淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的應用

淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的應用
摘要：本文在簡(jiǎn)單介紹圖像法的基礎上，從圖像法能形象直觀(guān)地描述物理量之間的關(guān)系，簡(jiǎn)化實(shí)驗和數據處理的方法，減小誤差、分析誤差的成因，便于實(shí)驗進(jìn)行深入分析推導出經(jīng)驗公式四個(gè)方面入手，并結合中學(xué)物理實(shí)驗中有特點(diǎn)的實(shí)例闡述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的應用。
　　關(guān)鍵詞：圖像法　斜率　截距　面積
　　物理是一門(mén)以實(shí)驗為基礎的學(xué)科。物理學(xué)所得出的定律，絕大多數是用實(shí)驗探索得出來(lái)的，也就是通過(guò)大量實(shí)驗來(lái)進(jìn)行觀(guān)察，實(shí)驗是學(xué)生接受物理知識最符合認識規律的方法，由于物理現象研究是非常復雜的，各種因素交織在一起，這就需要我們來(lái)簡(jiǎn)化實(shí)驗。在做物理實(shí)驗時(shí)，僅僅記下一些物理量的大小和實(shí)驗現象是不夠的，還需要將測得的數據進(jìn)行歸納整理，由表及里，去粗取精，運用數學(xué)工具，總結出物理規律，因此，學(xué)生經(jīng)常被一些繁難的運算和大大小小的實(shí)驗誤差所難倒，得不出正確的結論，還有些數據在實(shí)驗中無(wú)法直接測得，而圖像法能夠很好的解決這些方面的問(wèn)題。
　　1．圖像法簡(jiǎn)介
　　物理規律可以用文字來(lái)描述，也可以函數式來(lái)表示，還可以用圖像來(lái)描述。利用圖像描述物理規律，解決物理問(wèn)題的方法就稱(chēng)之為圖像法。圖像法通過(guò)圖像來(lái)確定物理量之間的關(guān)系，是一種科學(xué)探究的基本方法。
　　用圖像法來(lái)描述物理過(guò)程具有形象直觀(guān)的特點(diǎn)，可以清晰地描述出其變化的動(dòng)態(tài)特征，把物理量之間的相互依賴(lài)關(guān)系和線(xiàn)性關(guān)系、周期性等清晰地呈現出來(lái)，通過(guò)圖像的比較，學(xué)生能夠較容易的理解物理過(guò)程發(fā)現物理規律，這種直觀(guān)印象有時(shí)能透過(guò)事物的本質(zhì)，誘使人們做更深入的探討，利用圖像法思路清晰可以使得物理問(wèn)題簡(jiǎn)化明了，還能起到一般計算法所不能起到的作用，可以使物理概念得到進(jìn)一步拓展，而且圖像法能將物理學(xué)科和其它學(xué)科有機地結合起來(lái)，啟迪學(xué)生的創(chuàng )新意識，培養創(chuàng )造能力，提高學(xué)生的綜合能力。
　　當然圖像法也有一些不足之處，主要表現在下面幾個(gè)方面：
　�、賹W(xué)生容易搞不清楚縱軸和橫軸所代表的物理量，不能夠明確要描述的是哪兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。比如學(xué)生就有可能把簡(jiǎn)諧運動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的圖像認為是相同的。
　�、趯W(xué)生很容易誤解成圖線(xiàn)就是表示物體實(shí)際運動(dòng)的軌跡。如勻速直線(xiàn)運動(dòng)的S－T圖像是一條斜向上的直線(xiàn)，但物體實(shí)際運動(dòng)的軌跡可能是水平的，并不一定是向上爬坡的。
　�、墼诶�用圖像法的過(guò)程中，要求學(xué)生根據實(shí)際問(wèn)題靈活地建立坐標系，確定兩個(gè)合適的物理量來(lái)作出圖像。如果坐標軸所代表的物理量選擇的不合理，反而不能夠簡(jiǎn)化實(shí)驗。
　�、軐W(xué)生不能夠真正的從物理意義上去認識圖像，不能夠由圖像的形狀看出物理過(guò)程的特征，不能夠由截距、斜率、圖線(xiàn)所圍的面積、兩圖線(xiàn)交點(diǎn)等有特殊意義的方面看出其中隱含的物理意義。
　　我們可以從下列幾個(gè)方面來(lái)探討圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的應用。
　　2．形象直觀(guān)地反映各物理量之間的關(guān)系
　　圖像能夠把抽象復雜的物理規律有選擇地、具體地表現出來(lái)，形象直觀(guān)準確的反映物理量之間的關(guān)系，學(xué)生可以從圖像中方便地看出所求的物理量以及從實(shí)驗中得出的結論，從而揭示物理本質(zhì)或規律。
　　2．1 探究功與物體速度的變化關(guān)系
　　高中課本有探究功和物體速度變化關(guān)系這么一個(gè)實(shí)驗。實(shí)驗過(guò)程是這樣的：小車(chē)在橡皮筋的作用下彈出，沿木塊滑行，當我們用2條、3條……同樣的橡皮筋進(jìn)行第2次、第3次……實(shí)驗中橡皮筋對小車(chē)做的功就是第一次的2倍、3倍……如果把第一次實(shí)驗時(shí)橡皮筋的功記為，以后各次的功就是、……橡皮筋做功而使小車(chē)獲得的速度可以由紙帶和打點(diǎn)計時(shí)器測出［1］。以橡皮筋對小車(chē)做的功為縱坐標，小車(chē)獲得的速度為橫坐標，以第一次實(shí)驗時(shí)的功為單位，作出曲線(xiàn)圖（如圖所示），我們可以由所做出的曲線(xiàn)圖，直接判斷出。

