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離散數學(xué)教學(xué)方法與實(shí)踐論文
摘要：離散數學(xué)是計算機科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎課，它在計算機科學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域中有著(zhù)廣泛的應用背景。因此，如何提高離散數學(xué)課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，對學(xué)生后續課程的學(xué)習和今后的科學(xué)研究均具有現實(shí)意義。
關(guān)鍵詞：離散數學(xué)；教學(xué)改革；教學(xué)方法
0 引言
《離散數學(xué)》是計算機科學(xué)中重要的基礎理論課程之一，它不僅是許多計算機專(zhuān)業(yè)課的必備基礎，而且對培養學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力有著(zhù)重要的作用。但這門(mén)課程具有概念多、理論性強、高度抽象等特點(diǎn)，這無(wú)疑給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習帶來(lái)一定的難度。因此，如何提高離散數學(xué)課程的教學(xué)水平，對于計算機相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生后續課程的學(xué)習以及提高學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力都具有現實(shí)的意義。本文結合作者近年來(lái)從事離散數學(xué)課程教學(xué)的實(shí)際，從教學(xué)內容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一些初步探討。
1 提高學(xué)生對《離散數學(xué)》的認識，調動(dòng)學(xué)習積極性
學(xué)生在學(xué)習離散數學(xué)時(shí)，往往看不到它在計算機科學(xué)中的具體應用，認為該課程對計算機科學(xué)的作用不大，因而不重視離散數學(xué)的學(xué)習，學(xué)習興趣不高，學(xué)習效果不甚理想“興趣是最好的老師”，因此，在上第一堂課時(shí)，教師就應該給學(xué)生介紹離散數學(xué)的重要性，提高學(xué)生的學(xué)習興趣事實(shí)上，計算機學(xué)科的發(fā)展近年來(lái)與離散數學(xué)的主要內容如數理邏輯、抽象代數和圖論等有非常緊密的聯(lián)系 隨著(zhù)計算機科學(xué)的快速發(fā)展，進(jìn)行該學(xué)科相關(guān)的研究與開(kāi)發(fā)的起點(diǎn)在不斷提高，無(wú)論學(xué)生今后從事理論研究，還是應用開(kāi)發(fā)或者是技術(shù)管理工作，都應該具有堅實(shí)的理論基礎，才能適應學(xué)科迅速發(fā)展和知識更新的需要。當今計算機科學(xué)界的權威人士很多都是研究離散數學(xué)出身的。美國的軟件之所以能領(lǐng)先，其關(guān)鍵就在于在數學(xué)基礎上他們有很強的實(shí)力，有很多杰出的人才，而我國的信息技術(shù)的數學(xué)基礎十分薄弱，這個(gè)問(wèn)題不解決，我們就難成為軟件強國 計算機領(lǐng)域最負盛名、最崇高的一個(gè)獎項是圖靈獎，具有“計算機界的諾貝爾獎”之稱(chēng)。圖靈是一位英國的數學(xué)家的名字，他所創(chuàng )立的數學(xué)模型一一圖靈機（離散數學(xué)內容之一）。在可計算性理論中起著(zhù)重要作用，為計算機的誕生奠定了堅實(shí)的理論基礎。為了紀念他對計算機科學(xué)所做的貢獻，國際上用他的名字來(lái)命名這個(gè)獎項。著(zhù)名的計算機軟件大師狄克斯特（Dijkstra）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我現在年紀大了，搞了這么多年軟件，錯誤不知犯了多少，現在覺(jué)悟了。我想假如我早年在數理邏輯上好好下點(diǎn)功夫的話(huà)，我就不會(huì )犯這么多的錯誤。不少東西邏輯學(xué)家早就說(shuō)了，可我不知道 要是我能年輕20歲。我要回去學(xué)邏輯 ”由此可見(jiàn)離散數學(xué)在計算機學(xué)科中的重要作用。
2 教學(xué)內容的優(yōu)化
