自然數集擴充后的基數理論

摘　要:自然數集擴充后,其基數理論起了相應變化,定義與法則都需作調整以適應數學(xué)教學(xué)與應用的需要.

　　1994年11月國家技術(shù)監督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標準,物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數學(xué)符號》中,將自然數集記為

N={0,1,2,3,…}

而將原自然數集稱(chēng)為非零自然數集

N+(或N*)={1,2,3,…}.

　　自然數集擴充后,文[1]中的自然數的基數理論以及其他一些與自然數有關(guān)的理論問(wèn)題隨之起變化,這給數學(xué)教學(xué)與數學(xué)應用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數的基數理論討論如下.

1　對自然數的來(lái)源的認識

　　由于自然數的概念是建立在基數理論[1]之上的,基數是由集合對等而來(lái).最初人類(lèi)對物品的計數,是將物品與人的手指(腳趾)數形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒(méi)有”,“沒(méi)有”即可認為是空集,其計數應當是零.這就是說(shuō),零與非零自然數是人類(lèi)認識同步的客觀(guān)現象,而并非是6世紀才有零的概念.也許這就是將零補充到自然數集的緣由之一.事實(shí)上,國外許多文獻和專(zhuān)家早就主張將零作為第一個(gè)自然數.

2　自然數的新概念

　　自然數擴充后,包含了空集的基數,要去掉原有自然數定義中“非空”的限制條件,即定義1　有限集合的基數叫做自然數.根據對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f:

N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}

　　由此可見(jiàn),N與N+有相同的基數,即|N|=|N+|.

3　自然數的四則運算

　　自然數加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即

　　定義2　設有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作

　　a+b=c.

　　a和b叫做加數.求兩個(gè)數的和的運算叫做加法.

　　定義3　設有m(m>1)個(gè)相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數都是n.又設A=Umi=1Ai,A的基數記作

　　a,即有a=n+n+…+nm個(gè),這個(gè)a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱(chēng)為被乘數,m稱(chēng)為乘數.求兩個(gè)數積的運算叫做乘法.

　　對于數0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.

　　在上述定義里,加法、乘法的交換律、結合律,乘法對于加法的分配律仍然成立.

　　關(guān)于減法運算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即

　　定義4　設有有限集合A和B,B A,若記A-B=C,且A,B,C的基數分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作

　　a-b=c.

　　a叫做被減數,b叫做減數.求兩個(gè)數差的運算叫做減法.

　　除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定“除數非零”即可.

　　定義5　設a,b(b≠0)是兩個(gè)自然數,如果存在一個(gè)自然數c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作

　　ab=c,或a÷b=c.

　　a稱(chēng)為被除數,b稱(chēng)為除數.求兩個(gè)數商的運算叫做除法.

4　自然數的有關(guān)性質(zhì)

　　(1)自然數的有序性決定了自然數可以比較大小,即

　　定義6　如果兩個(gè)有限集合A,B的基數分別為a,b,那么

1°　當A A′,A′～B時(shí),a>b;
2°　當B′ B,A～B′時(shí),a<b;
3°　當A～B時(shí),a=b.

　　自然數有反身律:a=a;對稱(chēng)律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c.

　　自然數從小到大的排序為

　　0,1,2,3,….

　　(2)自然數的單調性反映了不等量關(guān)系中的運算性質(zhì),擴充后的自然數其單調性有了局部性改變,即

　　若a≥b,則

1°　a+c≥b+c;
2°　當c>0時(shí),ac≥bc,
當c=0時(shí),ac=bc.

　　對于與自然數有關(guān)的數學(xué)論證與原理,應隨自然數擴充后作相應調整.如數學(xué)歸納法證明的步驟應是

1°　驗證n=0時(shí),命題成立;
2°　假設n=k-1時(shí)成立,則n=k時(shí)命題成立.

　　自然數的其他理論[2],本文不再贅述.

　

參　　考　　文　　獻

1　麻紹芯.算術(shù)原理[M].武漢:湖北科學(xué)技術(shù)出版社,1993.

2　胡炳生.關(guān)于擴充自然數集的幾個(gè)理論問(wèn)題[J].數學(xué)通報,1998,(11):1～3
 

作者：劉緹仿(十堰教育學(xué)院科研處) 

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