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數學(xué)直覺(jué)思維的培養的論文
中學(xué)數學(xué)教學(xué)大綱(試驗修訂本)將培養學(xué)生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力"，雖然只是去掉兩個(gè)字，概念的內涵卻更加豐富，人們在教育的實(shí)踐中實(shí)現了認識上的轉變。在注重邏輯思維能力培養的同時(shí)，還應該注重觀(guān)察力、直覺(jué)力、想象力的培養。特別是直覺(jué)思維能力的培養由于長(cháng)期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習的過(guò)程中對數學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解，認為數學(xué)是枯燥乏味的；同時(shí)對數學(xué)的學(xué)習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學(xué)學(xué)習的興趣。過(guò)多的注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養直覺(jué)思維能力是社會(huì )發(fā)展的需要，是適應新時(shí)期社會(huì )對人才的需求。
一、數學(xué)直覺(jué)概念的界定
簡(jiǎn)單的說(shuō)，數學(xué)直覺(jué)是具有意識的人腦對數學(xué)對象(結構及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。
對于直覺(jué)作以下說(shuō)明：
(1)直覺(jué)與直觀(guān)、直感的區別
直觀(guān)與直感都是以真實(shí)的事物為對象，通過(guò)各種感覺(jué)器官直接獲得的感覺(jué)或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒(méi)有一個(gè)嚴格的證明，只是一種直觀(guān)形象的感知。而直覺(jué)的研究對象則是抽象的數學(xué)結構及其關(guān)系。龐加萊說(shuō)："直覺(jué)不必建立在感覺(jué)明白之上．感覺(jué)不久便會(huì )變的無(wú)能為力。例如，我們仍無(wú)法想象千角形，但我們能夠通過(guò)直覺(jué)一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來(lái)。"由此可見(jiàn)直覺(jué)是一種深層次的心理活動(dòng)，沒(méi)有具體的直觀(guān)形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說(shuō)："這些富有創(chuàng )造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個(gè)活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來(lái)，就是所謂#39;直覺(jué)#39;……，因為它適用的對象，一般說(shuō)來(lái)，在我們的感官世界中是看不見(jiàn)的。"
(2)直覺(jué)與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來(lái)看，思維可以分為邏輯思維和直覺(jué)思維。長(cháng)期以來(lái)人們刻意的把兩者分離開(kāi)來(lái)，其實(shí)這是一種誤解，邏輯思維與直覺(jué)思維從來(lái)就不是割離的。有一種觀(guān)點(diǎn)認為邏輯重于演繹，而直觀(guān)重于分析，從側重角度來(lái)看，此話(huà)不無(wú)道理，但側重并不等于完全，數學(xué)邏輯中是否會(huì )有直覺(jué)成分?數學(xué)直覺(jué)是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說(shuō)不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開(kāi)直覺(jué)，甚至可以說(shuō)直覺(jué)無(wú)時(shí)無(wú)刻不在起作用。數學(xué)也是對客觀(guān)世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺(jué)的體現，再以數學(xué)的形式將思考的理性過(guò)程格式化。數學(xué)最初的概念都是基于直覺(jué)，數學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展的，問(wèn)題解決也離不開(kāi)直覺(jué)，下面我們就以數學(xué)問(wèn)題的證明為例，來(lái)考察直覺(jué)在證明過(guò)程中所起的作用。
一個(gè)數學(xué)證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個(gè)成功的數學(xué)證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個(gè)成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道，一個(gè)個(gè)基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段，當一個(gè)成功的證明擺在我們面前開(kāi)始，邏輯可以幫助我們確信沿著(zhù)這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實(shí)上，出發(fā)不久就會(huì )遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問(wèn)題。龐加萊認為，即使能復寫(xiě)出一個(gè)成功的數學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學(xué)推理中的每一步，直覺(jué)力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球，要靠球感一樣，在快速運動(dòng)中來(lái)不及去作邏輯判斷，動(dòng)作只是下意識的，而下意識的動(dòng)作正是在平時(shí)訓練產(chǎn)生的一種直覺(jué)。
在教育過(guò)程中，老師由于把證明過(guò)程過(guò)分的嚴格化、程序化。學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼，直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺(jué)反而不覺(jué)得。學(xué)生的內在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)習的興趣沒(méi)有被調動(dòng)起來(lái)，得不到思維的真正樂(lè )趣�！吨袊嗄陥蟆吩鴪蟮�，"約30％的初中生學(xué)習了平面幾何推理之后，喪失了對數學(xué)學(xué)習的興趣"，這種現象應該引起數學(xué)教育者的重視與反思。
二、直覺(jué)思維的主要特點(diǎn)
直覺(jué)思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn)，從培養直覺(jué)思維的必要性來(lái)看，筆者以為直覺(jué)思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn)：
(1)簡(jiǎn)約性
直覺(jué)思維是對思維對象從整體上考察，調動(dòng)自己的全部知識經(jīng)驗，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(cháng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質(zhì)"。
