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名師授課案例對數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗教學(xué)的啟示教育論文
[摘要]學(xué)生數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗對于學(xué)生數學(xué)活動(dòng)的順利探究、數學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數學(xué)觀(guān)念的形成等方面有著(zhù)十分重要的作用。教師充分信任學(xué)生，構建適度“放手的”課堂教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng )設蘊含與教學(xué)活動(dòng)任務(wù)一致的、蘊含多樣活動(dòng)的“情境串”。保證數學(xué)活動(dòng)任務(wù)的挑戰性，正確處理思維與操作的聯(lián)系，及時(shí)激活、探究、體驗、反思、總結和提升學(xué)生的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗并運用多媒體教學(xué)等現代教育技術(shù)手段為學(xué)生提供足夠的“替代性經(jīng)驗”，將有助于學(xué)生獲得較為充足的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。
[關(guān)鍵詞]課堂教學(xué)；數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗；名師授課案例
學(xué)生數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗對于數學(xué)活動(dòng)的順利探究、數學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、學(xué)生數學(xué)觀(guān)念的形成等有著(zhù)十分重要的作用。儲備充足的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗是學(xué)生學(xué)好數學(xué)、提高數學(xué)素養的重要基礎。研究學(xué)生數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的教學(xué)，必然離不開(kāi)對教學(xué)實(shí)踐中優(yōu)秀教師成功授課案例中的寶貴經(jīng)驗的學(xué)習、概括、總結和提升。因此，本文將從名師成功授課案例的視角探究其對數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗教學(xué)的啟示。
為選擇具有較大的知名度和影響力的名師成功授課案例，本文選擇“全國第八屆深化小學(xué)數學(xué)教學(xué)改革觀(guān)摩交流會(huì )”參賽課例中獲得一等獎的一堂課進(jìn)行探討，以期達到拋磚引玉的目的。
一、案例：“圓的面積”一課教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介
為便于分析，本文僅介紹“圓的面積”一課教學(xué)過(guò)程中學(xué)生探究面積公式的教學(xué)概況。
本節課共設計八個(gè)主要教學(xué)環(huán)節：課前談話(huà)，從對“曹沖稱(chēng)象”故事的思考引入，激發(fā)學(xué)生思考并體會(huì )解決大象的重量問(wèn)題“轉化”為解決石頭的重量問(wèn)題中的轉化思想和轉化方法，以熟悉的故事激活學(xué)生舊有的“轉化”經(jīng)驗；回憶已經(jīng)學(xué)過(guò)的探索“平行四邊形的面積”的計算公式的方法，是把平行四邊形剪成梯形和三角形后再拼成長(cháng)方形，用長(cháng)方形面積計算公式表示平行四邊形的面積計算公式，再次激活了學(xué)生已存在的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗中的“轉化”思想和用剪、拼等方式進(jìn)行轉化的方法，學(xué)生自然聯(lián)想到可以嘗試用“剪、拼、轉化”求圓的面積；學(xué)生進(jìn)行剪、拼等操作活動(dòng)進(jìn)行探究、思考求圓的面積；交流各自的探索過(guò)程，討論初步探索后的思考，總結形成初步解決問(wèn)題的思路；分組按照各組選擇的思路進(jìn)行深入探究，形成問(wèn)題解決的最終思路和方法；反思探索的歷程，結合數學(xué)課件動(dòng)態(tài)地替代演示當分的份數越大時(shí)用剪、拼的方法卻越來(lái)越難操作的“變”的過(guò)程，探索用數學(xué)公式表示圓的面積；自主聯(lián)系，運用圓面積公式解決實(shí)際問(wèn)題；小結，學(xué)生談體會(huì )，體會(huì )到“我知道在遇到一個(gè)我們不認識的圖形的時(shí)候，可以通過(guò)剪一剪，拼一拼的轉化方法把它轉化成我們熟悉的圖形�！薄耙院笥龅讲皇煜さ膯�(wèn)題，也可嘗試能不能把它轉化成學(xué)過(guò)的問(wèn)題來(lái)解決”。
二、對案例“圓的面積”一課教學(xué)的點(diǎn)評
通過(guò)所描述的教學(xué)環(huán)節來(lái)看，“圓的面積”一課的教學(xué)是一堂教師引導為輔、學(xué)生主動(dòng)探究為主的“數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”課。其中學(xué)生用折一折、剪一剪、拼一拼等外顯的手段探索，“再創(chuàng )造”“圓的面積”計算公式等行動(dòng)是外顯的數學(xué)活動(dòng)，學(xué)生體驗、反思、運用數學(xué)思想(“轉化”“逼近”“極限”等)、自我建構圓的面積公式等活動(dòng)是內隱的數學(xué)活動(dòng)。外顯的活動(dòng)與內隱的活動(dòng)相互交織構成了學(xué)生掌握該課知識、獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的基本途徑。在這相互交織的過(guò)程中，學(xué)生的活動(dòng)表現出了兩種平行的探究思路。
一種是將圓剪成n個(gè)“像”小三角形的小圖形，分的份數n越大，“像小三角形的小圖形”就越來(lái)越像三角形。這時(shí)，求“圓的面積”就轉化成求“n個(gè)小三角形的面積的和”。即：如果用C表示圓的周長(cháng)，用r表示圓形半徑，當圓被平均分成n等份時(shí)，小三角形的底就“等于”圓的周長(cháng)除以n，小三角形的高就“等于”這個(gè)圓的半徑，用三角形的面積乘以n，就得到圓的面積。
另一種思路是，學(xué)生將圓轉化成長(cháng)方形。首先，將圓剪成n個(gè)小扇形，再把這n個(gè)小扇形拼成一個(gè)大的平行四邊形，分的份數n越大，平行四邊形就越來(lái)越接近長(cháng)方形，這時(shí)，求“圓的面積”轉化成求“長(cháng)方形的面積”：長(cháng)方形的長(cháng)就是圓周長(cháng)的一半，可以用πr來(lái)表示，那長(cháng)方形的寬相當于圓的半徑可以用r表示，長(cháng)方形的面積等于長(cháng)乘以寬，圓的面積就可以表示為πr2。
學(xué)生在分別沿著(zhù)這兩種探究思路進(jìn)行的活動(dòng)過(guò)程中，積累了大量的如何選擇、判斷、猜想、驗證、歸納、交流、發(fā)展、應用已有知識經(jīng)驗解決數學(xué)問(wèn)題的認識經(jīng)驗、選擇經(jīng)驗、判斷經(jīng)驗、猜想經(jīng)驗、驗證經(jīng)驗、歸納經(jīng)驗、交流經(jīng)驗、發(fā)展經(jīng)驗、協(xié)調經(jīng)驗、問(wèn)題解決經(jīng)驗等數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，理解各操作對象與數學(xué)對象的數學(xué)意義及其之間的前后邏輯關(guān)系，領(lǐng)悟到轉化、逼近、極限等數學(xué)思想方法與數學(xué)策略，獲得豐富的數學(xué)情感體驗和感受。積累充足的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。
三、“圓的面積”一課對數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗教學(xué)的啟示
