高中數學(xué)應用問(wèn)題的教學(xué)

摘要：培養和提高中學(xué)生的數學(xué)應用意識，是中學(xué)數學(xué)教育教學(xué)的迫切要求。本文對高
中數學(xué)應用問(wèn)題的教學(xué)進(jìn)行了探討。
關(guān)鍵詞：數學(xué)應用問(wèn)題；數學(xué)應用意識；學(xué)生
作者簡(jiǎn)介：文興奎，任教于甘肅臨洮二中。
        培養和提高中學(xué)生的數學(xué)應用意識，是中學(xué)數學(xué)教育教學(xué)的迫切要求，在中學(xué)數學(xué)教學(xué)過(guò)程的始終都應注重學(xué)生應用意識的培養。近年來(lái)高考中，對應用問(wèn)題的考查逐年增大了。 
        一、高中數學(xué)教材中的應用問(wèn)題
        1.每一章的序言都編排了一個(gè)現實(shí)中的應用問(wèn)題，引入該章的知識內容，以突出知識的實(shí)際背景。如在第三章《數列》以趣味話(huà)題：“國王對國際象棋棋盤(pán)發(fā)明者獎勵的麥粒數 ”的計算作為章頭序言，激發(fā)學(xué)習欲望，增加教材內容的趣味性。
        在教材的編排上，既用通俗易懂的語(yǔ)言陳述問(wèn)題，又附以插圖增強直觀(guān)形象性、趣味性。 
        2.在研究“具體問(wèn)題”時(shí)以實(shí)際例子引入課題 
        高中數學(xué)的十章內容中，分別就概念引入、實(shí)例說(shuō)明、數學(xué)表示等方面有三十一處都恰當地運用了實(shí)際問(wèn)題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問(wèn)題”表示分段函數，用功和位移的關(guān)系引入向量數量積的概念等。實(shí)例引入增強了問(wèn)題的實(shí)際背景，為順利解決問(wèn)題作了鋪墊。 
        3.例題中的應用問(wèn)題 
        例題中安排應用問(wèn)題，一方面可以培養學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養學(xué)生的應用意識，而且通過(guò)范例講解，使學(xué)生掌握解決應用問(wèn)題的一般思想和方法。新教材的十章內容中共有 41 個(gè)例題是涉及數學(xué)應用的，占例題總數的14.6%，它們都非常接近學(xué)生的生活實(shí)際和所學(xué)知識，難易適中，示范性強。 
        4.練習、習題、復習題中增加了應用問(wèn)題的分量 
        為使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，新教材在練習題、習題、復習題中增加了大量的應用問(wèn)題，其中練習題有45題，占總數的12.4%；習題有 105題，占總數的18.15%；復習題有50題，占總數的14.91%。分別涉及增長(cháng)率、行程問(wèn)題、物理、化學(xué)、生物問(wèn)題、儲蓄等各個(gè)方面，量大面寬，情景新穎，融知識性、趣味性、自主實(shí)踐性于一體。 
        二、高中數學(xué)應用題問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐
        高中學(xué)生年齡一般在15~17周歲，他們認識過(guò)程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動(dòng)帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經(jīng)驗型”向“理論型”急劇轉化，能夠逐步擺脫具體形象和直接經(jīng)驗的限制，借助于概念進(jìn)行合乎邏輯的抽象思維活動(dòng)，開(kāi)始在教師幫助下獨立地搜集事實(shí)材料，進(jìn)行分析綜合，抽象概括事物的本質(zhì)屬性。因此，應結合學(xué)生的心理特點(diǎn)和思維規律進(jìn)行應用問(wèn)題的教學(xué)。 
        1.重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練
        為培養學(xué)生的應用意識，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中首先應結合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答應用題的基本方法、步驟和建模過(guò)程、建模思想。 
        教學(xué)應用題的常規思路是：將實(shí)際問(wèn)題抽象、概括、轉化——數學(xué)問(wèn)題——解決數學(xué)問(wèn)題——回答實(shí)際問(wèn)題。具體可按以下程序進(jìn)行： 
        (1)審題：由于數學(xué)應用的廣泛性及實(shí)際問(wèn)題非數學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問(wèn)題，舍棄與數學(xué)無(wú)關(guān)的因素，抽象轉化成數學(xué)問(wèn)題，分清條件和結論，理順數量關(guān)系。為此，引導學(xué)生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問(wèn)題中所含的量及相關(guān)量的數學(xué)關(guān)系。對學(xué)生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數學(xué)化。 
        (2)建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著(zhù)怎樣的聯(lián)系？將文字語(yǔ)言轉化成數學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數學(xué)知識，建成數學(xué)模型。 
        (3)求解數學(xué)問(wèn)題，得出數學(xué)結論 
        (4)還原：將得到的結論，根據實(shí)際意義適當增刪，還原為實(shí)際問(wèn)題。
         例：某城市現有人口總數100萬(wàn)人，如果年自然增長(cháng)率為1.2%，寫(xiě)出該城市人口總數y(人)與年份x(年)的函數關(guān)系式：
        這是一道人口增長(cháng)率問(wèn)題，教學(xué)時(shí)為幫助學(xué)生審題，筆者在指導學(xué)生閱讀題時(shí)提出以下要求： 
        (1)粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語(yǔ)句，哪些有用信息？解釋“年自然增長(cháng)率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長(cháng)率，城市變化后的人口數等關(guān)鍵量。 