　　2．2 從打點(diǎn)計時(shí)器打出的紙帶求出加速度
　　物體做勻變速直線(xiàn)運動(dòng)時(shí)，其加速度可以直接由圖像法確定，根據圖線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率就是加速度：。根據-圖線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率為，所以。根據--圖線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率為，所以（其中總是正整數，可以用圓規直接從紙帶上“移”過(guò)來(lái)。）
　　2．3 驗證牛頓第二定律
　　在驗證牛頓第二定律時(shí)，可以用兩種方法來(lái)進(jìn)行：一種是逐次增多拉小車(chē)鉤碼的個(gè)數，一種是保持小車(chē)和鉤碼的總質(zhì)量不變，改變拉小車(chē)鉤碼的個(gè)數。從實(shí)驗中得到的數據作出-圖線(xiàn)，很容易由圖中的一條直線(xiàn)，得出與的關(guān)系：∝。從理論上，實(shí)驗作出的a-F圖線(xiàn)是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，可實(shí)際實(shí)驗的結果，并非都是通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，而會(huì )出現以下兩種情況：如圖2所示，此直線(xiàn)與縱軸有截距，則表示平衡摩擦力過(guò)度了；如圖3所示，此直線(xiàn)與橫軸有截距，則表示在實(shí)驗過(guò)程中，沒(méi)有能足夠的平衡摩擦力。

　　3．簡(jiǎn)化實(shí)驗和數據處理的方法
　　利用圖像法可以讓學(xué)生較容易的抓住主要矛盾，排除干擾，不被過(guò)多的細小問(wèn)題搞昏了頭，在處理數據時(shí)不被復雜的數學(xué)運算所難倒。
　　3．1 驗證�！�馬定律實(shí)驗
　　我們在驗證�！�馬定律（常量）時(shí)，常用的方法是用一根一端封閉的粗細均勻的細長(cháng)玻璃管，并在管中封入一段水銀，我們改變壓在密封氣體上面的水銀的重力，測出相應的氣體體積，進(jìn)行若干次以得到數據：，（其中為大氣壓強，為水銀的重力，為玻璃管的內截面，為密封氣體的長(cháng)度）。得到數據再看是否有（常量），如有，則說(shuō)明�！�馬定律成立。但在學(xué)生實(shí)驗中存在一些問(wèn)題：學(xué)生的操作技能如何？能否確保安全？能否確保玻璃管垂直（又需附加器件）？是否有氣壓計，確保的測量準確，等等。所有這些都將給實(shí)驗帶來(lái)更多的要求和一定的困難。
　　是否可以利用圖像法呢？對此我們可以這樣分析：在實(shí)驗中我們要驗證（常量）也就是要驗證：即 （其中為封閉空氣柱的長(cháng)度，為空氣上方水銀柱的豎直高度）。對于不同的值，也有相應的變化。因此，可將看作是的函數，將上式變形得：（1）