《離散數學(xué)》課程的教學(xué)內容一般包括四個(gè)部分：數理邏輯、集合論、代數系統、圖論。這四部分內容中每一個(gè)部分都可以是一門(mén)獨立的課程，它們分別作為《離散數學(xué)》課程的一部分，容易造成教學(xué)內容繁多與教學(xué)課時(shí)數偏少相矛盾，使教學(xué)過(guò)程具有很大的難度。如果這幾部分的內容都要詳細講授，時(shí)間上來(lái)不及。所以在在教學(xué)過(guò)程中對講授內容的設置上應當有所側重，比如學(xué)生對集合論基礎的很多內容在中學(xué)數學(xué)中已經(jīng)有所了解，所以這部分內容只需要簡(jiǎn)要介紹一下，重點(diǎn)放在用集臺論的方法解決實(shí)際應用問(wèn)題上。對于二元關(guān)系這部分，側重點(diǎn)是加強對與二元關(guān)系的幾個(gè)性質(zhì)相關(guān)問(wèn)題的論證方法的訓練。在數理邏輯上通過(guò)將一般命題公式和一階邏輯公式化成范式，達到強化訓練學(xué)生邏輯演算能力，并通過(guò)邏輯推理理論的學(xué)習來(lái)提高邏輯推理能力。圖論部分重點(diǎn)放在基本概念的理解和實(shí)際問(wèn)題的處理上，通過(guò)對相關(guān)定理及其證明思路的理解來(lái)體會(huì )圖論的研究方法。代數系統這部分內容重點(diǎn)放在群論上，尤其要在代數系統、群、子群、循環(huán)群、變換群、正規子群的概念及相關(guān)問(wèn)題的理解上下功夫，特別要掌握同構和同態(tài)的概念及應用，對于其它的代數系統如環(huán)、域及布爾代數則可以略講。
另外，現行大多數教材，主要是集中在從純數學(xué)理論角度教授基本內容，這也是不利于學(xué)生的理解學(xué)習的。如果選擇了這種教材，在教學(xué)過(guò)程中，應穿插介紹一些知識點(diǎn)在計算機科學(xué)中的應用，將之與離散數學(xué)理論結合介紹給學(xué)生，使學(xué)生重視這一課程的學(xué)習，產(chǎn)生學(xué)習興趣，主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習。這將有利于學(xué)生理解理論知識，又為后續課程的學(xué)習奠定基礎。
3 教學(xué)方法實(shí)踐
3.1 注重理論的理解。推行研究型教學(xué)
離散數學(xué)中有很多定義、定理、規則，幾乎每一節課堂上少則十幾個(gè)多則幾十個(gè)新的術(shù)語(yǔ)或定理，很多學(xué)生由于習慣于背誦的方式來(lái)掌握概念，很容易產(chǎn)生枯燥甚至畏難情緒。在教學(xué)過(guò)程中，我們要注重對于問(wèn)題的完整理解過(guò)程，而不是只告訴學(xué)生結論。因此，很多概念、定理都不用死記硬背，只需要理解，這樣才能掌握得更牢。
比如，在一階邏輯中有八個(gè)關(guān)于量詞作用域里的擴張與收縮公式，學(xué)生剛開(kāi)始看到這些公式時(shí)，可能會(huì )覺(jué)得太難記了。那么就需要把證明的方法告訴他們，掌握公式的來(lái)龍去脈。其實(shí)只有以下兩個(gè)公式是相對特殊的，需要轉換量詞形式的：
�。ǎˋ x）A（x） →B）甘（3 x）（A（x）→B）
�。ǎ�3 x）A（x） →xB）{ （A x）（A（x）→B）
這兩個(gè)公式可以在有限個(gè)體域中采用量詞消去法把其中一個(gè)公式證明給學(xué)生看，其它幾個(gè)公式要求學(xué)生課后采用類(lèi)似的方法自己動(dòng)手證明，既可以節省時(shí)間，又可以加深學(xué)生對公式的理解。
因此，需要把過(guò)去習慣的填鴨式教學(xué)轉換為研究型教學(xué)，通過(guò)對典型問(wèn)題的描述分析和解決，鼓勵和引導學(xué)生實(shí)現研究為本的學(xué)習。對課程、對問(wèn)題要多問(wèn)幾個(gè)為什么，挖掘深層的東西，要有意識地去培養學(xué)生踏實(shí)的科學(xué)態(tài)度。
3.2 理論聯(lián)系實(shí)際
離散數學(xué)這門(mén)課內容比較難，而且相對枯燥，特別是該課程的結構較為松散，內容雜，學(xué)生難以接受。因此。在講解清楚各種基本概念、定理、定理證明、計算方法等基本內容之外，還應多舉一些具有代表性的例子，以加深學(xué)生對知識的理解，并能隨時(shí)介紹所學(xué)知識的應用背景和發(fā)展方向，使學(xué)生能感覺(jué)到這門(mén)課程的必要性，調動(dòng)學(xué)生的積極性。例如在講授平面圖時(shí)，可以給出它們在印刷電路板、集成電路等方面的應用。