        (2)細想，問(wèn)題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？ 
        (3)建模，啟發(fā)學(xué)生分析這道題與學(xué)過(guò)的、見(jiàn)過(guò)的哪些問(wèn)題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對此有何幫助？ 
        學(xué)生討論后，從特殊的1年、2年……抽象歸納，尋找規律，探討x年的城市總人口問(wèn)題：y=100(1+1.2%)x       2.引導學(xué)生將應用問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi) 
        為了增強學(xué)生的建模能力，在應用問(wèn)題的教學(xué)中，及時(shí)結合所學(xué)章節，引導學(xué)生將應用問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)使學(xué)生掌握熟悉的實(shí)際原型，發(fā)揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學(xué)建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長(cháng)率(或減少率)問(wèn)題；②行程問(wèn)題；③合力的問(wèn)題；④排列組合問(wèn)題；⑤最值問(wèn)題；⑥概率問(wèn)題等。這樣，學(xué)生遇到應用問(wèn)題時(shí)，針對問(wèn)題情景，就可以通過(guò)類(lèi)比尋找記憶中與題目相類(lèi)似的實(shí)際事件，利用聯(lián)想建立數學(xué)模型。 
        3.針對不同內容采取不同教法
        高中新教材的數學(xué)應用問(wèn)題遍及教材的各個(gè)方面，教學(xué)時(shí)針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會(huì )取得較好的效果。 
        (1)章頭序言，指導閱讀，留下懸念 
        對圖文并茂的章頭序言，由教師簡(jiǎn)單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問(wèn)題的欲望。 
        (2)重視例題的示范作用 
        例題是連接理論知識與問(wèn)題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時(shí)應在分析題目各個(gè)量的特點(diǎn)關(guān)系、建模、解決數學(xué)問(wèn)題、還原為實(shí)際問(wèn)題諸環(huán)節都應很好地起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、尋求基本實(shí)際模型的能力，重視數學(xué)理論知識與實(shí)際應用的聯(lián)系。 
        (3)指導練習，鞏固方法 
        充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，運用所學(xué)的知識解決實(shí)際問(wèn)題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業(yè)的機會(huì )，主要糾正數學(xué)語(yǔ)言轉化過(guò)程及解題的規范過(guò)程；復習題由于綜合性強，學(xué)生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。 
        (4)課外閱讀，補充提高 
        對于不作教學(xué)要求的閱讀材料，根據教學(xué)進(jìn)度提出閱讀要求，布置學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，培養學(xué)生的閱讀能力，擴大知識面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。 
        (5)研究性課題，重視自主探究 
        “研究性課題”是新教材中的一個(gè)專(zhuān)題性欄目，具有探究性和應用性的特點(diǎn)，它既是所學(xué)內容的實(shí)際綜合應用，又對學(xué)生探究和解決問(wèn)題具有較好的訓練價(jià)值。 
        總之，在數學(xué)應用問(wèn)題的教學(xué)和對學(xué)生學(xué)習的指導中，應重視介紹數學(xué)知識的來(lái)龍去脈。 
        一般情況下，數學(xué)知識的產(chǎn)生不外乎實(shí)際的需要和數學(xué)內部的需要，高中階段所學(xué)的知識大都是來(lái)源于實(shí)際生活，許多數學(xué)知識都有具體直接的應用，如高二運用不等式的性質(zhì)計算最值、線(xiàn)性規劃，高三的概率統計等，應該讓學(xué)生充分實(shí)踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎上讓學(xué)生感受和體驗數學(xué)的應用價(jià)值。 
        其次，學(xué)會(huì )運用數學(xué)語(yǔ)言描述周?chē)�世界中出現的數學(xué)現象 
        數學(xué)語(yǔ)言可以清楚、簡(jiǎn)潔、準確地描述日常生活中的許多現象，讓學(xué)生養成樂(lè )意運用數學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的習慣，既可以增強學(xué)生應用數學(xué)的意識，也可以提高學(xué)生運用數學(xué)的能力。在教學(xué)中，需幫助學(xué)生形成一個(gè)開(kāi)闊的視野，了解數學(xué)對于人類(lèi)發(fā)展的應用價(jià)值。在知識實(shí)踐、能力培養的基礎上，教師應主動(dòng)地向學(xué)生展示現實(shí)生活中的數學(xué)信息和數學(xué)的廣泛應用，向學(xué)生提供豐富的閱讀材料，讓學(xué)生感受到現實(shí)生活與數學(xué)知識是密切相關(guān)、處處聯(lián)系的。 
        最后，關(guān)于應用問(wèn)題中的算法問(wèn)題。新教材要求用科學(xué)計算器處理、計算數值，在例題、習題中給出的數據都比較復雜，筆者認為高中數學(xué)應用題的重點(diǎn)是數學(xué)建模，所以，正確建模，明白算法、算理應占主流，一味追求“實(shí)際”，多次出現一些復雜數據，會(huì )沖淡主要問(wèn)題的解決。事實(shí)上，每節中只要有一兩道實(shí)際數據的題目，其他的可選擇特殊數據或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會(huì )加強應用問(wèn)題的分析，節省時(shí)間，體現字母代數的優(yōu)越性。

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