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淺談數學(xué)教材改革論文
摘要：數學(xué)思想方法是數學(xué)的靈魂和精髓，如何在中學(xué)數學(xué)教材中體現數學(xué)思想方法，不失時(shí)機的向學(xué)生滲透數學(xué)思想方法是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。本文著(zhù)重探討高中數學(xué)內容中所蘊含的數學(xué)思想方法，并對實(shí)驗教材與普通教材在數學(xué)思想方法處理方面進(jìn)行比較。通過(guò)比較我們看到，《中學(xué)數學(xué)實(shí)驗教材》中更突出了數學(xué)思想和數學(xué)方法，體現了知識教學(xué)和能力培養的統一。并且我們必須重視數學(xué)思想方法，深化數學(xué)教材改革，讓學(xué)生學(xué)會(huì )用數學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，切實(shí)實(shí)現素質(zhì)教育的要求。
關(guān)鍵詞：數學(xué)思想方法，數學(xué)教材
一、問(wèn)題提出
數學(xué)思想方法是以具體數學(xué)內容為載體，又高于具體數學(xué)內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數學(xué)的真諦，學(xué)會(huì )數學(xué)的思考和解決問(wèn)題，并對人們學(xué)習和應用數學(xué)知識解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著(zhù)指導和調控的作用。日本數學(xué)教育家米山國藏認為，學(xué)生在進(jìn)入社會(huì )以后，如果沒(méi)有什么機會(huì )應用數學(xué)，那么作為知識的數學(xué)，通常在出校門(mén)后不到一兩年就會(huì )忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數學(xué)精神和數學(xué)思想方法，會(huì )長(cháng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。所以突出數學(xué)思想方法教學(xué)，是當代數學(xué)教育的必然要求，也是數學(xué)素質(zhì)教育的重要體現，如何在中學(xué)數學(xué)教材中體現數學(xué)思想方法也是一個(gè)十分重要的問(wèn)題．
2001年我國新一輪基礎教育課程改革已正式啟動(dòng),此次基礎教育數學(xué)課程改革的特點(diǎn)之一就是把數學(xué)思想方法作為課程體系的一條主線(xiàn)。已經(jīng)有不少文章探討初中數學(xué)教材中的數學(xué)思想方法，但對高中數學(xué)教材中蘊含的數學(xué)思想方法探討較少。事實(shí)上，高中數學(xué)教材的改革也已經(jīng)開(kāi)始醞釀，目前高中普遍使用的數學(xué)教材是人教社2000年版的《全日制普通高級中學(xué)教科書(shū)（試驗修定本）數學(xué)》（下稱(chēng)普通教材），也有部分高中根據學(xué)生的情況選用了原國家教委的《中學(xué)數學(xué)實(shí)驗教材（試驗本必修數學(xué)）》（下稱(chēng)實(shí)驗教材）�？梢哉f(shuō)在素質(zhì)教育推動(dòng)下，與舊數學(xué)教材相比這兩套新教材在內容、結構編排上都有了很大變化，都體現了新的數學(xué)教育觀(guān)念，而在原國家教委的《中學(xué)數學(xué)實(shí)驗教材》中尤其突出了數學(xué)思想和數學(xué)方法，體現了知識教學(xué)和能力培養的統一。本文就著(zhù)重探討高中數學(xué)內容中所蘊含的數學(xué)思想方法，并對實(shí)驗教材與普通教材在數學(xué)思想方法處理方面進(jìn)行比較。
二、高中數學(xué)應該滲透的主要數學(xué)思想方法
1、數學(xué)思想與數學(xué)方法
數學(xué)思想與數學(xué)方法目前尚沒(méi)有確切的定義，我們通常認為，數學(xué)思想就是“人對數學(xué)知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數學(xué)內容和對數學(xué)的認識過(guò)程中提煉上升的數學(xué)觀(guān)點(diǎn)，它在認識活動(dòng)中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學(xué)和用數學(xué)解決問(wèn)題的指導思想”。就中學(xué)數學(xué)知識體系而言，中學(xué)數學(xué)思想往往是數學(xué)思想中最常見(jiàn)、最基本、比較淺顯的內容，例如：模型思想、極限思想、統計思想、化歸思想、分類(lèi)思想等。數學(xué)思想的高層次的理解，還應包括關(guān)于數學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規律的認識，任何一個(gè)數學(xué)分支理論的建立，都是數學(xué)思想的應用與體現。
