2017大學(xué)數學(xué)論文范文
由于特殊函數是數學(xué)分析中的一種重要工具，因此特殊函數的學(xué)習及應用非常重要。但是特殊函數往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。下面是小編整理的關(guān)于幾類(lèi)特殊函數的性質(zhì)及應用的數學(xué)論文范文，歡迎大家閱讀。
幾類(lèi)特殊函數的性質(zhì)及應用
【摘要】本文將對數學(xué)分析中特殊函數，諸如伽瑪函數、貝塔函數貝塞爾函數等超幾何數列函數，具有特殊的性質(zhì)和特點(diǎn)，在現實(shí)中得到大量的運用的函數。本文主要以簡(jiǎn)單介紹以上三種特殊函數性質(zhì)，及其在其它領(lǐng)域的應用，諸如利用特殊函數求積分，利用特殊函數解相關(guān)物理學(xué)問(wèn)題。本文首先以回顧學(xué)習幾類(lèi)常見(jiàn)特殊函數概念、性質(zhì)，從而加深讀者理解，然后以相關(guān)實(shí)例進(jìn)行具體分析，從而達到靈活應用的目的。
【關(guān)鍵詞】特殊函數;性質(zhì);應用;伽馬函數;貝塔函數;貝塞爾函數;積分
1.引言
特殊函數是指一些具有特定性質(zhì)的函數，一般有約定俗成的名稱(chēng)和記號，例如伽瑪函數、貝塔函數、貝塞爾函數等。它們在數學(xué)分析、泛函分析、物理研究、工程應用中有著(zhù)舉足輕重的地位。許多特殊函數是微分方程的解或基本函數的積分，因此積分表中常常會(huì )出現特殊函數，特殊函數的定義中也經(jīng)常會(huì )出現積分。傳統上對特殊函數的分析主要基于對其的數值展開(kāi)基礎上。隨著(zhù)電子計算的發(fā)展，這個(gè)領(lǐng)域內開(kāi)創(chuàng )了新的研究方法。
由于特殊函數是數學(xué)分析中的一種重要工具，因此特殊函數的學(xué)習及應用非常重要。本文歸納出特殊函數性質(zhì)、利用特殊函數在求積分運算中的應用、特殊函數在物理學(xué)科方面的應用，利用Matlab軟件畫(huà)出一些特殊函數的圖形，主要包含內容有：定義性質(zhì)學(xué)習，作積分運算，物理知識中的應用，并結合具體例題進(jìn)行了詳細的探究和證明。
特殊函數定義及性質(zhì)證明
特殊函數學(xué)習是數學(xué)分析的一大難點(diǎn),又是一大重點(diǎn),求特殊函數包含很多知識點(diǎn),有很多技巧,教學(xué)中可引導學(xué)生以探究學(xué)習的方式進(jìn)行歸納、總結;一方面可提高學(xué)生求函數極限的技能、技巧;另一方面也可培養學(xué)生的觀(guān)察、分析、歸類(lèi)的能力,對學(xué)生的學(xué)習、思考習慣,很有益處。
特殊函數性質(zhì)學(xué)習及其相關(guān)計算，由于題型多變，方法多樣，技巧性強，加上無(wú)固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個(gè)問(wèn)題的途徑主要在于熟練掌握特殊函數的特性和一些基本方法。下面結合具體例題來(lái)探究特殊函數相關(guān)性質(zhì)及應用。
2.伽馬函數的性質(zhì)及應用
2.1.1伽馬函數的定義：
伽馬函數通常定義是：這個(gè)定義只適用于的區域，因為這是積分在t=0處收斂的條件。已知函數的定義域是區間，下面討論Г函數的兩個(gè)性質(zhì)。
2.1.2Г函數在區間連續。
事實(shí)上，已知假積分與無(wú)窮積分都收斂，則無(wú)窮積分在區間一致收斂。而被積函數在區間D連續。Г函數在區間連續。于是，Г函數在點(diǎn)z連續。因為z是區間任意一點(diǎn)，所以Г函數在區間連續。
2.1.3，伽馬函數的遞推公式
此關(guān)系可由原定義式換部積分法證明如下：
