)段（頂點(diǎn)到對邊的距離）
注意：三角形的中線(xiàn)和角平分線(xiàn)都在三角形內。
如圖2－1， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線(xiàn)，它們都在△ABC內
如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線(xiàn)，它們都在△ABC內
而圖2－3，說(shuō)明高線(xiàn)不一定在 △ABC內，
圖2－3—（1），中三條高線(xiàn)都在△ ABC內，
圖2－3－（2），中高線(xiàn)CD在△ABC內，而高線(xiàn)AC與BC是三角形的邊；
圖2－3一（3），中高線(xiàn)BE在△ABC內，而高線(xiàn)AD、CF在△ABC外。
三、三角形三條邊的關(guān)系：
三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。
等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。
三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類(lèi)：
用集合表示，見(jiàn)圖2－4
推論三角形兩邊的差小于第三邊。
不符合定理的三條線(xiàn)段，不能組成三角形的三邊。
例如三條線(xiàn)段長(cháng)分別為5，6，1人因為5＋6＜12，所以這三條線(xiàn)段，不能作為三角形的三邊。
四、三角形的內角和：
定理三角形三個(gè)內角的和等于180°
由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。
如已知△ABC的兩個(gè)角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°
由定理可以知道，三角形的三個(gè)內角中，只可能有一個(gè)內角是直角或鈍角。
推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
三角形按角分類(lèi)：
用集合表示，見(jiàn)圖
三角形一邊與另一邊的延長(cháng)線(xiàn)組成的角，叫三角形的外角。
推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內角的和。
推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角。
例如圖2—6中
∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；
∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
五、全等三角形：
能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。
兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對應頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。
全等用符號“≌”表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`， C和C`是對應點(diǎn)。
全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。
如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對應點(diǎn)A`、B`、C`；AB、BC、CA的對應邊是A`B`、B`C`、C`A`。
∠A，∠B，∠C的對應角是∠A`、∠B`、∠C`。
∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`
六、全等三角形的判定：
1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）
注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。
2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角“或“ASA”）
3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊’域“AAS”）
4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）
由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩定性。
除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全等。
5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊，直角邊”或“HL”）
七、角的平分線(xiàn)：
定理1、在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
定理2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。
由定理1、2可知：角的平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。
可以證明三角形內存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）
在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設是第二個(gè)命題的結論，而第一個(gè)命題的結論又是第二個(gè)命題的題設，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。
如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定
理。
例如：“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”是互逆定理。
一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒(méi)逆定理，因為“相等的角是對頂角”這是一個(gè)假命顆。
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