從本堂課的教學(xué)過(guò)程可以看出，本案例突出了學(xué)生“在各種活動(dòng)中觀(guān)察與體驗、在觀(guān)察與體驗中活動(dòng)”的數學(xué)活動(dòng)式的教學(xué)。教師在有效激發(fā)學(xué)生已有的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗“折、剪、拼、轉化”的基礎上，通過(guò)組織學(xué)生進(jìn)行折、剪、拼、反思、總結、推導、應用等活動(dòng)，借助現代教育技術(shù)手段在情境創(chuàng )設中的重要作用，用課件動(dòng)態(tài)展示變化的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷了探索圓面積計算公式的探索、猜想、推理與驗證的全過(guò)程，使學(xué)生在活動(dòng)中體驗、積累、及時(shí)反思總結，尊重了學(xué)生真實(shí)的探索、感受和收獲。因此，本節課的教學(xué)除了具有一般數學(xué)課堂教學(xué)“雙基教學(xué)”的普遍特點(diǎn)之外，它在促進(jìn)學(xué)生獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的教學(xué)方面至少還具有以下六方面的顯著(zhù)特點(diǎn)和教學(xué)啟示。
(一)充分信任學(xué)生，注重學(xué)生的個(gè)性差異，構建適度“放手的”課堂教學(xué)
本案例中，教師構建的“信任”和“放手”的課堂為“知識的接受者”轉變?yōu)椤爸R的探究者”提供了可能，為“圓的面積”的純知識性的教學(xué)轉變?yōu)椤皩W(xué)生探究圓的面積”活動(dòng)式教學(xué)、學(xué)生“再創(chuàng )造”數學(xué)知識的預期目標的實(shí)現提供了基本保障。在此，充分信任學(xué)生是相信學(xué)生而敢于放手和敢于托付，是教師在教學(xué)過(guò)程中實(shí)實(shí)在在表現出來(lái)的、學(xué)生能切實(shí)感受到自己有能力、有責任、有義務(wù)做好教師交付的任務(wù)的一種心理狀態(tài)和環(huán)境氛圍。信任也是一種了解和理解，如果沒(méi)有教師對學(xué)生已有知識經(jīng)驗基礎的了解(已學(xué)過(guò)圓的周長(cháng)、平行四邊形面積、三角形面積公式等)，沒(méi)有對學(xué)生學(xué)習過(guò)程中出現的困惑的理解，就不會(huì )出現教師對學(xué)生已有知識經(jīng)驗的喚起(“曹沖稱(chēng)象”故事中的轉化思想，求平行四邊形面積的剪拼式的轉化思想)，就不會(huì )出現教師適時(shí)的引導和提供課件演示的技術(shù)支撐。當然，適度“放手的”課堂，不是放縱的課堂。而是教師把學(xué)習的主動(dòng)權、知識的“再創(chuàng )造”權適當地放一放，留給學(xué)生自己去把握。從而，本堂課中才有了教師給予學(xué)生足夠的時(shí)間、充分放手讓學(xué)生去探索圓的面積計算公式的“放手的課堂教學(xué)”的“現實(shí)”，才有了學(xué)生課堂中出現的兩種探究思路和研究成果，才有了學(xué)生獲得豐富數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗目標的實(shí)現。
(二)“情境串”蘊含了多樣的“活動(dòng)串”，但蘊含的數學(xué)活動(dòng)任務(wù)都一致
本案例中，教師呈現的數學(xué)活動(dòng)任務(wù)及任務(wù)情境首先是從學(xué)生頭腦中已存在的非數學(xué)的經(jīng)驗情境(故事情境)開(kāi)始，然后過(guò)渡到已有的數學(xué)經(jīng)驗情境(平行四邊形的面積)，再從已有的數學(xué)經(jīng)驗情境轉入到即將要求解的數學(xué)問(wèn)題情境(求圓的面積)。這一連續的從非數學(xué)情境到數學(xué)情境、從學(xué)生熟悉的數學(xué)情境到不熟悉的數學(xué)情境構成的看似較為渙散的“情境串”中蘊含了要求學(xué)生去回憶、思考、猜想、探究等活動(dòng)構成的“活動(dòng)串”，而所有的“活動(dòng)串”中的活動(dòng)實(shí)質(zhì)上都與本課例中要求學(xué)生經(jīng)歷圓面積計算公式的探索過(guò)程和積累數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的數學(xué)任務(wù)完全一致，做到了“形散而神不散”。本課例中一系列的從具體到抽象、從感官參與到思維對符號的參與轉化的層級演變過(guò)程的“情境串”設計，符合學(xué)生的認知發(fā)展規律，也啟示了數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗中教學(xué)提供的數學(xué)活動(dòng)應該盡可能遵從學(xué)生“已有經(jīng)驗——到直接經(jīng)驗——再過(guò)渡到經(jīng)驗的符號性表象”經(jīng)驗的獲得過(guò)程。
