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淺談經(jīng)濟問(wèn)題中的數學(xué)建模應用
摘 要：微分方程是一類(lèi)應用十分廣泛而且常見(jiàn)的數學(xué)模型。它在經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)和物理學(xué)中有著(zhù)重要的輔助研究作用。在經(jīng)濟學(xué)中，通過(guò)數學(xué)建模把經(jīng)濟問(wèn)題所涉及的重要特征進(jìn)行合理的數學(xué)轉化，即用數學(xué)語(yǔ)言對經(jīng)濟學(xué)中復雜、抽象問(wèn)題進(jìn)行表述，將實(shí)際問(wèn)題與數學(xué)緊密的結合起來(lái)。
關(guān)鍵詞：微分方程；數學(xué)建模；邏輯斯諦方程；銷(xiāo)售曲線(xiàn)
微分方程研究范圍廣、歷史悠久，在牛頓和萊布尼茨創(chuàng )造微分和積分運算時(shí)指出了它們的互逆性，事實(shí)上這是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程 y┡=f（x）的求解問(wèn)題。當人們運用微分去解決經(jīng)濟學(xué)中的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現其對經(jīng)濟問(wèn)題所做的定性分析和定量分析是嚴謹的、可信的，因此大量的微分方程涌現出來(lái)�，F如今，微分方程在經(jīng)濟學(xué)和管理學(xué)等方面得到越來(lái)越廣泛的應用。
一、邏輯斯諦方程
邏輯斯諦方程是一種非線(xiàn)性的微分方程，它的數學(xué)模型屬于一條連續的、單調遞增的、單參數k為上漸近線(xiàn)的S型曲線(xiàn)。眾所周知，經(jīng)濟學(xué)上存在著(zhù)大量的S型變化的現象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數學(xué)模型，其特點(diǎn)是一開(kāi)始增長(cháng)較慢，中間段增長(cháng)速度較快，以后的增長(cháng)速度下降并趨于穩定。在經(jīng)濟學(xué)中，如果問(wèn)題的基本特征為在時(shí)間t很小時(shí)，呈指數型增長(cháng)，而當t不斷增大，增長(cháng)速度卻隨之下降，且越來(lái)越接近一個(gè)確定的值時(shí)，可以考慮運用邏輯斯諦方程加以解決。
利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經(jīng)濟問(wèn)題，例如新產(chǎn)品在市場(chǎng)中的發(fā)展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個(gè)新產(chǎn)品的推廣模型。例如：某種新產(chǎn)品問(wèn)世，t時(shí)刻的銷(xiāo)量為f（t），由于產(chǎn)品屬于新型產(chǎn)品，沒(méi)有可替代的產(chǎn)品，因此t時(shí)刻產(chǎn)品銷(xiāo)售量的增長(cháng)率與f（x）成正比。同時(shí)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售量存在著(zhù)一定的市場(chǎng)容量N，統計表明，與尚未購買(mǎi)的此新產(chǎn)品的潛在客戶(hù)數量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 于是有通解：
=kx（N-x）
其中k為比例系數，分離變量積分, 可以解得
x（t）=
由=,=
當x（t*）0,即銷(xiāo)量x（t）單調增加. 當x（t*）=時(shí),=0;當x（t*）>時(shí),<0;當x（t*）<時(shí)，>0，即當銷(xiāo)售量大于需求量的一半時(shí)，產(chǎn)品最暢銷(xiāo)。當銷(xiāo)售不足一半時(shí)，銷(xiāo)售速度將不斷的增大。同理，銷(xiāo)售量達到一半時(shí)，銷(xiāo)售速度則不斷減少。
許多產(chǎn)品的銷(xiāo)售曲線(xiàn)都和邏輯斯諦方程曲線(xiàn)十分的相近。所以，分析家認為，當產(chǎn)品推出的初期應小批量生產(chǎn)；當產(chǎn)品用戶(hù)在20％－80％之間時(shí)，產(chǎn)品應該大批量的生產(chǎn)；但當產(chǎn)品的用戶(hù)超過(guò)80％時(shí)，企業(yè)應該研發(fā)新的產(chǎn)品。
二、收入與債務(wù)的問(wèn)題
目前，歐債美債危機使大家對經(jīng)濟的發(fā)展前景十分擔憂(yōu)。一個(gè)國家債務(wù)過(guò)多，其所需支付的利息超過(guò)了該國的國民收入時(shí)，該國會(huì )出現破產(chǎn)。那么持續財政赤字的國家會(huì )出現破產(chǎn)這個(gè)現象嗎？國民收入與國家債務(wù)問(wèn)題能否轉化為微分方程去進(jìn)行分析呢？當然可以。利用微分方程可以很好地體現一個(gè)國家的國民收入與其債務(wù)問(wèn)題。
令D（t）表示國債在時(shí)刻t的美元價(jià)值，Y（t）表示時(shí)刻t國民收入。假定所有變量都以實(shí)際美元標價(jià)，從而去掉通貨膨脹因素。同時(shí)假定赤字（定義為一個(gè)等于支出減去收入的正值）為任何時(shí)點(diǎn)國民收入的常數比例。由于債務(wù)變化恰好是赤字，則有
D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介于0.02和0.08之間，這意味著(zhù)赤字大約相當于國民收入的2%~8%）
同時(shí)進(jìn)一步假定，國民收入隨時(shí)間的增長(cháng)滿(mǎn)足如下微分方程：
Y=gY g為正常數（表示國民收入的增長(cháng)率）。
上述兩個(gè)方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長(cháng)期比值之間的關(guān)系，我們需要求解這兩個(gè)方程。該方程可以重新改寫(xiě)成
兩邊積分可得
Y（t）=C1egt
我們假定利息率為常數r，計算利息支付（rD（t））和國民收入（Y（t））的比值：
定義z（t）=rD（t）/Y（t）為償付國債利息所吸收的國民收入份額，化簡(jiǎn)可得
z（t）=re-gt+r（1-e-gt）
z（t）即利息支付與國民收入的比值，隨著(zhù)t→∞收斂到一個(gè)有限值。為了驗明這一點(diǎn)，對式子右邊的兩項取t→∞時(shí)的極限。注意e-gt隨著(zhù)t→∞而趨于零。則有：
國債的利息支付收斂到國民收入的一個(gè)固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直實(shí)行不斷增長(cháng)的國民收入的固定比例的預算赤字，最終的債務(wù)負擔也會(huì )收斂到國民收入的一個(gè)固定份額。這會(huì )是一個(gè)好消息，因為這意味著(zhù)經(jīng)濟總是能夠滿(mǎn)足債務(wù)的償付，破產(chǎn)永遠都不會(huì )發(fā)生。另一方面，如果rb/g＞1，那么這一過(guò)程就會(huì )收斂到一個(gè)利息支付超過(guò)國民收入的有限值，此時(shí)，如果預算赤字持續下去，那么經(jīng)濟將注定會(huì )破產(chǎn)。
三、總結
數學(xué)建模在經(jīng)濟問(wèn)題中的應用得到了越來(lái)越多的重視，在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中的應用越來(lái)越廣泛。把更多的較為抽象的經(jīng)濟問(wèn)題公式化、模型化，將為定量研究較為復雜的經(jīng)濟問(wèn)題提供更為科學(xué)有效的途徑。
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