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如何使數學(xué)教學(xué)成為數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)
前蘇聯(lián)著(zhù)名家斯托利亞爾在他所著(zhù)的《數學(xué)教育學(xué)》一書(shū)中指出：“數學(xué)教學(xué)是數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)（思維活動(dòng)的教學(xué)）�！边@種提法，是符合數學(xué)教育要求的，在數學(xué)教育改革的今天，使數學(xué)教學(xué)成為數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)非常必要。所謂數學(xué)活動(dòng)是指把數學(xué)教學(xué)的積極性概念作為具有一定結構的思維活動(dòng)的形式和發(fā)展來(lái)理解的。按這種解釋?zhuān)瑪祵W(xué)活動(dòng)教學(xué)所關(guān)心的不是活動(dòng)的結果，而是活動(dòng)的過(guò)程，讓不同思維水平的兒童去不同水平的，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，開(kāi)發(fā)智力。
那么，要想使數學(xué)教學(xué)成為數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)主要應考慮哪幾個(gè)問(wèn)題呢？下面談?wù)劰P者一些想法。
一、考慮學(xué)生現有的知識結構
知識和思維是互相聯(lián)系的，在進(jìn)行某種思維活動(dòng)的教學(xué)之前，首先要考慮學(xué)生的現有知識結構。
什么是知識結構？一般人們認為：在數學(xué)中，包括定義、公理、定理、公式、等，它們之間存在的聯(lián)系以及人們從一定角度出發(fā)，用某種觀(guān)點(diǎn)去描述這種聯(lián)系和作用，，歸納為一個(gè)系統，這就是知識結構。在教學(xué)中只有了解學(xué)生的知識結構，才能進(jìn)一步了解思維水平，考慮教新知識基礎是否夠用，用什么樣的教法來(lái)完成數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。
例如：在講解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0 a≠0]時(shí)，討論它的解，須用到配方法，或因式分解法等等，那么上課前教師要清楚這些方法學(xué)生是否掌握，掌握程度如何，這樣，活動(dòng)教學(xué)才能順利進(jìn)行。
二、考慮學(xué)生的思維結構
數學(xué)教學(xué)是數學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，進(jìn)行數學(xué)教學(xué)時(shí)應考慮學(xué)生現有的思維活動(dòng)水平。
心早已證明，思維能力及智力品質(zhì)都隨著(zhù)青少年年齡的遞增而發(fā)展，學(xué)生的思維水平在不同的年齡階段上是不相同的。斯托利亞爾在《數學(xué)教育學(xué)》中介紹了兒童在幾何、代數時(shí)的五種不同水平，在這五個(gè)階段上，學(xué)生掌握知識，思考方式、方法，思維水平都有明顯差異。因此，要使數學(xué)教學(xué)成為數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)必須了解學(xué)生的思維水平。下面談?wù)勁c學(xué)生思維水平有關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題。
1．中學(xué)生思維能力之特點(diǎn)