(三)教師淡化了生活情境，突出了數學(xué)情境，數學(xué)任務(wù)簡(jiǎn)潔干練
上課伊始，教師就出示圓形紙片，直接點(diǎn)明課題“我們已經(jīng)學(xué)習了圓，也認識了圓的周長(cháng)，今天這節課我們就一起來(lái)學(xué)習圓的面積”，并向學(xué)生明確提出“每個(gè)小組從兩種思路(轉化成三角形或者平行四邊形)中選擇一種繼續研究”等要求，既讓學(xué)生迅速明白學(xué)習活動(dòng)的主題，又讓學(xué)生感受到自己課堂中所作的探究活動(dòng)得到了教師的肯定，體會(huì )到被承認的快樂(lè )，感受到主動(dòng)活動(dòng)的價(jià)值。這種開(kāi)門(mén)見(jiàn)山、簡(jiǎn)潔明晰的數學(xué)任務(wù)方式和數學(xué)活動(dòng)情境。有助于學(xué)生集中注意力探究新課題。當然，簡(jiǎn)潔明晰的數學(xué)任務(wù)并不等于直接呈現抽象的、枯燥的數學(xué)符號式的數學(xué)任務(wù)。比如，在本堂課中學(xué)生的折、剪、拼等數學(xué)活動(dòng)任務(wù)雖然簡(jiǎn)潔明了，但是卻是學(xué)生能感知、能把握、能控制、能充分發(fā)揮想象力、能夠相互合作、相互交流的數學(xué)任務(wù)，學(xué)生在這些看似簡(jiǎn)單的探索活動(dòng)中能夠集中注意力，在不知不覺(jué)地“再創(chuàng )造”了“圓的面積計算公式”的產(chǎn)生過(guò)程，實(shí)現了課堂教學(xué)的目標。因此，教師采取的單刀直入的引入方式，既為學(xué)生自主、合作的探究活動(dòng)贏(yíng)得了寶貴的課堂教學(xué)時(shí)間，也為學(xué)生回顧、反思數學(xué)活動(dòng)獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗提供了時(shí)間保障。
(四)保證數學(xué)活動(dòng)任務(wù)的挑戰性
學(xué)生在面對教師提出的“圓能否轉化成我們學(xué)過(guò)的圖形”問(wèn)題時(shí)，并不知道該怎么轉化，這時(shí)，急于求成的學(xué)生十分渴望教師給與一定的提示或者暗示。此時(shí)，如果教師給予一定的提示，比如轉化成扇形、三角形或者平行四邊形等，那么學(xué)生隨后的折紙、剪拼等活動(dòng)就不再是真正意義上的探索了，最多只是一種技術(shù)層面的驗證。但是，本課例中教師沒(méi)有這樣做，相反卻給予學(xué)生一定的時(shí)間自己去折、剪、拼、觀(guān)察、反思和總結，讓學(xué)生自己進(jìn)行想象和探索；在學(xué)生操作遇到困難，不能繼續折下去和剪拼下去的時(shí)候，教師的行動(dòng)也僅僅是在小組間巡視，及時(shí)發(fā)現學(xué)生出現的新問(wèn)題和新發(fā)現，及時(shí)肯定學(xué)生的探索成果，保證了數學(xué)活動(dòng)任務(wù)的挑戰性……本堂課的種種事實(shí)證明，只要教師相信學(xué)生能做好，學(xué)生就一定能做得更好。果然，沒(méi)過(guò)幾分鐘。學(xué)生們就有了初步的解決問(wèn)題的想法：轉化成三角形或者平行四邊形。這樣就保證學(xué)生從探索“圓的面積計算公式”的數學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程中獲得充足的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的機會(huì )。
(五)注重思維訓練、數學(xué)思想與方法的體會(huì )和領(lǐng)悟，正確處理思維與操作的聯(lián)系
