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淺談小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習
一、小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習的意義和目的
《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數學(xué)教學(xué)大綱》闡明了數學(xué)的重要作用：“數學(xué)是學(xué)習現代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎和工具。它在日常生活、生產(chǎn)建設和科學(xué)研究中，有著(zhù)廣泛的應用。因此掌握一定的數學(xué)基礎知識和基礎技能，是我國公民應當具備的文化素養之一�！庇种赋觯骸靶W(xué)數學(xué)是義務(wù)教育的一門(mén)重要學(xué)科。從小給學(xué)生打好數學(xué)的初步基礎，發(fā)展思維能力，培養學(xué)習數學(xué)的興趣，養成良好的學(xué)習習慣，對于貫徹德、智、體、美全面發(fā)展的教育方針，培養有理想、有道德、有文化、有紀律的社會(huì )主義公民，提高全民族的素質(zhì)具有十分重要的意義�！�
小學(xué)數學(xué)教學(xué)要求我們以唯物辯證法為指導，理論聯(lián)系實(shí)際，使學(xué)生在掌握基礎知識的同時(shí)，發(fā)展智力，培養能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣和求知欲，充分調動(dòng)學(xué)生學(xué)習的積極性和主動(dòng)性，小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習則是在教師的指導下，是學(xué)生自己發(fā)現問(wèn)題，帶著(zhù)問(wèn)題運用觀(guān)察、比較、分析、判斷、推理等研究手段自己獲取新的知識，使問(wèn)題得到解決的一種學(xué)習活動(dòng)。這種學(xué)習能有效地提高學(xué)生學(xué)習的興趣，提高學(xué)生數學(xué)邏輯推理的思維能力，提高學(xué)生問(wèn)題解決的策略能力，從而達到小學(xué)數學(xué)教學(xué)的目標要求。
施良方教授在《教育理論：課堂教學(xué)的原理、策略與研究》一書(shū)提到“廣義的知識包括兩大類(lèi)：一類(lèi)是陳述性知識，即‘知什么’；另一類(lèi)是程序性知識，即‘知如何’，它包括理智技能和認知策略，此外還包括動(dòng)作技能中的認知成分�！背绦蛐灾R中的智慧技能、認知策略的形成則是研究性學(xué)習所要達成的目標，尤其是認知策略，學(xué)生只有通過(guò)自己學(xué)，才能掌握有意注意，思維，記憶等過(guò)程的技能。使學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習，只有在教師的指導下，學(xué)生對學(xué)習材料通過(guò)自己的研究性學(xué)習，才能在學(xué)習的過(guò)程中不斷地領(lǐng)悟認知策略，才能逐步地掌握怎么學(xué)，才能使他們能夠在走出學(xué)校之后，不斷地有效地學(xué)習。
數學(xué)教育的核心是問(wèn)題的解決。偉大的數學(xué)家希爾伯特說(shuō)：“只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)著(zhù)生命力；而問(wèn)題缺乏則預示著(zhù)獨立發(fā)展的衰亡或終止�！瓟祵W(xué)研究也需要自己的問(wèn)題，正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現新方法和新觀(guān)點(diǎn)，達到更為廣闊和自由的境界�！毙W(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習正是要引導學(xué)生去發(fā)現他所未知的問(wèn)題，通過(guò)數學(xué)手段來(lái)解決問(wèn)題，且能用數學(xué)解決問(wèn)題的策略遷移到其它問(wèn)題的解決上。小學(xué)數學(xué)習題的研究性學(xué)習，既要注意生活實(shí)際中顯示的數學(xué)問(wèn)題，更要注意一些有一定研究?jì)r(jià)值的體現數學(xué)方法的習題。如小學(xué)數學(xué)中的行程問(wèn)題，小學(xué)生學(xué)習后可能今后再也不可能碰到這樣的問(wèn)題，那么這類(lèi)問(wèn)題有否研究?jì)r(jià)值呢？學(xué)習研究解決行程問(wèn)題，恰是一種程序性知識的學(xué)習。研究這類(lèi)問(wèn)題將會(huì )告訴我們：如何從問(wèn)題出發(fā)，尋找解決問(wèn)題的條件，如何利用已有的條件探索條件之間復雜的隱含聯(lián)系，從而創(chuàng )造出更新更直接的條件建立數學(xué)模型解決問(wèn)題。這種問(wèn)題解決策略正是通過(guò)對各種數學(xué)習題的研究性學(xué)習才得以形成。發(fā)現問(wèn)題，研究問(wèn)題，構建解決問(wèn)題和認知策略，這就是小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習的目的和意義。
