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小學(xué)奧數數論知識講解：奇數偶數與奇偶性分析
【奇數和偶數】
例1 用l、2、3、4、5這五個(gè)數兩兩相乘，可以得到10個(gè)不同的乘積。問(wèn)乘積中是偶數多還是奇數多?
講析：如果兩個(gè)整數的積是奇數，那么這兩個(gè)整數都必須是奇數。在這五個(gè)數中，只有三個(gè)奇數，兩兩相乘可以得到3個(gè)不同的奇數積。而偶數積共有7個(gè)。所以，乘積中是偶數的多。
例2 有兩組數，甲組：1、3、5、7、9……、23;乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個(gè)數與乙組任意選出一個(gè)數相加，能得到______個(gè)不同的和。
講析：甲組有12個(gè)奇數，乙組有12個(gè)偶數。甲組中任意一個(gè)數與乙組中任意一個(gè)數相加的和，必為奇數，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數共有23個(gè)。所以，能得到23個(gè)不同的和。本題中，我們不能認為12個(gè)奇數與12個(gè)偶數任意搭配相加，會(huì )得到12×12=144(個(gè))不同的和。因為其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】
例1 某班同學(xué)參加學(xué)校的數學(xué)競賽。試題共50道。評分標準是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說(shuō)明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數。
講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個(gè)偶數。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數總是偶數。150減偶數，差仍然是一個(gè)偶數。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數總是偶數，偶數加偶數之和為偶數。所以，全班每個(gè)同學(xué)的分數都是偶數。則全班同學(xué)的得分之和也一定是個(gè)偶數。
例2 5只杯子杯口全都朝上。規定每次翻轉4只杯子，經(jīng)過(guò)若干次后，能否使杯口全部朝下?
講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉奇數次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，則翻動(dòng)的總次數也一定是奇數次才能辦得到�，F在每次只翻轉4只杯子，無(wú)論翻多少回，總次數一定是偶數。所以，不能使杯口全部朝下。
例3 某班共有25個(gè)同學(xué)。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個(gè)同學(xué)都坐到與他相鄰的座位上去。(指前、后、左、右)，能否做得到?
講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位同學(xué)都坐到相鄰座位上去，也就是說(shuō)坐A座位的同學(xué)都要坐到B座位上去，而坐B(niǎo)座位上的同學(xué)都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個(gè)，而B(niǎo)座位共12個(gè)，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學(xué)都坐到B座位上去，是辦不到的。
例4 線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)標以紅色，一個(gè)標以藍色。在線(xiàn)段中間插入1991個(gè)分點(diǎn)，每個(gè)分點(diǎn)隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線(xiàn)段，如果把兩端點(diǎn)顏色不同的小線(xiàn)段叫做標準線(xiàn)段，那么標準線(xiàn)段的條數是奇數還是偶數?
講析：每插入一個(gè)點(diǎn)，無(wú)論其顏色怎樣，其非標準線(xiàn)段的條數增加0條或2條，所以插入1991個(gè)點(diǎn)后，非標準線(xiàn)段增加總數是一個(gè)偶數。又原非標準線(xiàn)段條數為1，是一個(gè)奇數，故最后得到的非標準線(xiàn)段必為奇數。非標準線(xiàn)段條數+標準線(xiàn)段條數=1992條。所以，標準線(xiàn)段的條數是奇數。
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