小學(xué)生的思維水平，決定了他們對很多數學(xué)知識的學(xué)習離不開(kāi)具體的操作。當學(xué)生在具體操作的基礎上獲得了直觀(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗之后，數學(xué)思考、數學(xué)發(fā)現和數學(xué)想象才有了可能。因此，操作活動(dòng)僅僅是思維活動(dòng)的中介平臺，學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)的目的之一是為了能夠進(jìn)行進(jìn)一步的脫離實(shí)物控制的抽象的思考和想象，其根本目的是在于讓學(xué)生能夠從數學(xué)現象、數學(xué)活動(dòng)及其之間的關(guān)系中提煉出核心的數學(xué)內容，獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。因此，教師評價(jià)學(xué)生操作活動(dòng)是否是數學(xué)的活動(dòng)、能否獲得充足的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，還需考察學(xué)生能否用抽象的數字、字母、示意圖和符號等工具對具體操作的對象進(jìn)行數學(xué)化的處理，進(jìn)行想象、分析、判斷和推理，明確探究過(guò)程中活動(dòng)之間的因果關(guān)系。例如，本課例中，學(xué)生通過(guò)折、剪、拼等活動(dòng)，似乎已經(jīng)發(fā)現了圓面積的具體過(guò)程，問(wèn)題的解決看似已經(jīng)完成，但教師卻不是就此止步，而是接著(zhù)用一系列的語(yǔ)言提示引導學(xué)生進(jìn)行積極的思維，注重思維訓練和概括。比如“怎樣能讓轉化后的圖形與三角形(平行四邊形)更接近”“數學(xué)的學(xué)習，可不能只停留在動(dòng)手操作上，你還得會(huì )利用數字、字母、符號動(dòng)腦思考和推理，教師想給大家提個(gè)更高的要求，能不能在剛才研究的基礎上推導出圓的面積計算公式?”等幾個(gè)緊密聯(lián)系卻又層層遞進(jìn)的數學(xué)任務(wù)的提出，不僅肯定了學(xué)生已經(jīng)探究的一系列活動(dòng)，而且激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步思考的興趣，引發(fā)學(xué)生注重理解操作活動(dòng)與思維訓練的關(guān)系，注重對具體活動(dòng)中蘊含的數學(xué)思想、數學(xué)方法的體會(huì )和領(lǐng)悟，促進(jìn)了學(xué)生淺層次的具體操作活動(dòng)經(jīng)驗向高層次的抽象數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗轉化。
(六)讓學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)的全過(guò)程，及時(shí)激活、總結和提升學(xué)生的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗
有效的探究是指在新情境下運用已有的知識經(jīng)驗來(lái)成功處理新信息和新問(wèn)題的活動(dòng)。如何引導學(xué)生主動(dòng)地從已有的認知圖式中“提取”出經(jīng)驗，激活相關(guān)的知識經(jīng)驗，而不是教師直接提供探究的思路和操作的方法是一種教學(xué)藝術(shù)。在本課例的教學(xué)中，教師的課前談話(huà)以及“圓能否轉化成我們學(xué)過(guò)的圖形”都暗示了學(xué)生怎么思考的策略，及時(shí)激活了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，尤其是關(guān)于求平行四邊形面積的活動(dòng)經(jīng)驗“剪一剪、拼一拼”的方法，為學(xué)生有效的探究指引了方向。學(xué)生在具體的探究過(guò)程中，通過(guò)經(jīng)歷三個(gè)層次的探究活動(dòng)把數學(xué)知識的學(xué)習變成了數學(xué)活動(dòng)的學(xué)習。例如，第一次的折一折、剪一剪、拼一拼的直觀(guān)操作活動(dòng)為學(xué)生成功的發(fā)現圓面積的計算公式找到了思路：把圓轉化成三角形或者平行四邊形。在此，教師及時(shí)引導學(xué)生對所經(jīng)歷的活動(dòng)進(jìn)行演示、交流、反思和總結，體會(huì )圓面積問(wèn)題求解的實(shí)質(zhì)是運用“轉化”的數學(xué)思想，實(shí)現操作活動(dòng)的數學(xué)化。明確進(jìn)一步探究活動(dòng)的方向，鞏固了這一階段的活動(dòng)經(jīng)驗。