另外，如果講課時(shí)能結合一些輕松的故事，也可減輕學(xué)習的壓力。比如離散數學(xué)中哥尼斯堡七橋問(wèn)題、著(zhù)名的蘇哥拉底三段論、土耳其商人和帽子的故事、一筆畫(huà)問(wèn)題、地圖染色問(wèn)題等等。但對于這些問(wèn)題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應當從故事人手，提出有思考性的問(wèn)題，再促進(jìn)和啟發(fā)學(xué)生思維的積極性，這樣就能達到較好的效果。
3.3 具體與抽象相結合。
離散數學(xué)中的許多概念都很抽象，如果直接給出定義，學(xué)生往往難以理解。如果能從實(shí)際的例子出發(fā)，再抽象出基本概念，使得學(xué)生對這些概念有更深刻的理解。
例如“二元關(guān)系”，可以舉一個(gè)家庭成員之間的關(guān)系的例子：假設某家庭有父母兄弟四位成員，在家庭成員這個(gè)集合上，常見(jiàn)的二元關(guān)系有父子關(guān)系、母子關(guān)系、兄弟關(guān)系、夫妻關(guān)系等，然后以數學(xué)符號的形式表示出來(lái)，最后再把二元關(guān)系的數學(xué)定義告訴學(xué)生。這樣學(xué)生對“二元關(guān)系”這個(gè)概念就有比較清楚的認識了。又如在講解“群”的概念時(shí)，可以先給出具體一個(gè)代數系統，如（Z，+），然后得出該代數系統滿(mǎn)足群的三個(gè)條件：結合律、存在幺元和每個(gè)元素有逆元，從而引出群的定義。
3.4 注重歸納與小結
離散數學(xué)的內容雖然多且散，但通過(guò)歸納，可以用一條主線(xiàn)貫穿始終，這就是離散數學(xué)討論的內容大多包含兩個(gè)方面：研究一個(gè)系統中涉及到的靜態(tài)（基本概念）與動(dòng)態(tài)（運算、操作、推理）。如集合論中是元素（靜態(tài)）及其上的運算（動(dòng)態(tài)）；代數系統中是集合（靜態(tài)）及運算（動(dòng)態(tài)）；數理邏輯中是公式（靜態(tài)）和推理（動(dòng)態(tài)）。通過(guò)歸納總結，學(xué)生能夠理清頭緒，提高學(xué)習效率。
在講課時(shí)，應該把重點(diǎn)、難點(diǎn)精講細講，對于易懂的內容可以點(diǎn)到為止。此外還要經(jīng)常歸納小結，尤其對于一些抽象的和難以記憶的重要知識點(diǎn)，更應該輔以有針對性的歸納總結。比如在講完代數系統這部分內容時(shí)，可按照代數系統、半群、含幺半群、群的順序依次闡述這幾個(gè)概念，均是在前一個(gè)概念的基礎上增加一個(gè)性質(zhì)（封閉性、結合性、幺元、逆元），最后用圖示的方式進(jìn)行小結，使學(xué)生更容易掌握這幾個(gè)容易混淆的概念。
4 教學(xué)手段改革
4.1 建設網(wǎng)絡(luò )課件。注重教學(xué)的互動(dòng)性
隨著(zhù)計算機技術(shù)的發(fā)展與普及，在教學(xué)過(guò)程中引入網(wǎng)絡(luò )課件已逐漸成為一種時(shí)尚。離散數學(xué)有很多定義、定理、性質(zhì)等都是比較抽象的內容，如果在教學(xué)的過(guò)程中，就概念講概念，就結論講結論，學(xué)生將難予接受。如果能利用網(wǎng)絡(luò )課件信息量大、生動(dòng)有趣的特點(diǎn)，將概念、理論提出的背景以及在計算機技術(shù)中的應用介紹給學(xué)生，勢必會(huì )加深學(xué)生對概念、理論的理解，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習的積極性。在離散數學(xué)網(wǎng)絡(luò )課件中，可以集成電子講稿、作業(yè)、答疑、討論、考試、試題庫、網(wǎng)絡(luò )資源、學(xué)習跟蹤分析、管理等，極大地改變離散數學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，為學(xué)生提供了豐富多彩的網(wǎng)上教學(xué)資源�？梢栽谡n堂教學(xué)的引導下，充分利用網(wǎng)絡(luò )課件的特點(diǎn)讓師生參與討論，調動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，引導學(xué)生發(fā)現問(wèn)題和分析問(wèn)題，讓他們能夠自由地、充分地、廣泛地進(jìn)行討論，從而達到解決問(wèn)題的目的。
