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培養數學(xué)思維方法的論文
一,數學(xué)方法的培養
如何加強數學(xué)方法的培養,我認為應做到以下幾點(diǎn):
(一)教師從思想上重視數學(xué)方法的培養.
在備課時(shí)把它與數學(xué)知識一同納入教學(xué)目的,既要注意數學(xué)知識的學(xué)習,又要注意數學(xué)方法的培養.數學(xué)知識,如概念,定理,公式,都明顯地寫(xiě)在教科書(shū)上,不會(huì )被人忽視,而數學(xué)方法是無(wú)形的東西,容易被忽視.這就需要教師在備課時(shí)注意有關(guān)的數學(xué)方法,留意從知識中發(fā)掘,提煉出數學(xué)方法并明確地告訴學(xué)生,闡述方法的作用,引起學(xué)生思想上的重視.
例如在講到函數應用時(shí),教師不能只滿(mǎn)足教學(xué)生解出題目結果,而應在解題中教給學(xué)生建立數學(xué)模型的方法及其目的,意義,并在整個(gè)解題過(guò)程中培養學(xué)生的分析,綜合,比較,抽象,洞察等多項能力.我們來(lái)看下面一道例題.
【例1】某人有5000元存入銀行,準備x年后才取出使用.它有兩種方式可供選用
(1)存x年期定期儲蓄,當時(shí)年利率6.66%,單利計息.
(2)一年期定期儲蓄,當時(shí)年利率5.22%,到期把利息轉入本金一并續存,這樣反復進(jìn)行,x年后結算,即復利計息(假定x年內利率不變).
試比較哪種方法在x年后結算時(shí)的本利和要高并求出5年后的本利和.
解:從本題可以看出隨著(zhù)年數的增加,本利和也將不斷增加,這樣就確定了一種函數的關(guān)系,即:年數是自變量,本利和是因變量.
我們設年數為x,設本利和為y.
(1)本金5000元,單利計息x年后的本利和:
y=5000(1+6.66%x)
(2)復利計息各年本利和分別為:
x年后的本利和為:.
這種對實(shí)際問(wèn)題舍去其具體內容,從中抽象出數量關(guān)系的方法就屬于"建立數學(xué)模型"的方法.其中(1)建立的數學(xué)模型為一次函數模型;(2)建立的數學(xué)模型為指數函數模型.這樣再解決x年后的本利和的計算問(wèn)題就十分清楚了.
我們要將兩種計息方法進(jìn)行比較,分別計算5年后的本利和:
當x=5時(shí),代入一次函數中,y=6665(元).
當x=5時(shí),代入指數函數中,y=6448.54(元).
分析比較結果發(fā)現,單利計息的本利和要高出復利計息的本利和.這樣,我們又通過(guò)不同的數學(xué)模型對現實(shí)的問(wèn)題進(jìn)行了解釋,達到了解決問(wèn)題的目的.
最后給出學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題的方法,以此題為例,解決單利,復利計息問(wèn)題的思路框圖是:
數學(xué)抽象
(轉化為數學(xué)問(wèn)題)
數學(xué)證明
實(shí)際解釋
(返回)
又如下題:
求:
解:要消去被積函數中的根式,可以利用三角公式:
設,
那么
于是,通過(guò)變量代換可將被積函數轉化成變量t的表達式,即
=
由于所以
利用輔助直角三角形,可得,
所以,
恒等變換不僅在初等數學(xué)中有重要作用,在高等數學(xué)中也有重要意義.在解題中逐漸滲透恒等變換的數學(xué)方法,使學(xué)生掌握將復雜問(wèn)題通過(guò)變換轉化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難的問(wèn)題通過(guò)變換轉化成容易的問(wèn)題的數學(xué)方法.而冪級數變換,拉普拉斯變換等也都是符合這種基本思想方法的.
在教學(xué)過(guò)程中,每當遇到這類(lèi)情形時(shí),教師就應盡力提煉出解決的思想實(shí)質(zhì),不失時(shí)機地告訴學(xué)生,使其思路開(kāi)闊,胸懷全局,不把眼光只局限于枝節的,具體的變換技巧和運算過(guò)程.
數學(xué)方法不只是證題的技巧性的方法,還要留意那些思考問(wèn)題的帶有一般性的認識論的方法.例如,從特殊到一般,先具體后抽象,先簡(jiǎn)單后復雜,局部與整體相連系等,把這些思想貫穿于日常的教學(xué)中,使其日漸熏陶,理解體會(huì ).這樣,就會(huì )逐漸使學(xué)生能站在較高的地位上考慮問(wèn)題.
(二)在解題的過(guò)程中多采用對比的手法以顯示方法的優(yōu)越性.
對比最具說(shuō)服力,能明顯地顯示出一種巧妙方法地優(yōu)越性,并能給學(xué)生思想上留下較深的記憶痕跡.
