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漫談小學(xué)數學(xué)思想及其在教學(xué)中的滲透的論文
摘要：數學(xué)思想是從某些具體數學(xué)認識過(guò)程中提煉和概括，在后繼的認識活動(dòng)中被反復證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。在小學(xué)數學(xué)教育中有意識地向學(xué)生滲透一些基本數學(xué)思想方法是提高學(xué)生數學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數學(xué)教育中實(shí)現從傳授知識到培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要思維活動(dòng),且它本身也蘊涵了情感素養的熏染。這點(diǎn)也是新課程標準充分強調的。
關(guān)鍵詞：數學(xué)思想；滲透；符號思想；類(lèi)比思想；分類(lèi)思想；方程與函數思想；建模思想。
數學(xué)思想是從某些具體數學(xué)認識過(guò)程中提煉和概括，在后繼的認識活動(dòng)中被反復證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。它揭示了數學(xué)發(fā)展中普遍的規律，對數學(xué)的發(fā)展起著(zhù)指引方向的作用，它直接支配著(zhù)數學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，是數學(xué)的靈魂。而數學(xué)方法則體現了數學(xué)思想，在自然辯證法一書(shū)的導言中，恩格斯敘述了笛卡兒制定了解析幾何，耐普爾制定了對數，來(lái)布尼茨和牛頓制定了微積分后指出：“最重要的數學(xué)方法基本上被確定了”，對數學(xué)而言，可以說(shuō)最重要的數學(xué)思想也基本上被確定了。
《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數學(xué)課程標準》（試驗稿）提出：“學(xué)生通過(guò)學(xué)習，能夠獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)知識以及基本的數學(xué)思想方法�！币虼�，在小學(xué)數學(xué)教學(xué)階段有意識地向學(xué)生滲透一些基本數學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數學(xué)教育中實(shí)現從傳授知識到培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要途徑，也是小學(xué)數學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內涵之所在。在小學(xué)階段，數學(xué)思想主要有符號思想、類(lèi)比思想、分類(lèi)思想、方程與函數思想、建模思想等。
一、符號思想
西方較早地在數學(xué)研究中引進(jìn)了符號，十六世紀數學(xué)家韋達對數學(xué)符號作了很多改進(jìn)，并且第一個(gè)有意識地系統地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來(lái)了代數學(xué)研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，后來(lái)大數學(xué)家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進(jìn)。用符號化的語(yǔ)言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來(lái)描述數學(xué)的內容，這就是符號思想。在數學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來(lái)表達大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長(cháng)方形的面積計算公式s＝a×b，不管世界上有多少個(gè)不同的長(cháng)方形，都可用它計算出來(lái)。又如在“有余數的除法”教學(xué)中，最后出現一道思考題：“六一”聯(lián)歡會(huì )上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)藍氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你能知道第24個(gè)氣球是什么顏色的嗎？解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以有多種方法。如，用書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式：aaabbc aaabbc aaabbc……從而可以直觀(guān)地找出氣球的排列規律，并推出第24個(gè)氣球是藍色的。
上例所分析的這些都是符號思想的具體體現，它們將所有的數據實(shí)例集為一體，把復雜的語(yǔ)言文字敘述用簡(jiǎn)潔明了的字母公式表示出來(lái)，便于記憶，便于運用，正如華羅庚所說(shuō)的“數學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優(yōu)越性”。這種用符號來(lái)體現的數學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，是一個(gè)人數學(xué)素養的綜合反映。
把客觀(guān)存在的事物和現象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數學(xué)符號和公式，有一個(gè)從具體到表象再抽象符號化的過(guò)程，小學(xué)生在數學(xué)學(xué)習中，從接受到運用會(huì )遇到較多的困難，需要教師在平時(shí)地教學(xué)中，從介紹字母使用的歷史入手，循循善誘，加強培養和訓練。
二、類(lèi)比思想
