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數形結合在數學(xué)中的妙用論文
數形結合思想是數學(xué)中的一種非常重要的數學(xué)思想，在解題中運用數形結合，常�？梢�?xún)?yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。但問(wèn)題在解題過(guò)程中如何進(jìn)行數形結合呢？即怎樣催化數與形的結合呢？最好的方法就是運用數形結合的催化劑——聯(lián)想，運用聯(lián)想不但可以催化數與形的結合，而且可以培養我們的創(chuàng )新思維和創(chuàng )新能力。
一、數形結合在函數中的妙用
在函數教學(xué)中，函數及其圖象為數形結合的教學(xué)開(kāi)辟了廣闊的天地。函數的圖象是從“形”的角度反映變量之間的變化規律，利用圖象的直觀(guān)性有助于題意的理解、性質(zhì)的討論、思路的探求和結果的驗證。如二次函數、指數函數和對數函數等等，根據函數圖象討論函數的性質(zhì)，借助函數圖象的直觀(guān)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)得輕松有趣。既可以提高學(xué)生的識記能力，又可以加深對函數的圖象和性質(zhì)的理解，使數與形在學(xué)生的頭腦中密切地結合起來(lái)。如：
例1：判斷下式中x的正負2x=1.2
分析：考察指數函數y=2x，因 a=2>1，在定義域(-∞，+∞)上是增函數，故畫(huà)出草圖，從圖中可知，該函數在區間(0，+∞)上有y>1。
因此，從2x=1.2>1可知x>0。
例2：由函數與函數 y = 2 的圖象圍成一個(gè)封閉圖形，這個(gè)封閉圖形的面積是_______．
分析：本題不能直接求解（高中階段沒(méi)有此類(lèi)圖形的面積公式），初看好象是偏題、怪題，但如果借助于圖形的對稱(chēng)性并利用割補法，則可將之轉化為一個(gè)等積矩形的面積問(wèn)題．學(xué)生可直接看出答案。
解題回顧：本題利用了數形結合方法計算面積．圖象的對稱(chēng)性可以使棘手的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，轉化為常規的問(wèn)題，體現了數學(xué)中把未知轉化為已知的思想方法。
二、數形結合在復數中的妙用
作為解題方法，“數形結合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對“形”的問(wèn)題，y引入坐標系或尋找其數量關(guān)系式，用“數”的分析加以解決；另一方面對于數量間的關(guān)系問(wèn)題，分析其幾何意義，借助形的直觀(guān)來(lái)解。解與復數有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，利用復數的幾何色彩，將使解題過(guò)程更為巧妙。
三、數形結合在不等式中的妙用
某些看似單純的數量關(guān)系的代數問(wèn)題，如果能注意到它所包含的幾何意義，或者設計出一個(gè)與之相關(guān)的幾何模型則可能找到新穎別致的解法，借助“形”使我們對問(wèn)題本身不但有直觀(guān)的分析，且能有更深刻和實(shí)質(zhì)的了解。
例4：不等式的解集是
分析：如果按照一般的常規解法，該題較繁雜，若轉化為圖形處理，以形輔數就方便多了�？闪�，y2=x+2，在同一坐標系中分別作出它們的函數圖象。已知原不等式有意義的x值為-2≤x≤2，從圖象中觀(guān)察可見(jiàn)，使y1>y2成立的取值范圍是(-2,0)。
四、數形結合在證明中的應用
例5: 設a,b,c為ΔABC的三邊的長(cháng)，求證
分析：用證明不等式的一般方法證明結論較為繁瑣．由左邊諸分母的結構形式，可聯(lián)想到構造的內切圓，利用圖就可以將左邊化簡(jiǎn)，于是原不等式可證．
證明：設⊙O為ΔABC的內切圓，則有
于是結論得證。
例6：設D為ΔABC邊上一點(diǎn)，而B(niǎo)D=2DC，
求證：AB2+2AC2=3AD2+6CD2
分析：若單從幾何角度看，已知條件和論證的目標相距較遠，不易下手。如果我們建立如圖所示的直角坐標系，使數形結合，綜合應用解決�？稍O四點(diǎn)的坐標分別是A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)，則有： |AB|2+2|AC|2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a2
3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2
即可證得：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2
綜上所述可見(jiàn)，數形結合是學(xué)好數學(xué)的一把鑰匙。它可將一些看似復雜的問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，也常使一些難于下手的問(wèn)題迎刃而解。利用圖形的直觀(guān)性解題，巧妙地簡(jiǎn)化了大量繁雜的計算和邏輯推理過(guò)程，構思新穎，解題簡(jiǎn)潔。其方法的豐富內涵對培養與發(fā)展學(xué)生的思維能力、解題能力極為有用，也有助于增強學(xué)生的數素養，因而這種方法在數學(xué)教學(xué)中應給予足夠重視。
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