我們知道，中學(xué)生的運算思維能力處于邏輯抽象思維階段，盡管思維能力的幾個(gè)方面的發(fā)展有所先后，但總的趨勢是一致的。初一學(xué)生的運算能力與小學(xué)四、五年級有類(lèi)似之處，處于形象抽象思維水平；初二與初三學(xué)生的運算能力是屬于經(jīng)驗型的抽象邏輯思維；高一與高二學(xué)生的運算能力的抽象思維，處在由經(jīng)驗型水平向型水平的急劇轉化的時(shí)期。從概括能力、空間想象能力、命題能力和推理能力四項指標來(lái)看，初二年級是邏輯抽象思維的新的起步，是中學(xué)階段運算思維的質(zhì)變時(shí)期，是這個(gè)階段的關(guān)鍵時(shí)期。高一年級是邏輯抽象思維階段中趨于初步定型的時(shí)期，高中之后，學(xué)生的運算思維走向成熟�？偟膩�(lái)說(shuō)，中學(xué)生思維有如下特點(diǎn)。
首先，整個(gè)中學(xué)階段，學(xué)生的思維能力得到迅速發(fā)展，他們的抽象邏輯思維處于優(yōu)勢地位，但初中學(xué)生的思維和高中學(xué)生的思維是不同的。初中學(xué)生的思維，抽象邏輯思維雖然開(kāi)始占優(yōu)勢，可是在很大程度上還屬于經(jīng)驗型，他們的邏輯思維需要感性經(jīng)驗的直接支持。而高中學(xué)生的抽象邏輯思維則屬于理論型的，他們已經(jīng)能夠用理論作指導來(lái)、綜合各種事實(shí)材料，從而不斷擴大自己的知識領(lǐng)域。也只有在高中學(xué)生那里，才開(kāi)始有可能初步了解對立統一的辯證思維規律。
其次，初中二年級是中學(xué)階段思維發(fā)展的關(guān)鍵期。從初中二年級開(kāi)始，中學(xué)生抽象邏輯思維開(kāi)始由經(jīng)驗型水平向理論型水平轉化，到高中一、二年級，這種轉化初步完成，這意味著(zhù)他們的思維趨向成熟。這就要求教師，要適應他們思維發(fā)展的飛躍時(shí)期來(lái)進(jìn)行適當的思維訓練，使他們的思維能力得到更好的發(fā)展。
2．學(xué)習數學(xué)的幾種思維形式
�。�1）逆向思維。與由條件推知結論的思維過(guò)程相反，先給出某個(gè)結論或答案，要求使之成立各種條件。比如說(shuō)，給一個(gè)濃度問(wèn)題，我們列出一個(gè)方程來(lái)；反過(guò)來(lái)，給一個(gè)方程，就能編出一個(gè)濃度方面的題目。后者就屬于逆向型思維。
�。�2）造例型思維。某些條件或結論常常要用例子說(shuō)明它的合理性，也常常要用反例證明其不合理性。根據要求構造例子，往往是由抽象回到具體，綜合運用各種知識的思考過(guò)程。例如：試求其反函數等于自身的函數。
�。�3）歸納型思維。通過(guò)觀(guān)察，試驗，在若干個(gè)例子中提出一般規律。
�。�4）開(kāi)放型思維。即只給出研究問(wèn)題的對象或某些條件，至于由此可推知的問(wèn)題或結論，由學(xué)生自己去探索。比如讓學(xué)生觀(guān)察y＝sinx的圖象，說(shuō)出它的主要性質(zhì)，并逐一加以說(shuō)明。
了解了學(xué)生的思維特點(diǎn)和數學(xué)思維的幾種主要形式，在教學(xué)中，結合教材的特點(diǎn)，運用有效的教學(xué)方法，思維活動(dòng)的教學(xué)定能收到良好效果。
三、考慮教材的邏輯結構
我們現有的中學(xué)數學(xué)教材有的是按直線(xiàn)式排列，有的是按螺旋式排列。
如果進(jìn)行數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，教材的邏輯結構就應有相應的變化。比方說(shuō)，指數、對數、開(kāi)方三種不同形式都可表示為：a、b、N之間的關(guān)系a的b次冪等于N，是否可以把它們安排在一起。再比方說(shuō)，關(guān)于一元一次方程題，中學(xué)課本里有濃度、行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、等積問(wèn)題，在講解時(shí)，可用一個(gè)方程表示不同問(wèn)題，使他們得到統一，只是問(wèn)題形式不同而已，其方程形式?jīng)]有什么本質(zhì)差異，可一次講完幾個(gè)問(wèn)題。而現有中學(xué)教材把它們分開(kāi)，使學(xué)生覺(jué)得似乎幾種問(wèn)題毫不相干。因為這些問(wèn)題具體不同的思維形式，要受小學(xué)、初中和高中學(xué)生各階段思維不同特點(diǎn)的制約。
