數學(xué)概念教學(xué)初探
一、 數學(xué)概念的特點(diǎn)和學(xué)習意義數學(xué)概念是反映一類(lèi)對象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的是這一類(lèi)對象的本質(zhì)屬性，即這類(lèi)對象的內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類(lèi)對象是現實(shí)世界的數量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系，僅被抽取出量的關(guān)系和形式構造。在某種程度上表現為對原始對象具體內容的相對獨立性。
數學(xué)概念又具有抽象與具體的雙重性。數學(xué)概念既然代表了一類(lèi)對象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現實(shí)世界中沒(méi)見(jiàn)過(guò)抽象的矩形，而只能見(jiàn)到形形色色的具體的矩形。從這個(gè)意義上說(shuō)，數學(xué)概念“脫離”了現實(shí)。由于數學(xué)中使用了形式化、符號化的語(yǔ)言，是數學(xué)概念離現實(shí)更遠，即抽象程度更高。但同時(shí)，正因為抽象程度愈高，與現實(shí)的原始對象聯(lián)系愈弱，才使得數學(xué)概念應用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內容。且數學(xué)概念是數學(xué)命題、數學(xué)推理的基礎部分，就整個(gè)數學(xué)體系而言，概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以它既是臭抽象的又是具體的。
數學(xué)概念還具有邏輯聯(lián)系性。數學(xué)中大多數概念都是在原始概念（原名）的基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語(yǔ)言或符號的形式使之固定。其他學(xué)科均沒(méi)有數學(xué)中諸概念那樣具有如此精確的內涵和如此豐富、嚴謹的邏輯聯(lián)系。
數學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數學(xué)中至關(guān)重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數學(xué)的基礎,學(xué)好概念是學(xué)好數學(xué)最重要的一環(huán)。一些學(xué)生數學(xué)之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學(xué)的學(xué)生,數學(xué)素養差的關(guān)鍵是在對數學(xué)概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)是提高中學(xué)數學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。教學(xué)過(guò)程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學(xué)的契機，以提高大多數學(xué)生的數學(xué)素養是完全可以做到的，同時(shí)，數學(xué)素養的提高也為學(xué)生的各項能力和素質(zhì)的培養提供了有利條件以及必要保障。
從平常數學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來(lái)看，學(xué)生往往會(huì )出現兩種傾向，其一是有的學(xué)生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學(xué)生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解,只有機械的、零碎的認識。這樣久而久之，從而嚴重影響對數學(xué)基礎知識和基本技能的掌握和運用。比如有的同學(xué)在解題中得到異面直線(xiàn)的夾角為鈍角，有的同學(xué)認為函數與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn),這些錯誤都是由于學(xué)生對概念認識模糊造成的。只有真正掌握了數學(xué)中的基本概念，我們才能把握數學(xué)的知識系統，才能有正確、合理、迅速地進(jìn)行運算，論證和空間想象。從一定意義上說(shuō)，數學(xué)水平的高低，取決于對數學(xué)概念掌握的程度。
二．數學(xué)概念的教學(xué)形式
1．注重概念的本源、概念產(chǎn)生的基礎，體驗數學(xué)概念形成過(guò)程
每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學(xué)生一連串的概念是傳統教學(xué)模式中司空見(jiàn)慣的做法，這種做法常常使學(xué)生感到茫然，丟掉了培養學(xué)生概括能力的極好機會(huì )。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規定性，傳統教學(xué)中往往比較重視培養思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學(xué)生“占有”新概念，使學(xué)生處于被動(dòng)地位，使思維呈依賴(lài)，這不利于創(chuàng )新型人才的培養�！皩W(xué)習最好的途徑是自己去發(fā)現”。學(xué)生如能在教師創(chuàng )設的情景中像數學(xué)家那樣去“想數學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現、創(chuàng )新的過(guò)程，那么在獲得概念的同時(shí)還能培養他們的創(chuàng )造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)數學(xué)教學(xué)中起著(zhù)舉足輕重的作用，我們應重視在數學(xué)概念教學(xué)中培養學(xué)生的創(chuàng )造性思維。引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時(shí)教師要鼓勵學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗與事實(shí)的推測性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)家發(fā)現新概念的最初階段。牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現。
