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淺談定積分不等式證明中輔助函數的構造方法
摘 要：構造輔助函數法是高等數學(xué)中解決問(wèn)題的一種重要方法，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的應用，通過(guò)研究微積分學(xué)中輔助函數的構造法，構造與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數，從而得出欲證明的結論。尤其關(guān)于定積分不等式的證明在近幾年的研究生數學(xué)考試中又頻繁出現。借助適當的輔助函數來(lái)證明定積分不等式是一種非常重要且行之有效的方法。本文對某些定積分不等式中輔助函數的構造方法簡(jiǎn)單探討。
關(guān)鍵詞：定積分不等式;構造;輔助函數;變限法
當某些數學(xué)問(wèn)題使用通常辦法去考慮而很難奏效時(shí)，可根據題設條件和結論特征、性質(zhì)展開(kāi)聯(lián)想，進(jìn)而構造出解決問(wèn)題的特殊模式――構造輔助函數。輔助函數構造法是高等數學(xué)中一個(gè)重要的思想方法，在高等數學(xué)中廣泛應用。構造輔助函數是把復雜問(wèn)題轉化為已知的容易解決問(wèn)題的一種方法，在解題時(shí)，常表現為不對問(wèn)題本身求解，而是構造一個(gè)與問(wèn)題有關(guān)的輔助問(wèn)題進(jìn)行求解。微積分學(xué)中輔助函數的構造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數學(xué)問(wèn)題的方法�？梢越鉀Q高等數學(xué)中眾多難題，尤其是在微積分證明題中應用頗廣，可達到事半功倍的效果。特別是定積分不等式的證明，往往需要借助恰當的輔助函數才能順利完成，然而，對基礎一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)，構造恰當的輔助函數是相當有難度的。筆者在教學(xué)中進(jìn)行探索，找到一些可行的方法，在此與廣大讀者進(jìn)行交流。
一、構造輔助函數的原則
輔助函數的構造是有一定規律的。當某些數學(xué)問(wèn)題使用通常的方法按定勢思維去考慮很難奏效時(shí)，可根據題設條件和結論的特征、性質(zhì)展開(kāi)聯(lián)想，進(jìn)而構造出解決問(wèn)題的特殊模式，這就是構造輔助函數解題的一般思路。
二、構造輔助函數方法探討
1.僅告知被積函數連續的命題的證法
一般來(lái)說(shuō)，這類(lèi)命題的證明要做輔助函數(或者說(shuō)用輔助函數法更簡(jiǎn)便)。
在定積分不等式中，輔助函數φ(x)的構造方法是將定積分不等式中，積分上限(或下限)及相同字母換成x，移項使不等式一端為 0，則另一端即為所設的輔助函數φ(x)。
這類(lèi)命題的證明思路：
(1)做輔助函數φ(x);
(2)求φ(x)的導數φ'(x)，并判別φ(x)的單調性;
(3)求φ(x)在積分區間[a，b]的端點(diǎn)值φ(a)，φ(b)，其中必有一個(gè)值為“0”，由第2條思路可推出φ(b)>φ(a)(或φ(b)<φ(a))，從而得出命題的證明。
2.已知被積函數f(x)一階可導，又至少一個(gè)端點(diǎn)的函數值為0(f(a)=0或f(b)=0)的命題的證法
(1)證題思路之一。①寫(xiě)出含這個(gè)端點(diǎn)的拉格朗日中值定理：f(x)=f (x)-f(a)=(x-a)f '(ξ)，(f(a)=
0)或f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f '(ξ)，(f(b)=0)。②再根據題意進(jìn)行不等式的放縮。③用定積分的比較定理、估值定理或函數的絕對值不等式等定積分性質(zhì)作分析處理。
例1，設f(x)在[a，b]上可導，且f '(x)≤M，f(a)=0，證明
∫ f(x)dx≤―(b-a)2
證明：由題設對任意的x∈[a，b]，
可知f(x)在[a，b]上滿(mǎn)足拉氏微分中值定理，于是有：
f(x)=f(x)-f(a)=f '(ξ) (x-a)，ξ∈(a，x)
∵f(x)≤M，∴f(x)≤M(x-a)，
由定積分比較定理，得出：
∫ f(x)dx≤∫M(x-a)dx=―
(b-a)2
(2)證明思路之二。①寫(xiě)出如下等式：
f(x)=f(x)-f(a)=∫ f'(t)dt(當f(a)=0時(shí))
或f(x)-f(ξ)=∫ f'(t)dt
�、诶枚ǚe分比較定理、估值定理或絕對值不等式進(jìn)行分析處理。
3.已知被積函數f(x)二階或二階以上可導，且又知最高階導數的符號的命題的證法
證明思路：直接寫(xiě)出f(x)的泰勒展開(kāi)式(證明定積分等式是將輔助函數F(x)=∫ f'(t)dt展成泰勒公式)，然后根據題意對展開(kāi)式進(jìn)行放縮。
三、結束語(yǔ)
輔助函數的構造在高等數學(xué)中一直占有重要地位，尤其是在微積分學(xué)中。輔助函數的構造是我們解決問(wèn)題的重要工具，對它的研究從沒(méi)有中斷過(guò)，很多數學(xué)工作者對微積分學(xué)中輔助函數的構造做了很多研究，也取得了很多學(xué)術(shù)成果。本文從構造輔助函數的基本原則入手，總結了幾種輔助函數的構造方法，同時(shí)也體現了構造輔助函數解決問(wèn)題對培養學(xué)生創(chuàng )新思維的重要作用。
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