傅氏變換中的問(wèn)題探究論文
摘 要：求解函數的傅里葉變換是分析信號與線(xiàn)性系統輸入與輸出關(guān)系的主要手段之一，靈活地運用傅氏變換對線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行頻域分析具有重要的作用。本文首先分析了傅氏變換的實(shí)質(zhì)以及其具有的物理意義，然后就傅氏變換的求解過(guò)程中經(jīng)常出現的問(wèn)題給與了詳細解釋。使得我們在以后的求解過(guò)程終能有效地避開(kāi)關(guān)于沖擊項的討論，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程。
關(guān)鍵詞：傅里葉變換；沖擊函數；微分特性；積分特性
1 引言
在現代數學(xué)中，傅里葉變換有著(zhù)廣泛的應用，無(wú)論是在聲學(xué)、數字信號處理方面還是在生物醫學(xué)工程甚至核科學(xué)的研究上無(wú)不發(fā)揮著(zhù)重要的作用，因此正確的求解傅氏變換是科研工作人員所必須具有的基本素質(zhì)之一。而我們在學(xué)習傅氏變換的過(guò)程中，有非常容易丟掉一些關(guān)于沖擊項的傅氏變換部分，這就使我們不得不尋找一些方法來(lái)避免這些成分的丟失。
2 傅氏變換理論
2.1 傅氏變換的實(shí)質(zhì)
對于一些周期函數我們要進(jìn)行頻譜分析時(shí)，常利用傅氏級數對其進(jìn)行展開(kāi)，展開(kāi)公式為：
其中。
很明顯，周期函數的頻譜特性是離散的。而對于非周期信號來(lái)講，可將其周期看做是無(wú)窮大，這樣頻譜相鄰譜線(xiàn)間的間隔將無(wú)限趨小，譜線(xiàn)無(wú)限密集，這也就意味著(zhù)其頻譜特性是連續的。同時(shí)，由于周期無(wú)限趨大，復振幅亦無(wú)限趨小。于是等式兩邊同乘以，以顯示出各頻率分量的振幅差異。這也就是我們所定義的傅里葉變換。即：
從上式我們也可以看出具有單位頻帶振幅的性質(zhì)。故傅里葉變換實(shí)則為的頻譜密度函數。這時(shí)我們再討論直流分量的傅里葉變換就不顯得那么困難了，從物理意義上來(lái)講直流分量的頻率不存在即為0，那么直流分量的振幅就全部降落在0或者從極限的角度講為，降落在趨近于零的一個(gè)非常狹小的區間上，用振幅比上這樣一個(gè)狹小的頻帶，可想而知其結果就是一個(gè)在零點(diǎn)的沖擊。當然，我們在數學(xué)演算時(shí)，還要添加一個(gè)系數。即：。
2.2傅里葉變換的重要性質(zhì)
2.2.1微分特性
如果在上連續或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且，則
推廣式：
需要指出的是，此微分性質(zhì)只是充分的，并不能利用它進(jìn)行傅里葉變換的反向求解。
2.2.2積分特性
若，則例1的錯誤原因是由于沒(méi)有考慮到微分性質(zhì)的非必要性。因而遺漏了沖擊項，而此時(shí)我們利用上面所給的積分性質(zhì)，并考慮到
可以看到此種解法是正確的。隨著(zhù)我們學(xué)習的深入，逐漸會(huì )發(fā)現該積分特性仍存在不少缺陷，他只能夠求得某種特定的函數的傅里葉變換，對于一般的函數仍不適用。g1（t），故由導數的頻譜只可直接求得。，則需要計及積分常數的影響，故需尋求統一的公式來(lái)完成這類(lèi)函數求解。
3 結論
由以上分析可知，當函數無(wú)直流分量時(shí)，可以利用微分性質(zhì)加“沖擊法”來(lái)求解其傅氏變換，其結果是正確的，但過(guò)程仍是錯誤的。如果有直流分量，則傅氏變換后結果中必有沖擊，這時(shí)可利用上面通式進(jìn)行求解。以保證結果不缺少沖擊項。在電子線(xiàn)路中，如果計算中丟失沖擊項，就相當于計算中丟失了直流分量，會(huì )對結果造成很大誤差，應予以避免。
參考文獻：
[1] 張炎生、周玨《“沖擊法""在求函數傅氏變換中的應用》 1996
[2] 徐小蓉 《傅里葉變換及其應用》 教育在線(xiàn) 2009
[3] 張祥芝等 工程數學(xué)教程 中國礦業(yè)大學(xué)出版社 2008
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