二、小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習的內容
研究性學(xué)習可以分成形成型研究性學(xué)習，應用型研究性學(xué)習等等。小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習的內容大致也可以有這幾種。
數學(xué)新知識、新概念的學(xué)習與形成如果與學(xué)生已有的認知結構與具體經(jīng)驗很接近，即處于學(xué)生的最近發(fā)展區，這部分的學(xué)習內容可以作為研究性學(xué)習的內容。如：小數乘法的學(xué)習。學(xué)生已有整數乘法運算的知識與技能，小數乘法的計算方法的學(xué)習完全可以在教師的指導下完成。教師可以先讓學(xué)生觀(guān)察在整數乘法中，因數擴大或縮小和積擴大或縮之間的倍數關(guān)系，那么如果小數因數去掉小數點(diǎn)變成整數后計算得到的積和原來(lái)的積有什么關(guān)系呢？讓學(xué)生思考研究。經(jīng)過(guò)多題的比較研究，學(xué)生可明白因數擴大若干倍積也擴大相同的倍數，如果小數乘法變成整數乘法來(lái)計算，積擴大了若干倍，要恢復成原來(lái)的積，只要把擴大的積縮小相同的倍數即可。教師繼續可引導學(xué)生去觀(guān)察：小數乘法中積的小數位數與因數的小數位數之間的聯(lián)系，找找規律，找找原因，學(xué)生就能得到小數乘法的計算法則。再如：學(xué)習三角形面積的計算，教師給出一個(gè)三角形圖形，請學(xué)生量量算算它的面積大小，學(xué)生可能會(huì )用各種方法來(lái)試圖計算它的面積大小，如用畫(huà)方格的方法等。教師可以再給出一個(gè)完全一樣的三角形，讓學(xué)生想辦法，看能不能用這兩個(gè)完全一樣的三角形，不用畫(huà)方格的方法來(lái)計算出其中一個(gè)的面積。能不能用已學(xué)過(guò)的平行四邊形面積計算的方法試一試，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論、試驗，會(huì )試圖把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再測量出平行四邊形的底和高的長(cháng)度，并會(huì )發(fā)現這樣一個(gè)三角形的面積恰好是拼成的平行四邊形面積的一半，并計算出平行四邊形的面積除以2就是等底等高三角形的面積。雖然拼的方法不同但計算的結果都一樣，這樣就順理成章地推導出三角形面積的計算方法。象這類(lèi)舉不勝舉的數學(xué)基礎知識和概念的形成性學(xué)習材料，都可以作為小學(xué)數學(xué)形成型研究性學(xué)習的內容。
目前小學(xué)數學(xué)教學(xué)中教師普遍重視知識與技能形成性的研究性學(xué)習，而對另一種更重要的研究性學(xué)習，即問(wèn)題解決的研究性學(xué)習或應用型的研究性學(xué)習卻沒(méi)有引起足夠的重視。小學(xué)數學(xué)教學(xué)中對數學(xué)習題的知識功能較重視，而對它的教育功能不夠重視，數學(xué)習題的解答往往停留在簡(jiǎn)單模仿的水平上，沒(méi)有認識到數學(xué)習題是一個(gè)載體，通過(guò)解答數學(xué)習題可使學(xué)生的思維活動(dòng)有一定水平的目的性、方向性、確定性和辨別性，從而成為培養學(xué)生良好的思維品質(zhì)的重要工具。在數學(xué)習題解答的研究性學(xué)習中，有的放矢地轉化解題方法，從一種途徑轉向另一種途徑可以培養思維的靈活性。堅持數學(xué)運算速度的要求，同時(shí)使學(xué)生掌握合理的運算技巧和探索問(wèn)題的方法，可以培養學(xué)生思維的敏捷性。分析數學(xué)習題條件的實(shí)質(zhì)，以及條件之間的相互聯(lián)系，發(fā)現其中的隱含條件，可以培養學(xué)生思維的深刻性。善于發(fā)現問(wèn)題，提出質(zhì)疑，及時(shí)摒棄自己的錯誤，可以培養學(xué)生思維的批判性。在解題中引導學(xué)生重視常規而又不墨守成規，尋求變異，從多角度，全方位考慮問(wèn)題，可以培養學(xué)生思維的廣闊性。在解題中鼓勵學(xué)生主動(dòng)地、獨立地、別出心裁地提出新方法、新見(jiàn)解、不因循守舊，不迷信權威，善于聯(lián)想、善于類(lèi)比、可以培養學(xué)生思維的創(chuàng )造性。研究解答好思維性強的習題使學(xué)生得益匪淺。