”猜想作為數學(xué)想象表現形式的最高層次，屬于創(chuàng )造性想象，是推動(dòng)數學(xué)發(fā)展的強大動(dòng)力，因此，在概念引入時(shí)培養學(xué)生敢于猜想的習慣，是形成數學(xué)直覺(jué)，發(fā)展數學(xué)思維，獲得數學(xué)發(fā)現的基本素質(zhì)，也是培養創(chuàng )造性思維的重要因素。 比如，在立體幾何中異面直線(xiàn)距離的概念，傳統的方法是給出異面直線(xiàn)公垂線(xiàn)的概念，然后指出兩垂足間的線(xiàn)段長(cháng)就叫做兩條異面直線(xiàn)的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念，如兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，兩平行線(xiàn)之間的距離，引導學(xué)生思考這些距離有什么特點(diǎn)，發(fā)現共同的特點(diǎn)是最短與垂直。然后，啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線(xiàn)上是否也存在這樣的兩點(diǎn)，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經(jīng)過(guò)共同探索，得出如果這兩點(diǎn)的連線(xiàn)段和兩條異面直線(xiàn)都垂直，則其長(cháng)是最短的，并通過(guò)實(shí)物模型演示確認這樣的線(xiàn)段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線(xiàn)距離的概念。這樣做，不僅使學(xué)生得到了概括能力的訓練，還嘗到了數學(xué)發(fā)現的滋味，認識到距離這個(gè)概念的本質(zhì)屬性。
2．挖掘概念的內涵與外延，理解概念
新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程：
（1）用直角三角形邊長(cháng)的比刻畫(huà)的銳角三角函數的定義；
（2）用點(diǎn)的坐標表示的銳角三角函數的定義；
（3）任意角的三角函數的定義。由此概念衍生出：○1、三角函數的值在各個(gè)象限的符號；○2、三角函數線(xiàn)； ○3、同角三角函數的基本關(guān)系式； ○4、三角函數的圖象與性質(zhì)；○5、三角函數的誘導公式等�？梢�(jiàn)，三角函數的定義在三角函數教學(xué)中可謂重中之重，是整個(gè)三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內容并起著(zhù)關(guān)鍵作用�！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內涵與外延，有利于學(xué)生理解概念。
3．尋找新舊概念之間聯(lián)系，掌握概念
數學(xué)中有許多概念都有著(zhù)密切的聯(lián)系，如平行線(xiàn)段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數等等，在教學(xué)中應善于尋找，分析其聯(lián)系與區別，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如，函數概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，其中的對應關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值，與唯一確定的函數值對應起來(lái)；另一種高中給出的定義，是從集合、對應的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，其中的對應關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素與象集合中唯一確定的元素對應起來(lái)。從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，而函數是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數學(xué)模型，函數可用圖象、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數，抓住了函數的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關(guān)系本質(zhì)也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以?xún)煞N函數的定義，本質(zhì)是一致的。當然，對于函數概念真正的認識和理解是不容易的，要經(jīng)歷一個(gè)多次接觸的較長(cháng)的過(guò)程。
4．運用數學(xué)概念解決問(wèn)題，鞏固概念
數學(xué)概念形成之后，通過(guò)具體例子，說(shuō)明概念的內涵，認識概念的“原型”，引導學(xué)生利用概念解決數學(xué)問(wèn)題和發(fā)現概念在解決問(wèn)題中的作用，是數學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節，此環(huán)節操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對數學(xué)概念的鞏固，以及解題能力的形成。例如，當我們學(xué)習完“向量的坐標”這一概念之后，進(jìn)行向量的坐標運算，提出問(wèn)題：已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標分別是 、 、 試求頂點(diǎn) 的坐標。學(xué)生展開(kāi)充分的討論，不少學(xué)生運用平面解析幾何中學(xué)過(guò)的知識（如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線(xiàn)方程、中點(diǎn)坐標公式等），結合平行四邊形的性質(zhì)，提出了各種不同的解法，有的學(xué)生應用共線(xiàn)向量的概念給出了解法，還有一些學(xué)生運用所學(xué)過(guò)向量坐標的概念，把點(diǎn)的坐標和向量的坐標聯(lián)系起來(lái)，巧妙地解答了這一問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)對問(wèn)題的思考，盡快地投入到新概念的探索中去，從而激發(fā)了學(xué)生的好奇以及探索和創(chuàng )造的欲望，使學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內心的體驗和創(chuàng )造。除此之外，教師通過(guò)反例、錯解等進(jìn)行辨析，也有利于學(xué)生鞏固概念。
總之，要做好數學(xué)概念的教學(xué)，使學(xué)生透徹地牢固地掌握數學(xué)概念是提高數學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在，作為一個(gè)數學(xué)教師首先應該認識到數學(xué)概念教學(xué)同加強數學(xué)基礎知識教學(xué)，培養學(xué)生運用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及發(fā)展學(xué)生邏輯思維和空間想象能力的關(guān)系，在思想上重視它，這樣使我們在教學(xué)時(shí)會(huì )目的明確，方法對頭，既不會(huì )造成為概念而教學(xué)，也不會(huì )在數學(xué)教學(xué)時(shí)顧此失彼。
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