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初中數學(xué)經(jīng)驗歸納價(jià)值與應用小議的論文
人類(lèi)智慧攀升和有效的認知活動(dòng)是經(jīng)驗和理性的螺旋循環(huán)。學(xué)習數學(xué)也不例外,然而數學(xué)教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)驗歸納與理性思維既互相支持又矛盾對立,況且初中學(xué)生正處于經(jīng)驗型思維向邏輯型思維過(guò)渡的階段,以致在具體教學(xué)中較難正確把握兩者的權重量綱,容易產(chǎn)生偏頗做法。因而充分認識經(jīng)驗歸納與理性思維的關(guān)系,是完全必要的。也只有把握了它們之間的辯證統一關(guān)系,才能避免和糾正片面追求的行為。
一、經(jīng)驗歸納教學(xué)的價(jià)值
在初中數學(xué)教學(xué)中,引導學(xué)生對生活實(shí)際或動(dòng)手操作進(jìn)行有意義有目的的分析、探索,進(jìn)而提煉數學(xué)中的一般性規律,即用經(jīng)驗歸納的方法尋求數學(xué)的事實(shí)性結論。主要有下述教育意義:
1、學(xué)生體驗了經(jīng)驗世界中數學(xué)知識的形成過(guò)程,根據建構主義的認知觀(guān)點(diǎn),是學(xué)生對知識進(jìn)行意義建構的有效途徑。不過(guò)這樣建構的知識,僅具實(shí)證性,還不深刻,是淺層次的。
2、使學(xué)生得到歸納方法的學(xué)習。歸納方法被譽(yù)為發(fā)現的“邏輯”,廣泛地應用于自然科學(xué)研究,科學(xué)史上許多重大的發(fā)現和發(fā)明主要依賴(lài)于歸納方法。例如,開(kāi)普勒在研究太陽(yáng)系行星運動(dòng)時(shí),對十年觀(guān)察和計算的數據進(jìn)行歸納,得到天體運動(dòng)第三定律。孟德?tīng)枤w納八年的實(shí)驗數據,完成了《植物雜交試驗》的偉大論著(zhù),為遺傳學(xué)作了科學(xué)奠基。在數學(xué)研究中,也常借助歸納作出猜想和判斷,著(zhù)名的哥德巴赫猜想就是通過(guò)歸納得到的,又如對數由類(lèi)比歸納得到。學(xué)習歸納方法也就是學(xué)習了科學(xué)研究的基本方法,對提高學(xué)生發(fā)現和創(chuàng )造能力具有十分積極的意義。
3、通過(guò)對數學(xué)知識形成的“情境”性體驗,使得對抽象的數學(xué)概念有樸素的理解,為進(jìn)一步進(jìn)行數學(xué)抽象思維提供依托和支持。在數學(xué)學(xué)習的問(wèn)題解決中,經(jīng)常對某問(wèn)題的具體個(gè)別情形進(jìn)行考察、歸納,尋求解決問(wèn)題的策略和一般方法。
4、增強數學(xué)知識與現實(shí)生活的聯(lián)系,由此增進(jìn)數學(xué)價(jià)值的認識,增進(jìn)數學(xué)應用的意識和能力,提高用數學(xué)的眼光觀(guān)察世界的能力。
5、經(jīng)驗歸納將數學(xué)與生活融洽,有利于增進(jìn)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣。興趣是促進(jìn)自覺(jué)能動(dòng)的動(dòng)力,特別是通過(guò)歸納得到發(fā)現和創(chuàng )造時(shí),使人的心靈深處倍感快慰,將產(chǎn)生濃厚的興趣,有可能達到雖為其“勞苦”而感到樂(lè )的境界——樂(lè )此不疲。
正基于上述理由,當前初中數學(xué)教學(xué)中凸顯經(jīng)驗歸納教學(xué),其意義是不言而喻的。但是,也應該清楚地認識到歸納有很大的局限性,不僅數學(xué)知識不可能全由歸納得到,而且就其本身而言,缺乏深刻,以及得到的結論不一定正確。
二、歸納的正確正確應用需要邏輯支持
在數學(xué)王國里,雖然數學(xué)的某些結論可由直覺(jué)和歸納得到,但要確定結論的正確與否,歸納幾乎無(wú)用武之地。歸納證明有效的命題極其少量,并且還需要邏輯支持。(可用歸納方法證明的主要是代數恒等式,但借助了代數基本定理的邏輯支持。至于用機器證明幾何命題,那是對證代數恒等式的一種應用)。通常把直覺(jué)和歸納得到的命題不視為真,原因是直覺(jué)和歸納往往會(huì )出錯。例如:
1、判斷全體正自然數的個(gè)數多呢還是全體正偶數的個(gè)數多?從直觀(guān)意義上考慮,把全體正自然數從小到大依次排列,任意取出相鄰的兩個(gè),自然數有2個(gè),偶數只有1個(gè),于是得到正自然數的個(gè)數是正偶數個(gè)數的2倍;從歸納的意義上看,在100以?xún)冗M(jìn)行考察,自然數99個(gè),正偶數49個(gè),個(gè)數的比值:99/49≈2。在1000以?xún)瓤疾,兩者個(gè)數的比值:999/499≈2。在10000以?xún),?00000以?xún)瓤疾臁,可得兩者個(gè)數比值的極限是2,與直觀(guān)同樣的結論。凡涉足過(guò)超窮數理論的人都知道上述結論是錯誤的。事實(shí)上,只要構造函數M=2n,顯然值域與定義域有一一對應的關(guān)系,便知歸納所得結論錯誤。
2、“北師大教材八上1.1《勾股定理》中:根據下面圖形的各條邊的關(guān)系,請你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系,結果大部分學(xué)生根據32 =4+5、52 =12+13,繼而得出錯誤的結論:a2=b+c,即較長(cháng)直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方!盵1]
并且更多的事實(shí)猶如觀(guān)測水中的一根直棍,獲得的感知是彎曲的一樣。為此,大天文學(xué)家開(kāi)普勒指出:“當知識通過(guò)感官被直接提供給心靈時(shí),是模糊、混亂和矛盾的,從而也就不可靠的! 所以對經(jīng)驗得到的東西總要問(wèn)個(gè)為什么?總要有理性的思考。哲學(xué)家叔本華說(shuō):“經(jīng)驗從總體來(lái)講,是要從這種形而上學(xué)得到解釋的!睎|漢哲學(xué)家王充說(shuō):“是非者,不徒耳目,必開(kāi)心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺(jué),一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗得到的數學(xué)命題必須有理論的證明。
實(shí)際上,人類(lèi)在處理數學(xué)上理由不充足的結論時(shí),總是小心謹慎的。像哥德巴赫猜想,盡管千萬(wàn)次驗證都是正確的,但由于沒(méi)有得到理論上的證明,人們還是叫它猜想而不叫定理。有時(shí)即使得到事實(shí)性的結論,如果理論有缺陷,也會(huì )用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng )立之初,由于理論不完善,人們紛紛質(zhì)疑無(wú)窮小量的處理不合理,就連當時(shí)思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學(xué)說(shuō)的創(chuàng )立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。(微積分從初創(chuàng )到理論完善經(jīng)歷了一百年)。無(wú)數事例充分地反映了人類(lèi)對數學(xué)嚴謹性所持態(tài)度是嚴肅、認真的。
參考文獻:
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