解讀高中數學(xué)中的抽象函數

　　抽象函數問(wèn)題是高中函數中的一類(lèi)綜合性比較強的問(wèn)題,學(xué)生往往感到無(wú)從下手。解決這類(lèi)問(wèn)題要求學(xué)生抽象思維能力、綜合運用數學(xué)知識的能力較強,但是,教師只要引導學(xué)生準確掌握所學(xué)基本初等函數的圖象和性質(zhì),分清是哪一類(lèi)函數的抽象,可以?xún)?yōu)化思路,使問(wèn)題難度降低,從而得以解決。

　　下面舉例說(shuō)明:

　　形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數)

　　思路:看作 一次函數的抽象,聯(lián)想一次函數的圖象及性質(zhì)。特例:m=0時(shí),聯(lián)想過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。

　　例1.函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時(shí),f(x)>1.

　　(1)求證:f(x)是R上的增函數;

　　(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

　　(1)證明:設x10,

　　∵x>0時(shí),f(x)>1

　　∴f(x2-x1)>1,

　　∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)

　　=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)

　　=f(x2-x1)-1>0

　　(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,∴f(2)=3.

　　又f(x)是R上的增函數,

　　∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)

　　∴f(x)是R上的增函數.∴f(3m2-m-2)<3

　　f(3m2-m-2)

　　3m2-m-2<2 -1

　　解得不等式解集為{m|-1

　　點(diǎn)評 1.回歸定義,充分運用已知條件:x>0時(shí),f(x)>0 △x=x2-x1>0,f(x2-x1)>1

　　2.等價(jià)轉化思想:運用函數的單調性,去掉函數符號,轉化為解關(guān)于m的不等式。

　　思路:聯(lián)想冪的運算性質(zhì),可看作指數函數的抽象,結合指數函數的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題。

　　抽象函數問(wèn)題,需要綜合運用函數的奇偶性,單調性,周期性,對稱(chēng)性等性質(zhì),應用分析,邏輯推理,聯(lián)想類(lèi)比等數學(xué)思想方法。

　　常見(jiàn)題型有:

　�、偾蟪橄蠛瘮档哪骋缓瘮抵�:根據函數結構特征,用賦值法。

　�、谂�(證)抽象函數的單調性:類(lèi)比所學(xué)具體函數,充分運用已知條件,對變量合理賦值。

　�、劢怅P(guān)于抽象函數的不等式:一看定義域,一看單調性。

　　只要掌握相應的解題策略,問(wèn)題便會(huì )化難為易,迎刃而解。

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