數學(xué)上的類(lèi)比思想是指依據兩類(lèi)數學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類(lèi)數學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類(lèi)數學(xué)對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問(wèn)題。就遷移過(guò)程來(lái)分，有些類(lèi)比十分明顯、直接、比較簡(jiǎn)單，如由加法交換律a＋b＝b＋a的學(xué)習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學(xué)習；而有些類(lèi)比需在建立抽象分析的基礎上才能實(shí)現，比較復雜。
例如有這么一道數學(xué)奧林匹克競賽題：某科學(xué)考察組進(jìn)行科學(xué)考察，要越過(guò)一座山。上午8時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達山頂時(shí)休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行5千米，下午2時(shí)到達山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：此題表面上看似一道行程問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上只不過(guò)是一道典型的“雞兔同籠”問(wèn)題的變化題型。其特征是：
�。�1）已知兩種事物的單值：上山速度為3千米；下山速度為5千米。
(2)已知這兩種不同事物的總個(gè)數：除去休息1小時(shí)的5小時(shí)；全程19千米。
(3)要求的是這兩種不同事物的個(gè)數：上山和下山的時(shí)間各是多少？可見(jiàn)此題的解答方法與"雞兔同籠"問(wèn)題的解答方法完全相同。假設5小時(shí)都是上山時(shí)間，則共走路程為3×5＝15（千米），比實(shí)際走的19千米少了19－15＝4（千米），原因是由于把下山時(shí)間也當作了上山時(shí)間，則下山時(shí)間為4÷（5－3）＝2（小時(shí)）。從而可以推出下山路程是5×2＝10（千米），上山路程是19－10＝9（千米）。當然我們也可以假設5小時(shí)都是下山時(shí)間來(lái)類(lèi)推求解。數學(xué)中所有公式定理的運用就是類(lèi)比思想的直接反映。
目前，小學(xué)數學(xué)教材中類(lèi)比思想的內容很多，雜志上發(fā)表得較多的某些定理，問(wèn)題的延伸，推論，拓廣也是類(lèi)比思想的反映，這就要求教師去發(fā)掘去實(shí)施，如長(cháng)方形的面積公式為長(cháng)×寬＝a×b，通過(guò)類(lèi)比，三角形的面積公式也可以理解為長(cháng)（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2。類(lèi)似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那么錐體的體積可以理解為底面積×高÷。類(lèi)比思想不僅使數學(xué)知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡(jiǎn)潔，從而可以激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng )造力，正如數學(xué)家波利亞所說(shuō)："我們應該討論一般化和特殊化和類(lèi)比的這些過(guò)程本身，它們是獲得發(fā)現的偉大源泉。"
三、分類(lèi)思想
數學(xué)中每一個(gè)概念都有其特有的本質(zhì)特征，它又是按照一定的規律擴展變化的，它們之間都存在著(zhù)質(zhì)變到量變的關(guān)系。要正確的認識這些概念，就需要具體的概念依據具體的標準具體分析，這就是數學(xué)的分類(lèi)思想，是指按某種標準，將研究地數學(xué)對象分成若干部分進(jìn)行分析研究。
一般我們分類(lèi)時(shí)要求滿(mǎn)足互斥，無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)便的原則。如整數以能否被2整除為例，可分為奇數和偶數；若以自然數的約數個(gè)數來(lái)分類(lèi)，則可分為質(zhì)數、合數和1。幾何圖形中的分類(lèi)更常見(jiàn)，如學(xué)習"角的分類(lèi)"時(shí)，涉及到許多概念，而這些概念之間的關(guān)系滲透著(zhù)量變到質(zhì)變的規律。其中幾種角是按照度數的大小，從量變到質(zhì)變來(lái)分類(lèi)的，由此推理到在三角形中以最大一個(gè)角大于、等于和小于90°為分類(lèi)標準，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。而三角形以邊的長(cháng)短關(guān)系為分類(lèi)標準，又可分為不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。不同的分類(lèi)標準會(huì )有不同的分類(lèi)結果，從而產(chǎn)生新的數學(xué)概念和數學(xué)知識的結構。 由于分類(lèi)討論，一則在學(xué)習數學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育；又一則對學(xué)生能力有明顯的區別功能，再加上現實(shí)世界需要分類(lèi)研究的普遍性，作為一種數學(xué)思想必然會(huì )引起人們的重視。
例如在教學(xué)多位數讀寫(xiě)法后，設計了這樣一道開(kāi)放題：下面五張卡片上分別寫(xiě)有數字0、0、1、2、3，可以利用它們組成許多不同的五位數，求所有五位數的平均數。分析：以最高位上的數字為標準，把所有能組成的五位數分成三類(lèi)，再依從小到大的順序列表如下。
�。�1）10023（2）20013（3）30012
100322003130021
102032010330102
102302013030120
103022030130201
103202031030210
120032100331002
120302103031020
123002130031200
130022300132001
130202301032010
132002310032100
這36個(gè)數的平均數，萬(wàn)位上的數字是2，可由（1＋2＋3）÷3＝2確定，其他數位上的數字都是1，可由（1＋2＋3）×6÷36＝1確定。平均數是21111。
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