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淺談數學(xué)正弦定理、余弦定理的應用
教學(xué)目標 知識目標：
(1)學(xué)生通過(guò)對任意三角形邊長(cháng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法;會(huì )運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。
(2)學(xué)生學(xué)會(huì )分析問(wèn)題，合理選用定理解決三角形綜合問(wèn)題。
能力目標：
培養學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨立解決問(wèn)題的能力，培養學(xué)生在方程思想指導下處理解三角形問(wèn)題的運算能力，培養學(xué)生合情推理探索數學(xué)規律的數學(xué)思維能力。
情感目標：
通過(guò)生活實(shí)例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學(xué)來(lái)源于生活，并應用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣,并體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值，在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。
教學(xué)方法 探究式教學(xué)、講練結合
重點(diǎn)難點(diǎn) 1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇;
2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。
教學(xué)策略 1、重視多種教學(xué)方法有效整合;
2、重視提出問(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導。
3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。
4、重視加強數學(xué)實(shí)踐能力的培養。
5、注意避免過(guò)于繁瑣的形式化訓練
6、教學(xué)過(guò)程體現“實(shí)踐→認識→實(shí)踐”。
設計意圖：
學(xué)生通過(guò)必修5的學(xué)習，對正弦定理、余弦定理的內容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實(shí)際問(wèn)題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉化從而解決三角形綜合問(wèn)題，學(xué)生還需通過(guò)復習提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個(gè)梳理，另一方面要通過(guò)整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會(huì )分析問(wèn)題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問(wèn)題和實(shí)際應用問(wèn)題。
數學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數學(xué)知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應體現以下教學(xué)思想：
�、胖匾暯虒W(xué)各環(huán)節的合理安排：
在生活實(shí)踐中提出問(wèn)題，再引導學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題對新知進(jìn)行探究，然后引導學(xué)生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續學(xué)習新知的欲望，使學(xué)生的知識結構呈一個(gè)螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認知規律。
�、浦匾暥喾N教學(xué)方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。
�、侵匾曁岢鰡�(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導。
�、戎匾暭訌娗昂笾R的密切聯(lián)系。對于新知識的探究,必須增加足夠的預備知識,做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進(jìn)行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué)習中有需要的知識選擇出來(lái)，在新知識介紹之前進(jìn)行復習。
�、勺⒁獗苊膺^(guò)于繁瑣的形式化訓練。從數學(xué)教學(xué)的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問(wèn)題，我們在教學(xué)過(guò)程中應該注意盡量避免這一類(lèi)問(wèn)題的出現。
二、實(shí)施教學(xué)過(guò)程
(一) 創(chuàng )設情境、揭示提出課題
引例：要測量南北兩岸A、B兩個(gè)建筑物之間的距離，在南岸選取相距A點(diǎn) km的C點(diǎn)，并通過(guò)經(jīng)緯儀測的 ，你能計算出A、B之間的距離嗎?若人在南岸要測量對岸B、D兩個(gè)建筑物之間的距離，該如何進(jìn)行?
(二) 復習回顧、知識梳理
1. 正弦定理：
正弦定理的變形：
(1)
(2) ; ;
利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題.
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)
2.余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
cosA= ;
cosB= ;
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：
(1)已知三邊，求三個(gè)角;
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.
3.三角形面積公式：
(三) 自主檢測、知識鞏固
1. ;
2.
3.
(四) 典例導航、知識拓展
【例1】 △ABC的三個(gè)內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b(b+c)，求證：A=2B.
剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b(b+c)中，得sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC
因為A、B、C為三角形的三內角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論：該題若用余弦定理如何解決?
【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內角A、B、C所對的邊，
(1) 若△ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值;
(2) 若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀。
(五) 變式訓練、歸納整理
【例3】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內角A、B、C所對的邊，若bcosC=(2a-c)cosB
(1) 求角B
(2) 設,求a+c的值。
剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問(wèn)題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問(wèn)題與例2類(lèi)似解決。
此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實(shí)物投影集體評價(jià)，再做歸納整理。
(解答略)
課時(shí)小結(由學(xué)生歸納總結，教師補充)
1. 解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理
2. 根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角;②化角為邊.并常用正余弦定理實(shí)施邊角轉化。
3. 用正余弦定理解三角形問(wèn)題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長(cháng)。
4. 應用問(wèn)題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數學(xué)模型解決問(wèn)題。
5. 正余弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實(shí)際問(wèn)題。
課后作業(yè)：
材料三級跳
創(chuàng )設情境，提出實(shí)際應用問(wèn)題，揭示課題
學(xué)生在探究問(wèn)題時(shí)發(fā)現是解三角形問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)答將知識作一梳理。
學(xué)生通過(guò)課前預熱1.2.3.的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧
學(xué)生探討
知識的關(guān)聯(lián)與拓展
正余弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )如何選擇定理進(jìn)行邊角互化。
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