如學(xué)生學(xué)習了分解質(zhì)因數知識后，可以出這樣一道題，兩個(gè)整數的積是144，差是10，這兩個(gè)整數分別是幾？學(xué)生可能會(huì )把乘積是144的兩個(gè)整數都找出來(lái)列成一表：
123468912
14472483624181612
這樣可發(fā)現只有18與8是相差10，則18與8即是本題的答案。如果進(jìn)一步提出還有沒(méi)有別的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？經(jīng)過(guò)研究，可得到這樣的一個(gè)結論，如果兩個(gè)整數的積相等，那么這兩個(gè)整數所含有的質(zhì)因數的種類(lèi)與個(gè)數完全一樣，知道兩個(gè)整數的積，只要把積所含有的質(zhì)因數進(jìn)行重新搭配，就能找出各種各樣的乘法算式，如果因數是整數，則這些乘法算式的個(gè)數是有限的。同學(xué)們還會(huì )根據這個(gè)結論去編出很多相關(guān)的應用題。這樣就把分解質(zhì)因數這樣一個(gè)數學(xué)知識巧學(xué)活用了。
再如學(xué)生學(xué)習了正方形、長(cháng)方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算方法后，讓學(xué)生去研究這樣一道題，由兩個(gè)正方形組成的如圖所示的圖形，只知小正方形的邊長(cháng)為6，求陰影部分三角形的面積，開(kāi)始學(xué)生會(huì )覺(jué)得很簡(jiǎn)單，因為它與知道兩個(gè)正方形邊長(cháng)的題目很相似，再仔細一看，發(fā)覺(jué)缺少一個(gè)條件，即缺少大正方形邊長(cháng)，于是陷入一種困惑。
這時(shí)，不妨讓學(xué)生試一試憑直覺(jué)你覺(jué)得面積應是幾？很多人會(huì )猜是18！那么為什么呢？不妨再讓學(xué)生去假設大正方形邊長(cháng)為已知條件，長(cháng)度可以隨意定，讓學(xué)生去計算陰影部分面積，于是大家發(fā)現結果驚人的一致，都是18。這又是為什么呢？學(xué)生可以肯定陰影部分面積與小正方形有密切關(guān)系，而與大正方形沒(méi)有多大的關(guān)系。此時(shí)讓學(xué)生去觀(guān)察三角形AEF與梯形CBEF的大小，有沒(méi)有辦法證明是一樣大。再觀(guān)察三角形AHB與三角形CHF的大小關(guān)系，會(huì )發(fā)現這里有一個(gè)等量替換的關(guān)系而恍然大悟。象這樣：猜想----假設----驗證----推理的研究過(guò)程將會(huì )激發(fā)學(xué)生極大的學(xué)習興趣，也可能悟出一些問(wèn)題解決的策略。要使數學(xué)習題成為小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習的內容，僅依靠現有的教材是不夠的，需要我們教師不斷地根據學(xué)生的知識現狀與能力去創(chuàng )造，從而使數學(xué)習題的教育功能得到充分體現。當然這部分研究性學(xué)習的內容并不是每個(gè)學(xué)生每一次都能得出研究的結果，因此在內容的選擇上，應該從易到難，從簡(jiǎn)單到復雜，而且要強調研究性學(xué)習中團隊合作的精神，一個(gè)人想不出不等于大家想不出，一個(gè)人在一個(gè)問(wèn)題中思考研究出一個(gè)方面，群體就可以解決一個(gè)較難的問(wèn)題。數學(xué)習題的研究性學(xué)習是一個(gè)很重要的內容，必須引起我們數學(xué)教師，尤其是小學(xué)數學(xué)教師的關(guān)注。
三、小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習的策略
小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習主要是通過(guò)學(xué)生自己的研究去發(fā)現認識數學(xué)知識，或利用數學(xué)知識去解決實(shí)際問(wèn)題。因而在小學(xué)數學(xué)研究性學(xué)習中一般采用這樣一些策略。
第一，教師要準備可供研究的材料，要根據兒童的心理特征設計內容，抽象邏輯思維也具有很大成分的具體形象性的特點(diǎn)，教師要設置問(wèn)題情境，引導學(xué)生觀(guān)察各種數學(xué)現象或數字的顯著(zhù)特點(diǎn)，并逐步縮小觀(guān)察范圍，把注意力集中于某個(gè)中心點(diǎn)。教師提供材料開(kāi)始都應該是直觀(guān)形象的。
第二，直觀(guān)形象的材料要讓學(xué)生經(jīng)過(guò)實(shí)際操作，動(dòng)手算算、劃劃、分分、拼拼，引導學(xué)生提出假設，適時(shí)提出問(wèn)題，引起學(xué)生思考、分析、比較，對各種信息進(jìn)行轉換與重新組合，以事實(shí)為依據來(lái)驗證假設，并且不斷地對假設進(jìn)行修正和完善，以推導出概括性的結論。?
