考研數學(xué)線(xiàn)性代數的知識點(diǎn)框架
線(xiàn)性代數的學(xué)習切入點(diǎn)是線(xiàn)性方程組。換言之，可以把線(xiàn)性代數看作是在研究線(xiàn)性方程組這一對象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。
線(xiàn)性方程組
線(xiàn)性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個(gè)數n可以相同，也可以不同。
關(guān)于線(xiàn)性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：
1、方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題；
2、方程組如何求解，有多少個(gè)；
3、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內在聯(lián)系，即解的結構問(wèn)題。
高斯消元法
這最基礎和最直接的求解線(xiàn)性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：
1、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；
2、交換某兩個(gè)方程的位置；
3、用某個(gè)常數k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換。
任意的線(xiàn)性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數的值，從而求得方程組的解。
對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數按某種方式構成的表稱(chēng)為矩陣。
可以用矩陣的.形式來(lái)表示一個(gè)線(xiàn)性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達上都更加簡(jiǎn)潔。
系數矩陣和增廣矩陣
高斯消元法中對線(xiàn)性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線(xiàn)性方程組，都可以通過(guò)對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱(chēng)為該行的主元。
對不同的線(xiàn)性方程組的具體求解結果進(jìn)行歸納總結（有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解），再經(jīng)過(guò)嚴格證明，可得到關(guān)于線(xiàn)性方程組解的判別定理：首先是通過(guò)初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現d=0這一項，則方程組無(wú)解，若未出現d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等于未知量數目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無(wú)窮多解。
在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習慣。
齊次方程組
常數項全為零的線(xiàn)性方程稱(chēng)為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個(gè)數若小于未知量個(gè)數，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問(wèn)題：解的存在性問(wèn)題和如何求解的問(wèn)題，這是以線(xiàn)性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的最基本理論。
對于n個(gè)方程n個(gè)未知數的特殊情形，我們發(fā)現可以利用系數的某種組合來(lái)表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱(chēng)為一個(gè)線(xiàn)性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個(gè)數。
通過(guò)對行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。
用系數行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內容。
【考研數學(xué)線(xiàn)性代數的知識點(diǎn)框架】相關(guān)文章：
考研數學(xué)線(xiàn)性代數復習知識點(diǎn)07-17
考研數學(xué)線(xiàn)性代數歷年考點(diǎn)及知識點(diǎn)整理06-26
考研數學(xué)中線(xiàn)性代數的考試重點(diǎn)05-30
2018考研數學(xué)線(xiàn)性代數復習規劃06-22
考研數學(xué)線(xiàn)性代數各章節考點(diǎn)06-05