網(wǎng)絡(luò )課件的電子講稿是教師上課和學(xué)生學(xué)習的主要資源，因此網(wǎng)絡(luò )課件的建設一定要注重電子講稿的質(zhì)量。電子講稿要盡量使用具體形象的媒體展示給同學(xué)。使其能從中體驗形象與抽象的關(guān)系。在制作幻燈片畫(huà)面時(shí)。要注意目標明確，使常規教學(xué)中要求的基本技能、重要的思想方法、運算能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力盡量反映在課件中，各個(gè)幻燈片的連接注意銜接合理、自然。利用人工控制時(shí)間，使其變化有序，避免給學(xué)生產(chǎn)生黑板搬家的感覺(jué)。
當然，筆者認為離散數學(xué)網(wǎng)絡(luò )課件并不能完全取代傳統的教學(xué)方式。僅僅是利用計算機進(jìn)行輔助教學(xué)，它還不能完全代替“黑板、粉筆”方式的教學(xué)。教師完全可以根據教學(xué)內容的需要，在教學(xué)過(guò)程中靈活、適當地應用黑板與粉筆，以起到其特有的點(diǎn)睛效果。例如對一些邏輯性較強，難以理解的需要推理、證明的教學(xué)內容，應該使用傳統的授課方式進(jìn)行教學(xué)。只有采用傳統的教學(xué)方式與現代多媒體教學(xué)方式相結合的辦法，才能實(shí)現教學(xué)過(guò)程的最優(yōu)化。
4.2 重視學(xué)生作業(yè)，定時(shí)測驗
大學(xué)擴招以后，很多教師課時(shí)量都比較飽滿(mǎn)，批閱作業(yè)的時(shí)間相對較少，有些教師甚至因此不布置作業(yè)或不批閱作業(yè)，這樣顯然是不利于學(xué)生的學(xué)習。離散數學(xué)的知識不經(jīng)過(guò)學(xué)生的獨立思考和多做練習是無(wú)法牢固掌握的，因此一定要給學(xué)生留一定數量的課后習題。但大部分學(xué)生不可能把課本上的習題全部做完，教師也不可能完全批閱。這就要求教師布置作業(yè)要選其精華，選題必須要有一定的深度和廣度，要覆蓋所學(xué)的內容，盡量選有啟發(fā)性質(zhì)的習題。對于學(xué)生的作業(yè)，要認真仔細批改，將作業(yè)中暴露出來(lái)的普遍問(wèn)題，要進(jìn)行課堂講評。通過(guò)講評作業(yè)，幫助學(xué)生澄清模糊和錯誤的認識。
另外，為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習情況，克服學(xué)生的學(xué)習惰性，除了布置作業(yè)外，可以在講完每一部分內容之后進(jìn)行課堂測驗，給學(xué)生施加一定的學(xué)習壓力，把測驗成績(jì)作為平時(shí)成績(jì)的一部分，讓學(xué)生能及時(shí)地對學(xué)過(guò)的內容進(jìn)行歸納、總結。由于時(shí)間關(guān)系，測驗時(shí)所選的習題數量不宜過(guò)多，盡量做到少而精，具備綜合性、典型性等特點(diǎn)。其次，要難度適中。例如在數理邏輯部分的測驗中，可分別從命題符號化、公式類(lèi)型判斷、主析取范式、前束范式、邏輯推理等方面進(jìn)行選題，共五道題左右，其中重點(diǎn)突出符號化與推理理論，力求以點(diǎn)帶面，考察學(xué)生對所學(xué)知識的理解程度
4.3 考試改革
筆者認為離散數學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要環(huán)節是考試方法改革，實(shí)行教考分離。學(xué)生的考核成績(jì)由平時(shí)成績(jì)和考試成績(jì)按一定比例組成，任課教師掌握平時(shí)成績(jì)的評定，考試則實(shí)行教考分離，任課教師事先不知道考試題目，但可以與命題教師一起討論命題范圍、難度及題型。實(shí)行教考分離能進(jìn)一步激發(fā)教師的教學(xué)熱情和學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性，對調動(dòng)教與學(xué)的積極性是有促進(jìn)作用的，同時(shí)也提高了考核的科學(xué)性。
5 結束語(yǔ)
總之，要把離散數學(xué)這一門(mén)課教好，教師就要不斷研究新的教學(xué)方法，認真掌握教學(xué)規律，借助于現代化教學(xué)手段，摒棄“填鴨式”教學(xué)，提倡“啟發(fā)”式教學(xué)。教師只要具有扎實(shí)的理論功底，并具有對學(xué)生高度負責的精神，就一定能夠找到較好的方法調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習積極性，從而達到良好的教學(xué)效果。
參考文獻：
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