第三，教師在整個(gè)研究過(guò)程中，要幫助學(xué)生理清思維過(guò)程，并能用比較清晰的、有條理的語(yǔ)言來(lái)表述整個(gè)思考與研究過(guò)程，這樣有利于學(xué)生通過(guò)研究獲得新知識與認知策略，并納入到自己的認知結構中。
第四，教師還可以提供相類(lèi)似的材料，以便學(xué)生將研究所獲得的結論或方法，運用于新的問(wèn)題情景中，使其得以鞏固和深入，形成問(wèn)題解決策略的遷移能力。
第五，教師要適當地組織學(xué)生分組，最好能按學(xué)生學(xué)習能力的強弱交叉分組，發(fā)揮互補優(yōu)勢，以體現互助合作精神。
下面僅以一例，說(shuō)明以上策略的應用。教師給出一個(gè)問(wèn)題解決的材料，現在有一個(gè)比薩餅，如果切10刀，最多能切出多少塊大大小小的比薩餅。（這個(gè)問(wèn)題適宜于中、高年級的學(xué)生思考）。教師可先引導學(xué)生去畫(huà)一個(gè)大圓代替比薩餅，然后用直線(xiàn)代替切刀，先試切一刀，二刀，三刀……等等，學(xué)生動(dòng)手操作，最后結論可能是不同的！切一刀，都是二塊；切二刀，就有三塊、四塊之分；切三刀；更有四塊、五塊、六塊、七塊等多種答案。教師應及時(shí)提醒學(xué)生介紹他是如何切的。學(xué)生可能一開(kāi)始也不是能切出7塊的，可能也是4塊與5塊，但他及時(shí)注意到了問(wèn)題的特殊要求，再繼續嘗試，結果切出7塊。這時(shí)教師要讓學(xué)生分組討論，讓他們討論切4刀怎么樣？怎樣切才能使分成的塊數最多。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生會(huì )得出這樣的假設，如果以直線(xiàn)代替刀，則要使每?jì)蓷l直線(xiàn)都相交，并且交點(diǎn)不重疊，才有可能分出最多塊。然后再讓學(xué)生試5刀、6刀，這時(shí)學(xué)生會(huì )發(fā)現第5條直線(xiàn)、第6條直線(xiàn)已經(jīng)很難畫(huà)上去，圓也越畫(huà)越大。教師可適時(shí)提出，我們能不能對已研究得出的結果排列出一張有序的數據表，來(lái)思考一下其中的規律呢？
觀(guān)察結果，學(xué)生會(huì )發(fā)現前一個(gè)塊數加上后一個(gè)直線(xiàn)條數，即是后一個(gè)分成的最多塊數。這樣就很順利地推導出切5刀，切6刀，甚至切10刀的塊數。學(xué)生的研究性學(xué)習獲得了第一個(gè)成果。教師這時(shí)應提出更高的要求，提出更新的問(wèn)題。如果要切49刀，50刀等，這樣推算是不是太麻煩？能不能找出2，4，7，11，16……這樣一串數與1，2，3，4，5……之間的關(guān)系，找找有什么規律性的東西，學(xué)生分組討論研究，在小組討論的基礎上，由小組代表發(fā)言，形成大組討論的形式，最后能推導出一個(gè)計算公式：（刀數＋1）×刀數÷2＋1＝塊數，然后再進(jìn)行逐個(gè)數據的驗證，證明是切實(shí)可行的。這樣就完成了一個(gè)完整的研究過(guò)程，取得了研究成果的高級形式----直線(xiàn)分割平面的方法和計算。最后還需請幾個(gè)學(xué)生用完整的語(yǔ)言敘述整個(gè)研究的過(guò)程以及其中的思維活動(dòng)，以利于學(xué)生構建認知結構與問(wèn)題解決的策略。這樣一個(gè)從形象到抽象，從具體到一般，再回到具體的研究思維過(guò)程。是源于教師在其中的指導作用是參謀而不是主謀，到位而不越位。
四、小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習和接受性學(xué)習
小學(xué)數學(xué)的研究性學(xué)習優(yōu)點(diǎn)是明顯的。
第一，促進(jìn)智力的發(fā)展。通過(guò)學(xué)生自己的發(fā)現、研究去學(xué)習，可以使學(xué)生按照促使信息更迅速地用于解決問(wèn)題的方式去獲得信息。
第二，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。學(xué)生體驗到研究中的樂(lè )趣，從而將學(xué)習的外部動(dòng)機轉化為內部動(dòng)機，調動(dòng)學(xué)生學(xué)習的積極性。