所謂數學(xué)方法，是指人們從事數學(xué)活動(dòng)的程序、途徑，是實(shí)施數學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數學(xué)思想的具體化反映。所以說(shuō)，數學(xué)思想是內隱的，而數學(xué)方法是外顯的，數學(xué)思想比數學(xué)方法更深刻，更抽象地反映了數學(xué)對象間的內在聯(lián)系。由于數學(xué)是逐層抽象的，數學(xué)方法在實(shí)際運用中往往具有過(guò)程性和層次性特點(diǎn)，層次越低操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數法等等。
總之，數學(xué)思想和數學(xué)方法有區別也有聯(lián)系，在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，總的指導思想是把問(wèn)題化歸為能解決的問(wèn)題，而為實(shí)現化歸，常用如一般化、特殊化、類(lèi)比、歸納、恒等變形等方法，這時(shí)又常稱(chēng)用化歸方法。一般來(lái)說(shuō)，強調指導思想時(shí)稱(chēng)數學(xué)思想，強調操作過(guò)程時(shí)稱(chēng)數學(xué)方法。
2、高中數學(xué)應該滲透的主要數學(xué)思想方法
中學(xué)數學(xué)教育大綱中明確指出數學(xué)基礎知識是指：數學(xué)中的的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由數學(xué)基礎內容反映出來(lái)的數學(xué)思想方法�？梢�(jiàn)數學(xué)思想方法是數學(xué)基礎知識的內容，而這些數學(xué)思想方法是融合在數學(xué)概念、定理、公式、法則、定義之中的。
在初中數學(xué)中，主要數學(xué)思想有分類(lèi)思想、集合對應思想、等量思想、函數思想、數形結合思想、統計思想和轉化思想。與之對應的數學(xué)方法有理論形成的方法，如觀(guān)察、類(lèi)比、實(shí)驗、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問(wèn)題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數、分析、綜合等方法。這些數學(xué)思想與方法，在義務(wù)教材的編寫(xiě)中被突出的顯現出來(lái)。
在高中數學(xué)教材中，一方面以抽象性更強的高中數學(xué)知識為載體，從更高層次延續初中涉及的那些數學(xué)思想方法的學(xué)習應用，如函數與映射思想、分類(lèi)思想、集合對應思想、數形結合思想、統計思想和化歸思想等。另一方面，結合高中數學(xué)知識，介紹了一些新的數學(xué)思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。
因為其中一些數學(xué)思想方法都介紹很多了，這里只談一下初等微積分的基本思想方法。無(wú)窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯(lián)系變動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)，把考察的對象（例如圓面積、變速運動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積等）看作是某對象（內接正n邊形的面積、勻速運動(dòng)的物體的速度，小矩形面積之和）在無(wú)限變化過(guò)程中變化結果的思想（方法），它出發(fā)于對過(guò)程無(wú)限變化的考察，而這種考察總是與過(guò)程的某一特定的、有限的、暫時(shí)的結果有關(guān)，因此它體現了“從在限中找到無(wú)限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來(lái)”（恩格斯語(yǔ)）的一種運動(dòng)辨證思想，它不僅包括極限過(guò)程，而且又完成了極限過(guò)程�？v觀(guān)微積分的全部?jì)热�，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎
三、普通教材與實(shí)驗教材在數學(xué)思想方法處理方面的比較
普通高中教育是與九年義務(wù)教育相銜接的高一層次基礎教育，在數學(xué)教材的編寫(xiě)上，必須要注意培養學(xué)生的創(chuàng )新精神、實(shí)踐能力和終身學(xué)習的能力。與舊教材相比，新的數學(xué)教材開(kāi)始重視滲透數學(xué)思想方法，那么高中現行使用的普通教材與實(shí)驗教材在數學(xué)思想方法處理方面有何異同呢？因為內容太多，下面只能粗略的作一比較。
1、相同之處在于