這說(shuō)明在z為正整數n時(shí)，就是階乘。
由公式(4)看出是一半純函數，在有限區域內的奇點(diǎn)都是一階極點(diǎn)，極點(diǎn)為z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函數求積分
2.2貝塔函數的性質(zhì)及應用
2.2.1貝塔函數的定義：
函數稱(chēng)為B函數(貝塔函數)。
已知的定義域是區域，下面討論的三個(gè)性質(zhì)：
貝塔函數的性質(zhì)
2.2.2對稱(chēng)性：=。事實(shí)上，設有
2.2.3遞推公式：，有事實(shí)上，由分部積分公式，，有
即
由對稱(chēng)性，
特別地，逐次應用遞推公式，有
而，即
當時(shí)，有
此公式表明，盡管B函數與Г函數的定義在形式上沒(méi)有關(guān)系，但它們之間卻有著(zhù)內在的聯(lián)系。這個(gè)公式可推廣為
2.2.4
由上式得以下幾個(gè)簡(jiǎn)單公式：
2.2.5用貝塔函數求積分
例2.2.1
解：設有
(因是偶函數)
例2.2.2貝塔函數在重積分中的應用
計算，其中是由及這三條直線(xiàn)所圍成的閉區域，
解：作變換且這個(gè)變換將區域映照成正方形：。于是
通過(guò)在計算過(guò)程中使用函數，使得用一般方法求原函數較難的問(wèn)題得以輕松解決。
2.3貝塞爾函數的性質(zhì)及應用
2.3.1貝塞爾函數的定義
貝塞爾函數：二階系數線(xiàn)性常微分方程稱(chēng)為λ階的貝塞爾方程，其中y是x的未知函數，λ是任一實(shí)數。
2.3.2貝塞爾函數的遞推公式
在式(5)、(6)中消去則得式3，消去則得式4
特別，當n為整數時(shí)，由式(3)和(4)得：
以此類(lèi)推，可知當n為正整數時(shí)，可由和表示。
又因為
以此類(lèi)推，可知也可用和表示。所以當n為整數時(shí)，和都可由和表示。
2.3.3為半奇數貝塞爾函數是初等函數
證：由Г函數的性質(zhì)知
由遞推公式知
一般，有
其中表示n個(gè)算符的連續作用，例如
由以上關(guān)系可見(jiàn)，半奇數階的貝塞爾函數(n為正整數)都是初等函數。
2.3.4貝塞爾函數在物理學(xué)科的應用：
頻譜有限函數新的快速收斂的取樣定理，.根據具體問(wèn)題，利用卷積的方法還可以調節收斂速度，達到預期效果，并且計算亦不太復雜。由一個(gè)函數的離散取樣值重建該函數的取樣定理是通信技術(shù)中必不可少的工具，令
稱(chēng)為的Fourier變換。它的逆變換是
若存在一個(gè)正數b，當是b頻譜有限的。對于此類(lèi)函數，只要取樣間隔，則有離散取樣值(這里z表示一切整數：0,)可以重建函數，
這就是Shannon取樣定理。Shannon取樣定理中的母函數是
由于Shannon取樣定理收斂速度不夠快，若當這時(shí)允許的最大取樣間隔特征函數Fourier變換：
以下取樣方法把貝塞爾函數引進(jìn)取樣定理，其特點(diǎn)是收斂速度快，且可根據實(shí)際問(wèn)題調節收斂速度，這樣就可以由不太多的取樣值較為精確地確定函數。
首先建立取樣定理
設：
其中是零階貝塞爾函數。構造函數：
令
經(jīng)計算：
利用分部積分法，并考慮到所以的Fourier變換。
通過(guò)函數卷積法，可加快收斂速度，使依據具體問(wèn)題，適當選取N，以達到預期效果，此種可調節的取樣定理，計算量沒(méi)有增加很多。�。�
類(lèi)似地
經(jīng)計算：
經(jīng)計算得：
則有：設是的Fourier變換，
記則由離散取樣值
因為，故該取樣定理收斂速度加快是不言而喻的，通過(guò)比較得，計算量并沒(méi)有加大，而且N可控制收斂速度。
例2.4，利用
引理：當
當
因為不能用初等函數表示，所以在求定積分的值時(shí)，牛頓-萊布尼茨公式不能使用，故使用如下計算公式