例如:證明,對于任意的正數x,y,z,總有
證明:如果直接去證則難度較大.但若用換元法,令
則原題變?yōu)?"如果a+b+c=0,則ab+bc+ca"
由于,所以
從而使原題得證.
又如:求拋物線(xiàn)上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標.
解:對此題,大部分學(xué)生會(huì )想到設點(diǎn)的坐標為(x,y),據題意列出一個(gè)二元二次方程組,在去解出x,y的值.這樣做運算復雜,容易出錯.如果應用數形轉化的思想方法,借助于拋物線(xiàn)的圖象,在根據拋物線(xiàn)的定義,就會(huì )想到拋物線(xiàn)上任意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準線(xiàn)的距離相等,這樣,就得到所求點(diǎn)的橫坐標為,再代入拋物線(xiàn)方程,這樣就可以求出縱坐標為,則這個(gè)點(diǎn)的坐標為.
通過(guò)解題方法的對比,可起到示范的作用,使學(xué)生看到靈活運用適當的數學(xué)方法的優(yōu)越性,從而引起自覺(jué)的注意.同時(shí),教師應當引導學(xué)生進(jìn)行回憶,一方面可以顯示方法的作用,另一方面更可使其從聯(lián)系,對比中學(xué)會(huì )更靈活地運用這種方法.
(三)對不同類(lèi)型的數學(xué)方法應有不同的教學(xué)要求并采用不同的教學(xué)方法.
對邏輯性的數學(xué)方法,應著(zhù)重講清邏輯結構,要求正確使用邏輯推理形式;對容易混淆的地方,如某些命題的否定,某些命題成立的充分條件,必要條件的表述與判定,要反復強調,并用通俗的例子來(lái)闡述;對技巧性的數學(xué)方法,則應注重培養運用方法的技巧,注意擴大應用方法的范圍;對宏觀(guān)的數學(xué)方法,如坐標方法,公理方法,應著(zhù)重理解其思想實(shí)質(zhì),認識到它們的重要作用.
(四)注意各種數學(xué)方法的綜合運用.
一道較復雜的數學(xué)問(wèn)題,常需在解決的不同階段使用不同的數學(xué)方法,各種方法的綜合運用,有利于數學(xué)能力的提高.
例如:證明
此題使用了放縮法和裂項法.象這樣聯(lián)合使用多種的數學(xué)方法,不但會(huì )起到鞏固,熟練使用方法的作用,更重要的是培養了學(xué)生的數學(xué)能力.
二,數學(xué)思維的培養
數學(xué)方法在教學(xué)中經(jīng)常用到,學(xué)生易于接受,而數學(xué)思維是一個(gè)比較抽象的概念,下面我們來(lái)了解以下有關(guān)數學(xué)思維的知識.
(一)數學(xué)思維及其性質(zhì)
1,數學(xué)思維
思維是人的理性認識過(guò)程.所謂數學(xué)思維,是指人關(guān)于數學(xué)對象的理性認識過(guò)程,廣義可理解為,包括應用數學(xué)工具解決各種實(shí)際問(wèn)題的思考過(guò)程.
數學(xué)思維與其他思維的區別在于數學(xué)科學(xué)研究的對象及數學(xué)科學(xué)的研究方法.數學(xué)研究的對象是數量關(guān)系與空間形式,而把事物的其他屬性看作是無(wú)足輕重的.數量關(guān)系是抽象,概括的產(chǎn)物.數學(xué)所討論的空間形式也是以現實(shí)對象為基礎加以理想化的結果.更深一步,人們還可以脫離開(kāi)具體的幾何形象,只是從它們的相互關(guān)系極其性質(zhì)中去認識空間形式.
2,創(chuàng )造性數學(xué)思維
所謂創(chuàng )造性思維,是指思維的結果或處理問(wèn)題的方法帶有新穎性,獨特性.這種思維并非一開(kāi)始就建立在嚴格的邏輯論證之上.
從思維過(guò)程的狀態(tài)來(lái)看,創(chuàng )造性思維從總體上總是表現為:
發(fā)散以便于聯(lián)想,尋找各種知識組塊之間的可能的組合,發(fā)現推理的起點(diǎn).收斂以便于集中思考,驗證由發(fā)散思維所得到的方案的可行性,對其補充,修正或提出新的方案.
3,數學(xué)思維的性質(zhì)
(1)抽象性.數學(xué)思維的抽象性,是指數學(xué)思維的對象與方法而言的.數學(xué)思維的對象是事物之間的數量關(guān)系或理想化了的空間形式,而它們又不是停留在一次抽象的結果上,通常都是經(jīng)過(guò)多次抽象而形成,呈現為形式化的東西.要認識這些形式化的東西,只有在與別的已經(jīng)形式化的東西的聯(lián)系中去認識.數學(xué)思維的方法在很大程度上是實(shí)現形式的轉化,用新的等價(jià)形式或更強的形式代替原有形式,而這些轉化出的形式又要是已掌握的形式.正是基于這兩種原因,使數學(xué)思維抽象化.