第二次探究活動(dòng)的任務(wù)是圍繞著(zhù)“怎樣使折出的圖形更像三角形”“使剪拼后的圖形更像平行四邊形”等問(wèn)題開(kāi)展操作、想象活動(dòng)，充分體驗“化曲為直”、逐步逼近的“極限思想”，當學(xué)生通過(guò)觀(guān)察課件演示得出“就是”三角形或者平行四邊形時(shí)，學(xué)生對如何求解圓面積的問(wèn)題有了直觀(guān)性的活動(dòng)經(jīng)驗，教師再一次引領(lǐng)學(xué)生對這一活動(dòng)過(guò)程的經(jīng)驗和收獲進(jìn)行了回顧、反思與總結。隨后，教師組織學(xué)生運用第二階段獲得的直觀(guān)、形象的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，解決教師提供的示意圖上的用數字、圖形表示出來(lái)的“純粹”的數學(xué)問(wèn)題，并用符號表示出來(lái)。緊接著(zhù)老師又組織學(xué)生對推導出的圓面積計算公式進(jìn)行分析，思考“要想求圓的面積，必須得知道什么條件”，解答實(shí)際問(wèn)題，再一次提升了學(xué)生的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。
(七)充分利用多媒體教學(xué)等現代教育技術(shù)手段，提供“替代性經(jīng)驗”
現代教育手段的運用一方面吸引了學(xué)生積極參與數學(xué)活動(dòng)的興趣，另一方面也給學(xué)生提供了接近生活的原型情境，補充了因現實(shí)場(chǎng)景缺失或者因手工操作有難度而不能獲得的直接經(jīng)驗的替代性經(jīng)驗，完善了學(xué)生的經(jīng)驗體系。本課例中，學(xué)生把圓按照先后順序分別分成16份、32份、64份……分的份數漸多，學(xué)生感到手工操作越來(lái)越難，以致于后來(lái)只能憑借想像份數分得越多時(shí)分成的每一份小扇形就越來(lái)越像“小三角形”。而真實(shí)的數學(xué)活動(dòng)結果是不是這樣的?此時(shí)教師恰到好處地在學(xué)生似乎能想象卻又不敢肯定的情況下，利用課件形象直觀(guān)地演示“化曲為直”的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。學(xué)生在觀(guān)察課件展示的動(dòng)態(tài)的過(guò)程中獲得了生動(dòng)的“觀(guān)察經(jīng)驗”等替代性經(jīng)驗，一致得出了“就是小三角形”的結論，驗證了想象的結果，滿(mǎn)足心理需求，獲得極大的情感體驗。這種觀(guān)察性的替代性經(jīng)驗和情感體驗彌補了直接經(jīng)驗的不足，充實(shí)了學(xué)生數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的具體內容。
本課例對促進(jìn)學(xué)生獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的教學(xué)啟示均指向于教師圍繞“學(xué)生的數學(xué)活動(dòng)本身、參與數學(xué)活動(dòng)的學(xué)生個(gè)體和群體及其之間的關(guān)系、提供和組織學(xué)生進(jìn)行數學(xué)活動(dòng)的教師以及數學(xué)活動(dòng)環(huán)境、班級文化氛圍”等方面，均以激發(fā)學(xué)生學(xué)習積極性，增加學(xué)生數學(xué)活動(dòng)機會(huì )，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與積極參與到數學(xué)活動(dòng)中去經(jīng)歷、體驗、積累數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，實(shí)現數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗充分的積累為根本宗旨。其結果相互印證，互為補充，為促進(jìn)學(xué)生獲得數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的教學(xué)提供了堅實(shí)的實(shí)踐基礎。
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