數學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，就是要盡量克服這些制約，使學(xué)生在短期內高質(zhì)量獲取知識，大幅度提高思維能力，完成學(xué)習任務(wù)。
在考慮教材邏輯結構時(shí)，還應明確的一個(gè)問(wèn)題是教材內容的特點(diǎn)，即初等數學(xué)有些什么特點(diǎn)，對它應有一個(gè)總的認識。
1．初等數學(xué)是相對于抽象程度來(lái)說(shuō)的，其內容都比較直觀(guān)具體，的對象大多可以看得見(jiàn)、摸得著(zhù)，抽象程度不深，離開(kāi)現實(shí)不遠，幾乎直接同人們的經(jīng)驗相聯(lián)系。
2．初等數學(xué)是一門(mén)綜合性數學(xué)，它數形并舉，內容多種多樣，方法應有盡有，分成幾個(gè)部分，各部分又相互滲透，相互為用。
3．初等數學(xué)處于基礎地位。因為無(wú)論數學(xué)多么高深，總離不開(kāi)四則運算，總要應用等式、不等式和基本圖形。初等數學(xué)又是整個(gè)數學(xué)的土壤和源泉，各專(zhuān)業(yè)數學(xué)領(lǐng)域幾乎都是在這塊土壤中發(fā)育成長(cháng)起來(lái)的。
4．初等數學(xué)的普通價(jià)值。對中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，它的智能訓練價(jià)值遠遠超過(guò)了它的實(shí)用價(jià)值。
5．與高等數學(xué)相互滲透，相互為用。一方面，由于實(shí)踐中某些問(wèn)題的出現，使初等方法被深入研究和發(fā)展成專(zhuān)門(mén)的數學(xué)分支，另一方面是高等數學(xué)中許多專(zhuān)題的初等化、通俗化。
初等數學(xué)具有這樣的特點(diǎn)，不僅為編寫(xiě)教材提供了依據，同時(shí)對數學(xué)活動(dòng)教學(xué)的模式來(lái)說(shuō)也是恰到好處的。比方說(shuō)，特點(diǎn)1，對于經(jīng)驗材料的數學(xué)化有得天獨厚的幫助；特點(diǎn)2、3，對數學(xué)標準的邏輯組織化也很適宜；特點(diǎn)4、5，是對的應用。由此看來(lái)，數學(xué)活動(dòng)教學(xué)對于初等數學(xué)再合適不過(guò)了。
數學(xué)活動(dòng)教學(xué)，不僅考慮初等數學(xué)之特點(diǎn)、教材的邏輯結構，而且具體的某段知識也要仔細研究，不同性質(zhì)的內容用不同方法去處理，這就是下面要談的積極的教學(xué)方法問(wèn)題。
四、考慮積極的教學(xué)方法
關(guān)于教學(xué)方法的研究呈現出一派興旺的局面，種類(lèi)之多、提法之廣是上少見(jiàn)的。如目前使用的自學(xué)輔導法、讀讀議議講講練練教學(xué)法、六單元教學(xué)法、五課型教學(xué)法、自學(xué)議論引導教學(xué)法、啟發(fā)誘導效果回授教學(xué)法、研究法、發(fā)現法等等�？梢园堰@些方法歸結為一句話(huà)，那就是：積極的教學(xué)法。其宗旨是在傳授知識的同時(shí)，重視發(fā)展智力、培養能力。它們的特點(diǎn)是：充分調動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生獨立解決一些問(wèn)題，注意能力的培養。從實(shí)踐效果看，這些方法在某個(gè)階段，對某部分學(xué)生，結合某部分內容確實(shí)有事半功倍功能，但這些方法哪個(gè)都不是萬(wàn)能的，不是教學(xué)通法。因為教法要受學(xué)生水平的差異，興趣的不同，教材內容的變化，教師素質(zhì)不平衡等各方面條件的限制。