普通教材與實(shí)驗教材都多將數學(xué)思想方法的展示，融合在數學(xué)的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過(guò)集合的定義“把某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合”，及通過(guò)用集合語(yǔ)言來(lái)表述問(wèn)題，體現了集合思想方法來(lái)處理數學(xué)問(wèn)題的直觀(guān)性，深刻性，簡(jiǎn)潔性。對非常重要的數學(xué)思想方法也采用單獨介紹的方式，如普通教材與實(shí)驗教材都將歸納法列為一節，詳細學(xué)習。
2、不同之處在于
�。�1）有些在普通教材中隱含方式出現的數學(xué)思想方法，在實(shí)驗教材中被明確的指出來(lái)，并用以指導相關(guān)數學(xué)知識的展開(kāi)。
關(guān)于數學(xué)方法
我們舉不等式證明方法的例子。實(shí)驗教材在不等式一章第三節“證明不等式”中詳細講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時(shí)我們可以用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法�！倍趯�(shí)驗教材更準確更詳細的介紹：“依據不等式的基本性質(zhì)和已知的不等式，正確運用邏輯推理規律，逐步推導出所要證明的不等式的方法，稱(chēng)為綜合法。綜合法實(shí)質(zhì)上是“由因導果”的直接論證，其要點(diǎn)是：四已知性質(zhì)、定理、出發(fā)，逐步導出其“必要條件”，直到最后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實(shí)驗教材中給出了分析法實(shí)質(zhì)是“執果索因”的說(shuō)明，這樣學(xué)生能清楚的領(lǐng)會(huì )綜合法、分析法的要義，會(huì )證不等式的同時(shí)學(xué)會(huì )了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個(gè)不等式。
關(guān)于數學(xué)思想
在實(shí)驗教材第一冊（下）研究性課題“函數學(xué)思想及其應用”中，明確提出“把一個(gè)看上去不是明顯的函數問(wèn)題，通過(guò)、或者構造一個(gè)新函數，利用研究函數的性質(zhì)和圖象，解決給出的問(wèn)題，就是函數思想”，并舉例用函數思想解決最值問(wèn)題、方程、不等式問(wèn)題，及一些實(shí)際應用的問(wèn)題。其實(shí)普通教材在講函數時(shí)也在用運動(dòng)、變化的觀(guān)點(diǎn)，分析研究具體問(wèn)題中的數量關(guān)系，通過(guò)函數形式把這種數量關(guān)系進(jìn)行刻劃并加以研究，但從未提函數思想方法。雖然實(shí)驗教材中只是以研究性課題的形式，對函數思想作以介紹和應用探討，可這已經(jīng)是一種重視數學(xué)思想方法的信號，隨著(zhù)今后素質(zhì)教育的推進(jìn)，和實(shí)踐經(jīng)驗的積累，我想數學(xué)思想方法在數學(xué)教材中會(huì )有更明確的介紹。我們舉向量的例子。
�。�2）實(shí)驗教材中還增加了一些數學(xué)思想方法的介紹。
關(guān)于數學(xué)方法
普通教材在第一冊第三章“數列”中只介紹了數列的概念、等差等比數列及其求和，而在實(shí)驗教材第二冊（下）的第十章“數列”中增加了第四節“數列應用舉例”介紹了作差，將某些復雜數列轉化為等差等比數列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉化的思想。又如在第一冊（上）中，增加了研究性課題“待定系數法的原理、方法及初步應用”，閱讀材料“插值公式與實(shí)驗公式”，雖然不是作為正式章節，但也體現了對數學(xué)思想方法的重視。再如數學(xué)歸納法普通教材介紹的相當簡(jiǎn)略，而實(shí)驗教材詳細介紹了什么是歸納法，歸納法的結論是否一定正確，什么是數學(xué)歸納法歸納起始命題等問(wèn)題，還舉了大量例子，切實(shí)注重讓學(xué)生真正理解方法。
關(guān)于數學(xué)思想
實(shí)驗教材中對向量，解析幾何的處理體現了將向量思想，幾何代數化思想的引入，并用這些數學(xué)思想方法來(lái)統領(lǐng)相關(guān)數學(xué)知識的介紹。實(shí)驗教材在第六章“平面向量”開(kāi)首就講：“代數學(xué)的基本思想方法是運用運算律去系統地解答各種類(lèi)型的代數問(wèn)題；幾何學(xué)研究探索的內容是空間圖形的性質(zhì)�！谶@一章中，我們首先要把表達“一點(diǎn)相對另一點(diǎn)的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量……我們稱(chēng)之為向量，……這樣，我們就可以用代數的方法研究平面圖形性質(zhì)，把各種各樣的幾何問(wèn)題用向量運算的方法來(lái)解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“……，位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報要研究的向量。