(2)嚴謹性.數學(xué)思維的嚴謹性是指思維的依據而言.
(3)統一性.數學(xué)思維的統一性是指思維的宏觀(guān)發(fā)展方向而言的.數學(xué)科學(xué)的研究,總是謀求用統一的理論概括零碎的事實(shí),這樣既便于簡(jiǎn)化研究,又能洞察到事物或現象的本質(zhì).例如:線(xiàn)型算子把微分,積分及各種線(xiàn)性運算統一起來(lái).
(二)數學(xué)思維的培養
既然數學(xué)知識是數學(xué)思維活動(dòng)升華的結果,那么,整個(gè)數學(xué)教學(xué)過(guò)程就是數學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.因此,如何通過(guò)數學(xué)教學(xué)自覺(jué)地培養學(xué)生的數學(xué)思維就成為值得探討的重要課題.
1,通過(guò)概念的教學(xué)培養數學(xué)思維.
數學(xué)概念的教學(xué),首先要認識概念引入的必要性,創(chuàng )設思維情境及對感性材料進(jìn)行分析,抽象,概括.此時(shí),如果教師能結合有關(guān)數學(xué)史談其必要性,將是培養學(xué)生創(chuàng )造性思維的大好時(shí)機.比如,為什么將實(shí)數域擴充到復數域,擴充的辦法為什么是這樣,這樣做的合理性在什么地方,又是如何想出來(lái)的等等.也就是說(shuō),數學(xué)概念教學(xué)的任務(wù),不僅要解決"是什么"的問(wèn)題,更重要的是"是怎樣想到的"問(wèn)題,以及有了這個(gè)概念之后,在此基礎上又是如何建立和發(fā)展理論的問(wèn)題.即首先要將概念的來(lái)龍去脈和歷史背景講清楚.其次,就是對概念的理解過(guò)程.這一過(guò)程是復雜的數學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.教師不僅應激發(fā)學(xué)生的學(xué)習動(dòng)機,還要進(jìn)一步引導學(xué)生對概念的定義的結構進(jìn)行分析,明確概念的內涵和外延,在此基礎上再啟發(fā)學(xué)生歸納概括出幾條基本性質(zhì),應用范圍以及利用概念進(jìn)行判斷等.總之,要從概念的形成過(guò)程中,既培養學(xué)生創(chuàng )造性的思維能力,又使他們學(xué)到科學(xué)的研究方法.
綜上所述,數學(xué)概念的教學(xué),從引入,理解,深化,應用等各個(gè)階段都伴隨著(zhù)重要的創(chuàng )造性思維活動(dòng)過(guò)程,因此都能達到培養學(xué)生數學(xué)思維的目的.
2,在數學(xué)定理的證明過(guò)程中培養學(xué)生的數學(xué)思維
數學(xué)定理的證明過(guò)程就是尋求,發(fā)現和做出證明的思維過(guò)程.數學(xué)定理,公式反映了數學(xué)對象的屬性之間的關(guān)系.關(guān)于這些關(guān)系的認識,一方面,要盡量創(chuàng )造條件,從感性認識和學(xué)生的已有知識入手,以調動(dòng)學(xué)生學(xué)習定理,公式的積極性,讓學(xué)生了解定理,公式的形成過(guò)程,并要設法使學(xué)生體會(huì )到尋求真理的樂(lè )趣.另一方面,定理一般是在觀(guān)察的基礎上,通過(guò)分析,比較,歸納,類(lèi)比,想象,概括成抽象的命題.這是一個(gè)思考,估計,猜想的思維過(guò)程.定理的結論最好由教師引導學(xué)生獨立完成,這樣既有利于學(xué)生創(chuàng )造性思維的訓練,也有利于學(xué)生分清定理的條件和結論,從而對進(jìn)一步做出嚴格的論證奠定基礎.
定理和公式的證明是數學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),因為它承擔著(zhù)雙重任務(wù),一是它的證明方法一般具有典型性,學(xué)生掌握了這些方法后可達到舉一反三的目的,二是通過(guò)定理的證明發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng )造性思維.
綜上所述,只有強化數學(xué)思維和數學(xué)方法的培養,才有利于提高學(xué)生運用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣,有利于提高學(xué)生的學(xué)習積極性和自覺(jué)性,更好地達到和完成學(xué)校教育的任務(wù).
參考數目:
徐利治:《數學(xué)方法論選講》,華中工學(xué)院出版社.
錢(qián)學(xué)森:《關(guān)于思維科學(xué)》,上海人民出版社.
數學(xué)模型:函數.
一次函數與指數
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