我們主張，采用積極的教學(xué)法，因課、因人、因時(shí)、因地而異。比方說(shuō)，對于教材內容多數是邏輯上分散的數學(xué)定義和公理等采用自學(xué)輔導法較為適宜；對于教材中的一般公式、定理等采用問(wèn)題探索法較好；對于教材中理論性較強的難點(diǎn)，一般采用講解法較好。教師要靈活掌握。
數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)實(shí)質(zhì)上是積極性思維活動(dòng)的教學(xué)，因此，在教學(xué)中調動(dòng)學(xué)生積極性極為重要。一般來(lái)說(shuō)，教學(xué)內容的生動(dòng)性，方法的直觀(guān)性、趣味性，教師和家長(cháng)的良好評價(jià)，學(xué)習成績(jì)的好壞，都可以推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習，提高積極性。另外，如課外活動(dòng)，參觀(guān)工廠(chǎng)、機房，介紹數學(xué)在各行中的應用，尤其是數學(xué)應用在各領(lǐng)域取得重大成果時(shí)，能夠促進(jìn)青少年擴大視野，豐富知識，增進(jìn)技能，從而發(fā)展他們的思維能力，提高學(xué)習的積極主動(dòng)性。也可講一點(diǎn)數學(xué)史方面的知識，比如我國古代家的重大貢獻及在世界上的，也能激發(fā)學(xué)生的積極性。
另外，從學(xué)習方法上看，隨著(zhù)學(xué)科多樣化和深刻化，中學(xué)生的學(xué)習方法比小學(xué)生更自覺(jué)，更具有獨立性和主動(dòng)性。因此，在教學(xué)中教師就要注意啟發(fā)學(xué)生的積極思維。
究竟怎樣啟發(fā)學(xué)生去積極思維呢？方法是多種多樣的。比方說(shuō)，創(chuàng )設問(wèn)題情境，正確提供直觀(guān)材料讓學(xué)生從具體轉到抽象，也可運用已有知識學(xué)習新知識，把新舊知識聯(lián)系起來(lái)。還可以把語(yǔ)言和思維結合起來(lái)，達到啟發(fā)思維的目的。
從上面幾個(gè)方面來(lái)比較，數學(xué)活動(dòng)教學(xué)的核心是教學(xué)方法，因此教學(xué)方法的采用，直接影響活動(dòng)教學(xué)的效果。
為使數學(xué)活動(dòng)教學(xué)收到良好效果，目前沒(méi)有一個(gè)成熟的模式，具體做法也少見(jiàn)。南通市十二中李庚南在過(guò)去經(jīng)驗基礎上，提出幾種有效的方法。
首先，重視結論的探求過(guò)程。數學(xué)中的結論教師一般不直接給出，而是引導學(xué)生運用觀(guān)察、實(shí)驗、練習、歸納等方法發(fā)現命題，爾后深入研究探求的過(guò)程和論證的方法，進(jìn)而剖析結論的內容，舉實(shí)例將結論內容具體化。
其次，是溝通知識間的內在聯(lián)系。她認為：數學(xué)有著(zhù)嚴密的體系，學(xué)生揭示數學(xué)知識之間縱橫交錯的內在聯(lián)系，是學(xué)生主動(dòng)思維活動(dòng)的過(guò)程，可引導學(xué)生按知識的發(fā)生、發(fā)展、變化關(guān)系或邏輯關(guān)系整理出一個(gè)單元的知識結構和基本的研究方法，進(jìn)行知識的引申、串變，提高學(xué)生靈活運用知識的能力。
第三，是注重數學(xué)語(yǔ)言的表達。
以上的做法確實(shí)收到了良好效果，但要結合自己的教學(xué)實(shí)際，靈活運用，完成數學(xué)活動(dòng)教學(xué)的任務(wù)。
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