首先證明函數滿(mǎn)足狄利克雷充分條件，在區間上傅立葉級數展開(kāi)式為：
(1)
其中
函數的冪級數展開(kāi)式為：
則關(guān)于冪級數展開(kāi)式為： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由階修正貝塞爾函數
其中函數，且當為正整數時(shí)，取，則(3)可化為
(4)
通過(guò)(1)(4)比較系數得
又由被積函數為偶函數，所以
公式得證。
3.結束語(yǔ)
本文是關(guān)于特殊函數性質(zhì)學(xué)習及其相關(guān)計算的探討，通過(guò)對特殊函數性質(zhì)的學(xué)習及其相關(guān)計算的歸納可以更好的掌握特殊函數在日常學(xué)習中遇到相關(guān)交叉學(xué)科時(shí)應用，并且針對不同的實(shí)例能夠應用不同的特殊函數相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明、計算，從而更加簡(jiǎn)潔，更加合理的利用特殊函數求解相關(guān)問(wèn)題。有些特殊函數的應用不是固定的，它可以通過(guò)不止一種方法來(lái)證明和計算，解題時(shí)應通過(guò)觀(guān)察題目結構和類(lèi)型，選用一種最簡(jiǎn)捷的方法來(lái)解題。
參考文獻：
[1] 王竹溪.特殊函數概論[M].北京大學(xué)出版社，2000.5，90-91.
[2] 劉玉璉.數學(xué)分析講義(下冊)[M].高等教育出版社，2003，331.
[3] 劉玉璉.數學(xué)分析講義(下冊)[M].高等教育出版社，2003，331.
[4]王坤.貝塔函數在積分計算中的應用.[J]科技信息，2012(34)
[5] 王紀林.特殊函數與數學(xué)物理方程[M].上海交通大學(xué)出版社，2000，96-98.
[6] 陶天方.由特殊函數表達的快速取樣定理 [J]. 上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1997,8(4):368-371.
[7]饒從軍，王成.讓數學(xué)建�；顒�(dòng)促進(jìn)數學(xué)教學(xué)改革[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004，2.
[8]趙宜賓.一類(lèi)特殊函數定積分的求解[J].防災技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報,2010,1(3):38-39.
[9]董林.降次公式的探究—兼論一個(gè)猜想的證明[J].教學(xué)通報，1992.2.
[10] 李德新.利用對稱(chēng)原理計算定積分的三種方法[J].高等數學(xué)研究，2004，7(6)：41—42.
[11]翟忠信，龔東山.高等數學(xué)的教與學(xué)[J].高等理科教育，2004(6)：29—34.
[12]胡淑榮. 函數及應用[J]. 哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報.2002,18(4):12~15.
【大學(xué)數學(xué)論文】相關(guān)文章：
大學(xué)數學(xué)論文開(kāi)題報告12-08
大學(xué)數學(xué)論文范文03-03
數學(xué)論文的格式11-18
撰寫(xiě)數學(xué)論文忌諱12-09
數學(xué)論文范文03-08
關(guān)于數學(xué)論文選題12-09
關(guān)于數學(xué)論文文風(fēng)12-09
中學(xué)數學(xué)論文開(kāi)題報告12-09
- 大學(xué)數學(xué)論文 推薦度：
- 相關(guān)推薦