　　由此可見(jiàn)，若成立，那么--圖線(xiàn)為一條直線(xiàn)，現在我們只能用實(shí)驗來(lái)驗證--是否為一條直線(xiàn)，這樣我們只要改變h就可以了，改變h的方法很簡(jiǎn)單，只要改變水銀柱的傾角，即改變玻璃管的傾角就可以了。
　　如圖4所示，將上式代入（1）可得：
　　即．因此，我們只要改變玻璃管的傾斜狀態(tài)，測出若干個(gè)狀態(tài)下的值和值，然后作出--圖線(xiàn)，如果--圖線(xiàn)為一直線(xiàn)，那么即可認為成立，由此可見(jiàn)，采用圖像法之后，這一實(shí)驗的實(shí)驗方法和數據處理方法就簡(jiǎn)單多了。在這一實(shí)驗中，如果沒(méi)有氣壓計測出準確的大氣壓（沒(méi)有測出玻璃管的內截面積）也不影響實(shí)驗的進(jìn)行，而對于前一種方法是辦不到的［2］。
　　3．2 測量單擺的周期
　　在測量單擺的周期時(shí)，我們需要測量單擺的擺長(cháng)，而單擺的擺長(cháng)應該是擺的懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離�？墒窃趯�(shí)驗中能夠精確測量的是懸線(xiàn)的長(cháng)度，而不是擺長(cháng)，因為小球質(zhì)心的位置受小球制造時(shí)的各種因素的影響，無(wú)法精確地測量。把改寫(xiě)成 （圖5a所示）或，（圖5b所示），則單擺的周期與擺長(cháng)的關(guān)系變成：

　　或
　　這樣，測出不同的下的值，作出--圖線(xiàn)，由直線(xiàn)的截距即可定出不易測出的值。
　　單擺的周期與擺長(cháng)的關(guān)系為：
　　上式在擺角θ很小，可認為的條件下成立，但是實(shí)際測量時(shí)擺角有一定數值，測得的不是，而是：
　　
　　該式是取二級近似地單擺周期表達式，因為與成線(xiàn)性關(guān)系，所以只要測出不同擺角時(shí)的周期，并以周期為縱軸，為橫軸，作出--圖線(xiàn)，再進(jìn)行線(xiàn)性外推，當時(shí)，即可獲得截距，即擺角為零時(shí)的單擺周期［3］。
　　4．減少隨機誤差，幫助發(fā)現和分析誤差
　　在作圖描點(diǎn)的過(guò)程中，根據不同情況把數據點(diǎn)連成光滑的直線(xiàn)或曲線(xiàn)。由于測量存在一定的誤差，所以曲線(xiàn)不一定要通過(guò)所有的點(diǎn)，而是要求數據點(diǎn)均勻的分布在曲線(xiàn)兩旁，這相當于在數據處理過(guò)程中取平均值，若個(gè)別點(diǎn)偏差過(guò)大，應仔細分析后決定是否舍去。在這一過(guò)程中，偶然的因素被大大的降低了。
　　4．1 伏特表-安培表測和的實(shí)驗
　　伏安法測電池的電動(dòng)勢和內阻實(shí)驗通常有兩種方法：內接法和外接法（如圖6）。為了減少偶然誤差，可采用圖像法處理數據：不斷改變變阻器的阻值，從伏特表、安培表上讀取多組路端電壓和電源的電流的值，然后根據多組、值畫(huà)出電源的圖像，根據閉合電路的歐姆定律，由于和都是常量，所以是的一次函數，這個(gè)圖像應該是一條直線(xiàn)，由于實(shí)驗誤差，根據實(shí)測數據作出的點(diǎn)不會(huì )嚴格地落在同一條直線(xiàn)上，我們用直尺畫(huà)一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩側的點(diǎn)子大致相等，這條直線(xiàn)就能代表電壓-電流關(guān)系［4］（如圖7中的直線(xiàn)AB和圖8中的直線(xiàn)PM）。圖線(xiàn)與縱軸的交點(diǎn)，電流，代表電路斷開(kāi)的情況，這時(shí)，電壓等于電源電動(dòng)勢，即圖線(xiàn)在縱軸上的截距就是電源的電動(dòng)勢，圖線(xiàn)與橫軸的交點(diǎn)，電壓，代表電源兩端短路，由短路電流與內阻、電動(dòng)勢的關(guān)系可知—圖線(xiàn)的斜率就是電池的內阻。
   