(2)創(chuàng )造性
現代社會(huì )需要創(chuàng )造性的人才，我國的教材由于長(cháng)期以來(lái)借鑒國外的經(jīng)驗，過(guò)多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創(chuàng )造能力和開(kāi)拓精神。直覺(jué)思維是基于研究對象整體上的把握，不專(zhuān)意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認知結構向外無(wú)限擴展，因而具有反常規律的獨創(chuàng )性。
伊恩．斯圖加特說(shuō)："直覺(jué)是真正的數學(xué)家賴(lài)以生存的東西"，許多重大的發(fā)現都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設都是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現苯分了環(huán)狀結構更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。
(3)自信力
學(xué)生對數學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來(lái)自數學(xué)本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀(guān)點(diǎn)是，興趣更多來(lái)自數學(xué)本身。成功可以培養一個(gè)人的自信，直覺(jué)發(fā)現伴隨著(zhù)很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會(huì )產(chǎn)生一種強大的學(xué)習鉆研動(dòng)力，從而更加相信自己的能力。
高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題"1+2+ …… +99+100＝?"，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現在的中學(xué)生極少具有直覺(jué)意識，對有限的直覺(jué)也半信半疑，不能從整體上駕馭問(wèn)題，也就無(wú)法形成自信。
三、直覺(jué)思維的培養
一個(gè)人的數學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出："數學(xué)直覺(jué)是可以后天培養的，實(shí)際上每個(gè)人的數學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。"數學(xué)直覺(jué)是可以通過(guò)訓練提高的。
(!)扎實(shí)的基礎是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉
直覺(jué)不是靠"機遇"，直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識為基礎。若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì )進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說(shuō)："一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗．對此你就會(huì )產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺(jué)。"阿達瑪曾風(fēng)趣的說(shuō)："難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?"
(2)滲透數學(xué)的哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)及審美觀(guān)念
直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對研究對象整體的把握，而哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)包括數學(xué)中普遍存在的對立統一、運動(dòng)變化、相互轉化、對稱(chēng)性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使沒(méi)有學(xué)過(guò)完全平方公式，也可以運用對稱(chēng)的觀(guān)點(diǎn)判斷結論的真偽。
美感和美的意識是數學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養數學(xué)事物間所有存在著(zhù)的和諧關(guān)系及秩序的直覺(jué)意識，審美能力越強，則數學(xué)直覺(jué)能力也越強。狄拉克于1931年從數學(xué)對稱(chēng)的角度考慮，大膽的提出了反物質(zhì)的假說(shuō)，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說(shuō)，如果一個(gè)物理方程在數學(xué)上看上去不美，那么這個(gè)方程的正確性是可疑的。
(3)重視解題教學(xué)
教學(xué)中選擇適當的題目類(lèi)型，有利于培養，考察學(xué)生的直覺(jué)思維。
例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái)，省略解題過(guò)程，容許合理的猜想，有利于直覺(jué)思維的發(fā)展。實(shí)施開(kāi)放性問(wèn)題教學(xué)，也是培養直覺(jué)思維的有效方法。開(kāi)放性問(wèn)題的條件或結論不夠明確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺(jué)思維能力的培養。
(4)設置直覺(jué)思維的意境和動(dòng)機誘導
這就要求教師轉變教學(xué)觀(guān)念，把主動(dòng)權還給學(xué)生。對于學(xué)生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時(shí)給予鼓勵，愛(ài)護、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維，以免挫傷學(xué)生直覺(jué)思維的積極性和學(xué)生直覺(jué)思維的悟性。教師應及時(shí)因勢利導，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。
"跟著(zhù)感覺(jué)走"是教師經(jīng)常講的一句話(huà)，其實(shí)這句話(huà)里已蘊涵著(zhù)直覺(jué)思維的萌芽，只不過(guò)沒(méi)有把它上升為一種思維觀(guān)念。教師應該把直覺(jué)思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應的活動(dòng)策略，從整體上分析問(wèn)題的特征；重視數學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺(jué)觀(guān)念與思維能力的發(fā)展大有稗益。
四、結束語(yǔ)
直覺(jué)思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會(huì )制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話(huà)，"數學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。"受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學(xué)的魅力所在，也是數學(xué)教育者努力的方向。
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