數學(xué)中的哲學(xué)觀(guān)之探微論文
[摘要]本文從數學(xué)運算的對立統一、不同的數學(xué)知識之間的相互聯(lián)系、數學(xué)理論發(fā)展過(guò)程的量變到質(zhì)變、數學(xué)中的否定之否定規律等，論述了數學(xué)中充滿(mǎn)著(zhù)辯證法。
[關(guān)鍵詞]數學(xué) 辯證法 對立統一 矛盾 相互聯(lián)系
世界是客觀(guān)的、物質(zhì)的世界，遵循運動(dòng)、變化、發(fā)展的規律。唯物辨證法是指世界是客觀(guān)的、物質(zhì)世界是普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展的。數學(xué)中充滿(mǎn)著(zhù)辯證法，古今數學(xué)家都把自然辯證法的思想作為研究數學(xué)的指導思想，從而取得了一個(gè)個(gè)成果。依據辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究數學(xué)是一件有意義的工作。
一、數學(xué)運算的對立統一
數學(xué)中加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方、指數與對數運算、三角與反三角運算、微分與積分運算等等，它們都是互逆的運算�；ツ娴倪\算是對立的雙方，是現實(shí)世界中正與逆的矛盾在數學(xué)中的具體反映，它們互相依存，不可分割。在一定條件下相互轉化。數學(xué)運算正與逆的存在與統一，是解決數學(xué)問(wèn)題的有力杠桿，因而對一個(gè)給定的運算是否存在逆運算，它是怎樣形成的，始終是數學(xué)研究的中心課題。
數學(xué)運算有高底之分，一般地，我們將加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方分別稱(chēng)為第一、二和三級運算。這里較高一級的運算與較低一級運算之間有一定聯(lián)系，且能相互轉化。例如，乘法是加數相同情況下的加法，乘方是因數相同情況下的乘法，多元函數的導數歸結為求一元函數的導數，多元函數的積分歸結為函數的微分，并且由“牛頓—萊布尼茲公式”，將一元函數的微分與積分聯(lián)系起來(lái)。
二、數學(xué)中充滿(mǎn)著(zhù)矛盾
常量與變量是數學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念，常量是反映事物相對靜止狀態(tài)的量，變量是反映事物運動(dòng)變化狀態(tài)的量，它們是有區別的。但它們又具有相對性、依存性，在一定條件下可以相互轉化，因此又是統一的。
現實(shí)世界中的有限與無(wú)限，反映到數學(xué)中來(lái)成了量的有限與無(wú)限。數學(xué)中人們常常通過(guò)有限來(lái)認識無(wú)限。無(wú)限一方面可以作為有限的總和而存在，作為一切有限的對立物而存在；另一方面又可作為描述量的變化過(guò)程而存在。有限與無(wú)限有著(zhù)質(zhì)的差異。例如，一個(gè)有限集和它的任何真子集之間都不能建立一一對應關(guān)系。但在無(wú)限集中，就不完全是這樣。比如，自然數集可以和它的真子集建立一一對應關(guān)系，一個(gè)有限的數集必有最大數與最小數，但是無(wú)限數集就不一定是這樣。再如，對于數的有限和滿(mǎn)足交換律與結合律，但在無(wú)限和式中就不能任意運用這些定律，否則將導致謬誤的結果。
直與曲是兩種不同的形象，從幾何角度說(shuō)，前者曲率是零，后者曲率非零。從代數角度說(shuō)，前者是線(xiàn)性方程，后者是非線(xiàn)性方程，因而直與曲的區別是極為明顯的。恩格斯說(shuō)：“幾何學(xué)開(kāi)始于下列的發(fā)展，直線(xiàn)與曲線(xiàn)是絕對的對立，直線(xiàn)完全不能用曲線(xiàn)表現，曲線(xiàn)也不能完全用直線(xiàn)來(lái)表現，兩者是不能通約的，但是連圓的計算也只有用直線(xiàn)來(lái)表現它的圓周時(shí)才有可能，而在具有漸近線(xiàn)的曲線(xiàn)的情況下，直線(xiàn)完全化為曲線(xiàn)，曲線(xiàn)完全化為直線(xiàn)，平行的概念也同樣趨于消失，兩條線(xiàn)并不是平行的，它們不斷地相互接近，但永遠不相交�！边@就是在一定條件下，直與曲可以相互轉化的辯證思想。
三、數學(xué)理論發(fā)展過(guò)程的量變到質(zhì)變
量變質(zhì)變規律指出了量變、質(zhì)變是事物運動(dòng)變化的兩種最基本狀態(tài)，事物的發(fā)展變化都表現為由量變到質(zhì)變，再由質(zhì)變引起新的量變的反復過(guò)程。數學(xué)理論中體現著(zhù)量變質(zhì)變規律。一方面，數學(xué)中每種概念的存在都有著(zhù)特定的量的界限，如果量變超出了這個(gè)界限，就會(huì )發(fā)生質(zhì)變，形成另一種概念，這種新概念又存在著(zhù)自己特有的新的量變。例如，正多邊形邊數的變化范圍是“大于或等于3的有限數”，如果邊數的變化超出上述范圍就不再是正多邊形，變?yōu)榫�(xiàn)段或圓。（邊數小于3時(shí)為線(xiàn)段；邊數超出有限數范圍，即趨于無(wú)窮時(shí)為圓。）不論線(xiàn)段還是圓，都有自己新的量變。另一方面，數學(xué)理論的形成過(guò)程是從量變到質(zhì)變、從近似到精確的過(guò)程。比如為了求曲邊梯形的面積，先將該曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，如果分割足夠密，這些小曲邊梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面積的方法求出各個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，其和就是原曲邊梯形面積的近似值。因為所求的僅為近似值，所以上述過(guò)程是量變的過(guò)程，沒(méi)有發(fā)生質(zhì)的飛躍。如果分割無(wú)限加密，即各個(gè)小曲邊梯形的最大寬度趨于零時(shí)，就得到原曲邊梯形的精確面積，發(fā)生了從量變到質(zhì)變的飛躍，這正是定積分理論的基本思想。
四、數學(xué)理論的發(fā)展過(guò)程中體現著(zhù)否定之否定規律
否定之否定規律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過(guò)程是：經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段，即由肯定達到對自身的否定，并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定。每一個(gè)數學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規律。在理論最初形成時(shí)，該理論得到肯定；隨著(zhù)實(shí)踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來(lái)并被否定；進(jìn)而數學(xué)家們開(kāi)始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結論，達到新的肯定。此外，數學(xué)的運算結果也體現著(zhù)否定之否定規律，例如，正數取兩次相反數（兩次否定）仍是正數；命題邏輯中，一個(gè)命題的兩次否定仍是原命題等。
總之，數學(xué)內部處處蘊涵著(zhù)哲學(xué)思想，數學(xué)家在哲學(xué)的滄桑巨變中不斷成熟，哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)在數學(xué)成果的推動(dòng)下不斷進(jìn)步。
參考文獻：
[1]章士藻。中學(xué)數學(xué)教育學(xué)。江蘇教育出版社，1991 .
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