第三，培養學(xué)生掌握問(wèn)題解決的策略和研究的方法。有利于學(xué)生再學(xué)習，而這種研究方法的雛形對將來(lái)進(jìn)行科學(xué)探索和研究具有十分重要的價(jià)值和遷移作用。
第四，提升學(xué)生記憶品質(zhì)。學(xué)生自己研究得到的成果，會(huì )把整個(gè)研究過(guò)程形成的記憶產(chǎn)生豐富的“再生力”而長(cháng)期保持下去。
但是研究性學(xué)習也有其明顯的局限性：第一，通過(guò)研究性學(xué)習來(lái)掌握知識，效率較低。第二，研究性學(xué)習有一定的適用范圍。第三，研究性學(xué)習要求學(xué)生具備相應的實(shí)踐經(jīng)驗。對于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，如不能實(shí)踐操作的，就不能建立有效的假設，那么研究的結果就變成一種盲目亂猜，變成一種形式主義。第四，一個(gè)人不可能只憑發(fā)現、研究去學(xué)習，沒(méi)有扎實(shí)的知識基礎，任何研究都是不現實(shí)的。
接受性學(xué)習也有其優(yōu)點(diǎn)與局限，其優(yōu)點(diǎn)表現為它可以使學(xué)生在相對短的時(shí)間內掌握大量的科學(xué)文化知識；有助于使學(xué)生掌握的知識達到系統化；有助于培養學(xué)生從書(shū)本中獲取知識的習慣和能力；另外接受性學(xué)習對教育設施的要求較低，成本低，經(jīng)濟易行。但接受性學(xué)習也有其缺陷：首先，對于低年級兒童，接受學(xué)習受到很大限制，因為他們對新知識的學(xué)習只依賴(lài)于自己的具體經(jīng)驗。中、高年級學(xué)生對于新知識的學(xué)習在一定程度上仍需要自己的具體經(jīng)驗為依據。因此小學(xué)階段的數學(xué)教學(xué)光靠接受性學(xué)習是不夠的；其次，接受性學(xué)習對培養學(xué)生的探究精神、創(chuàng )造精神，讓學(xué)生掌握科學(xué)探究方法等方面的作用明顯不如研究性學(xué)習。
綜上所述：接受性學(xué)習與研究性學(xué)習是相互制約、相互促進(jìn)的。沒(méi)有具備一定的知識基礎而進(jìn)行研究性學(xué)習，其效率必然是很低下的，學(xué)生只能盲目地、機械地進(jìn)行“試誤”式的研究。而有效的研究性學(xué)習賴(lài)以發(fā)生的知識基礎從何而來(lái)呢，可以來(lái)自接受性學(xué)習，也可以來(lái)自研究性學(xué)習，但主要的是來(lái)自接受性學(xué)習。另一方面，研究性學(xué)習也是促進(jìn)接受學(xué)習的一個(gè)重要條件，接受性學(xué)習在一定程度上需要具體經(jīng)驗作支柱，而研究性學(xué)習是學(xué)生通過(guò)自身體驗獲得具體經(jīng)驗的重要途徑，因此研究性學(xué)習又是接受性學(xué)習的基礎。再者，在研究學(xué)習中要運用過(guò)去所獲得的知識，包括接受學(xué)習中獲得知識，通過(guò)運用知識來(lái)解決問(wèn)題，而使知識及其運用策略得到鞏固并獲得新的理解。同時(shí)，研究性學(xué)習在使學(xué)生掌握科學(xué)發(fā)現，探究方法等方面具有獨特的功能，也是學(xué)生理解抽象的、概括性知識的必要途徑。顯然，這些作用都是接受性學(xué)習所不能替代的�？傊�，學(xué)校教學(xué)應以接受學(xué)習與研究學(xué)習并存，并隨教育層次的變化相應地有所變化。學(xué)生受教育的過(guò)程就是從接受走向研究的過(guò)程，小學(xué)數學(xué)教學(xué)也不例外。最重要的是，教師必須根據教育對象的特點(diǎn)、教學(xué)的材料等具體條件，選擇教學(xué)方式，只有真正適應學(xué)生學(xué)習的學(xué)習方式才是好方法。
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