　　圖6（a）電路誤差來(lái)源于伏特表的分流。在路端電壓中，必須是流過(guò)電源的電流，由于電壓表不是理想電表，導致電源電流的測量值（即安培表的示數）比真實(shí)值偏小，存在，其中為伏特表的內阻。①對于任意一個(gè)值，總有，其差值隨U的減小而減��；②當趨于時(shí)，即外電路短路時(shí)，，此時(shí)。畫(huà)出電源真實(shí)的--圖線(xiàn)（如圖6中直線(xiàn)AC所示，兩圖線(xiàn)在A(yíng)點(diǎn)相交）。比較直線(xiàn)AB和AC縱軸截距和圖線(xiàn)斜率，不難看出，。
　　圖6（b）電路誤差來(lái)源于安培表的分壓，由于安培表不是理想電表，致使路端電壓的測量值（即伏特表的示數）總比真實(shí)值偏小，其間差值，其中為安培表的內阻。①對于任意一個(gè)值，總有，其差值隨電源電流的減小而減��；②當外電路斷路即時(shí)，，。根據以上特點(diǎn)畫(huà)出電池的--圖線(xiàn)（如圖8所示的直線(xiàn)NP，兩圖線(xiàn)相交于P點(diǎn)）。比較直線(xiàn)MP和NP 縱軸截距和斜率，顯然， ［5］。
　　4．2 用伏特表、電阻箱測和的實(shí)驗
　　如圖9所示，把伏特表、電阻箱組成電路，由閉合電路的歐姆定律：，變形為，可見(jiàn)與外電路電阻（即電阻箱的取值）的倒數存在線(xiàn)形關(guān)系。不斷改變電阻箱的取值，測出多組、值，然后作出-圖線(xiàn)（見(jiàn)圖10中的直線(xiàn)①）。把直線(xiàn)延長(cháng)，與兩坐標軸相交，那么圖像在縱軸上的截距的倒數就是電池的電動(dòng)勢，在橫軸上截距的倒數的絕對值就是電池的內阻。本實(shí)驗方案中誤差來(lái)源與伏特表內阻不是無(wú)窮大，導致外電阻的測量值（電阻箱讀數）的倒數總比真實(shí)值的倒數偏��；其間的差值（）恒為一個(gè)定值（）。根據以上特點(diǎn)，畫(huà)出電池真實(shí)的--圖線(xiàn)（如圖10中的直線(xiàn)②，兩直線(xiàn)平行）。比較圖10中的直線(xiàn)①②的縱、橫軸的截距，不難看出，，即，。

　　5．根據變化趨勢，建立經(jīng)驗公式
　　圖像能直觀(guān)地顯示相應的物理量之間的相互關(guān)系和變化規律，反映一定的物理原理，圖像不僅反應了物理量在若干個(gè)特定條件下的數值和狀態(tài)，而且可以反應物理量在一般條件下的數值和狀態(tài)。因此，我們可以由若干個(gè)特定條件下得到的狀態(tài)下得到的數據，繪出圖像，并由此拓展分析，得到更多的實(shí)驗結論，導出經(jīng)驗公式，或者得到我們實(shí)驗無(wú)法得到的數據。