向量是數學(xué)中的重要概念之一。向量和數一樣也能進(jìn)行運算，而且用向量的有關(guān)知識更新還能有效地解決數學(xué)、物理、等學(xué)科中的很多問(wèn)題。這一章里，我們將學(xué)習向量的概念、運算及其簡(jiǎn)單的應用�！憋@然實(shí)驗教材是從數學(xué)思想方法的高度來(lái)引入向量，這也使后面內容的學(xué)習可以以此為線(xiàn)索，體現了知識的內在統一。實(shí)驗教材在第六章“平面向量”之后，緊接著(zhù)設置了第七章“直線(xiàn)和圓”，從第七章的內容提要中我們看出這樣設計是有良苦用心的。內容提要如下：“人們對于事物的認識和理解，總是要經(jīng)過(guò)逐步深化的過(guò)程和不斷推進(jìn)的階段。對于空間的認識和理解，就是先有實(shí)驗幾何，然后推進(jìn)到推理幾何，理推進(jìn)到解析幾何。在第六章，我們引進(jìn)了平面向量，并且建立了向量的基本運算結構，把平面圖形的基本性質(zhì)轉化為得量的運算和運算律，從而奠定了空間結構代數化的基礎；再通過(guò)向量及其運算的坐標表示，實(shí)現了從推理幾何到解析幾何的轉折。解析幾何是用坐標方法研究圖形，基本思想是通過(guò)坐標系，把點(diǎn)與坐標、曲線(xiàn)與方程等聯(lián)系起來(lái)，從而達到形與數的結合，把幾何問(wèn)題轉化為代數問(wèn)題進(jìn)行研究和解決�！辈⑶以诤竺嬷本�(xiàn)的方程、直線(xiàn)的位置關(guān)系點(diǎn)到直線(xiàn)的距離幾節中都自然而然的延續了向量的思想和方法，使直線(xiàn)的學(xué)習連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊（下）的第五章設為“平面向量”，在第二冊（上）的第七章才設置“直線(xiàn)和圓的方程”，中間隔了不等式一章，并且在內容上，也沒(méi)有將向量與直線(xiàn)方程聯(lián)系起來(lái)，關(guān)于法向量、點(diǎn)直線(xiàn)點(diǎn)法式方程都沒(méi)有講，只是隨后設置了“向量與直線(xiàn)”的閱讀材料簡(jiǎn)單介紹法向量、直線(xiàn)間的位置關(guān)系。
四、重視數學(xué)思想方法，深化數學(xué)教材改革
1、在知識發(fā)生過(guò)程中滲透數學(xué)思想方法
這主要是指定義、定理公式的教學(xué)。一是不簡(jiǎn)單下定義。數學(xué)的概念既是數學(xué)思維基礎，又是數學(xué)思維的結果。概念教學(xué)不應簡(jiǎn)單地給出定義，而是應引導學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數學(xué)思想方法。二是定理公式介紹中不過(guò)早下結論，可能的話(huà)展示定理公式的形成過(guò)程，給教師、學(xué)生留有參與結論的探索、發(fā)現和推導過(guò)程的機會(huì )。
�。�、在解決問(wèn)題方法的探索中激活數學(xué)思想方法
�、僮⒅亟忸}思路的數學(xué)思想方法分析。在例題、定理證明活動(dòng)中，揭示其中隱含的數學(xué)思維過(guò)程，才能有效地培養和發(fā)展學(xué)生的數學(xué)思想方法。如運用類(lèi)比、歸納、猜想等思想，發(fā)現定理的結論，學(xué)會(huì )用化歸思想指導探索論證途徑等。
�、谠鰪娊忸}的數學(xué)思想方法指導。解題的思維過(guò)程都離不開(kāi)數學(xué)思想的指導，可以說(shuō)，數學(xué)思想指導是開(kāi)通解題途徑的金鑰匙。將解題過(guò)程從數學(xué)思想高度進(jìn)行提煉和反思，并從理論高度敘述數學(xué)思想方法，對學(xué)生真正理解掌握數學(xué)思想方法，產(chǎn)生廣泛遷移有重要意義。３、在知識的總結歸納過(guò)程中概括數學(xué)思想方法，以數學(xué)思想方法為主線(xiàn)貫穿相關(guān)知識
概括數學(xué)思想方法可以從某個(gè)概念、定理、公式和問(wèn)題教學(xué)中縱橫歸納，反過(guò)來(lái)也可以以數學(xué)思想方法統領(lǐng)相關(guān)知識，
總之，數學(xué)思想方法是數學(xué)的靈魂和精髓，我們在中學(xué)數學(xué)教材中，應努力體現數學(xué)思想方法，不失時(shí)機的向學(xué)生滲透數學(xué)思想方法，學(xué)生方能在運用數學(xué)解決問(wèn)題自覺(jué)運用數學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，這也是素質(zhì)教育的要求。
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