　　在用電流表和電壓表測電池的電動(dòng)勢和內電阻的實(shí)驗中，通常按圖11所示的電路，利用變阻器R測出幾組，值后，在坐標紙上以為橫坐標，為縱坐標，畫(huà)出關(guān)系圖像（如圖12所示），并由此圖像得到電池的電動(dòng)勢和電阻。根據圖12，顯然有，，如果對圖12進(jìn)一步分析，我們還能得到下述四個(gè)方面有意義的推論：
　　5．1 反比問(wèn)題
　　從圖線(xiàn)的斜率為負可見(jiàn)：外電壓U隨著(zhù)電流I的增大而減小，或隨著(zhù)電阻R的減小而減小，也就是說(shuō)，電源的負載越大，電源的輸出電壓越小，輸出電流越大。
　　5．2 功率問(wèn)題
　　有研究電源輸出功率與外負載的關(guān)系的實(shí)驗，此實(shí)驗的目的是驗證：當外負載電阻等于電源內阻時(shí)，電源的輸出功率最大。當電源的輸出功率最大時(shí)，電源的效率為50%，根據測得的不同的、的數據，依次算出，得到與外負載的關(guān)系［6］，利用圖像不需要計算，只要從圖線(xiàn)上就可得出。
　　圖線(xiàn)上的某一點(diǎn)，它的坐標是（，）。由此可得，當外電阻為時(shí)，它所獲得的電功率（即電源的輸出功率）為：�？梢�(jiàn)，的大小等于A(yíng)點(diǎn)與坐標軸所構成的矩形的面積的大�。ㄈ鐖D13所示）。何時(shí)電源的輸出功率最大呢？當時(shí)，，當，�？梢�(jiàn)，當電壓（或電流）最大時(shí)，輸出功率并不是最大，反而是最小。由圖13可見(jiàn)，要求電源的最大輸出功率，即要求三角形中內接矩形的面積最大。

　　由平面幾何的知識可知：當，時(shí)，內接矩形的面積最大，其值為：，此時(shí)，由全電路的歐姆定律很容易得，即當時(shí)，電源的輸出功率最大。
　　5．3 效率問(wèn)題
　　對于任意一個(gè)狀態(tài)，外電阻為，電流為，輸出電壓為，那么，顯然，電源的總功率為：；其輸出功率（有用功）為：；其電源本身消耗的功率（無(wú)用功）為：。反映在圖像上（如圖13所示）即：的大小可由矩形的面積大小來(lái)表示，的大小可由矩形的面積大小來(lái)表示，的大小可由矩形ε的面積大小來(lái)表示。由此，即可得其效率為：
　　，
　　由此，利用圖線(xiàn)，讀出、的數值后極易求得其效率，從上面的分析，我們得到以下結論：
　�、�；
　�、诋�，即時(shí)，其效率并非最大，而僅是%
　　5．4 充電問(wèn)題
　　　　
　　如果將圖線(xiàn)向第二象限延伸，對于圖線(xiàn)上某一點(diǎn)B來(lái)說(shuō)（如圖15），它的坐標為（，），其中，，這種情況相當于（如圖16）利用電源（，）給電池（，）充電，從圖15可見(jiàn)：①加在電池（，）兩端的電壓越高，流過(guò)電池（，）的電流就越大；②電池的輸出功率為：，其大小可由矩形的面積的大小來(lái)表示，其中（如圖17所示）的面積為，即為轉化為電池（ε，r）化學(xué)能的功率，而的面積為，即為電池內阻r所消耗的功率［7］。
　　6．結束語(yǔ)
　　以上用實(shí)例論述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的諸多應用，當然圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗中的應用遠不止這些，我們也可以從圖像的另一個(gè)角度，來(lái)探討圖像法在實(shí)驗過(guò)程中的應用。
　　從圖像的四個(gè)層次來(lái)看它的應用：
　　“點(diǎn)”：物理圖像上的“點(diǎn)”代表某一物理狀態(tài)。從“點(diǎn)”著(zhù)手分析時(shí)應注意從以下幾個(gè)特殊“點(diǎn)”入手分析其物理意義：截距點(diǎn)、交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等等。
　　“線(xiàn)”：主要指圖像的直線(xiàn)或曲線(xiàn)的切線(xiàn)，其斜率通常具有明確的物理意義。物理圖像的斜率代表兩個(gè)物理量之比值，其大小往往代表另一物理量的值。
　　“面”：圖線(xiàn)與坐標軸所圍的面積，有些物理圖像的圖線(xiàn)與坐標軸所圍的面積的值常代表另一物理量的大�。�8］。
　　“形”：圖像的形狀結合其斜率找出其中隱藏的物理意義。
　　我們在強調應用圖像法解決實(shí)驗中的問(wèn)題，并非削弱其它方法的應用。在解決問(wèn)題的過(guò)程中應提倡其它方法和圖像法的有機結合，這是因為它們都可以用來(lái)描述物理變化的規律，各種形式之間是可以相互補充相互轉化的［9］�？傊�，圖像法是解決物理實(shí)驗問(wèn)題的一種重要手段。
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