高中數學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例論文
在個(gè)人成長(cháng)的多個(gè)環(huán)節中，許多人都寫(xiě)過(guò)論文吧，論文是學(xué)術(shù)界進(jìn)行成果交流的工具。你知道論文怎樣寫(xiě)才規范嗎？以下是小編為大家收集的高中數學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例論文，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
摘要：高中新課程標準中提出了數學(xué)建模核心素養，數學(xué)建模素養的培養是高中數學(xué)教學(xué)中的重要內容，提高數學(xué)建模素養是影響學(xué)生綜合數學(xué)素養的重要因素。數學(xué)建模共有四個(gè)步驟，通過(guò)對每一個(gè)步驟最核心內容的闡述，將有利于開(kāi)展數學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)。
關(guān)鍵詞：數學(xué)建模；高中數學(xué)；數學(xué)教學(xué)；數學(xué)素養；
最新頒布的《普通高中數學(xué)課程標準》(2017年版)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標》(2017年版))中明確了中學(xué)階段數學(xué)學(xué)科核心素養，包括數學(xué)抽象、邏輯推理、數學(xué)建模、直觀(guān)想象、數學(xué)運算、數據分析[1]。史寧中教授也曾多次表示數學(xué)學(xué)科核心素養可以更簡(jiǎn)單地概括為抽象、推理、模型。此次新課標的公布進(jìn)一步強調了數學(xué)建模的重要性，突出了建模在數學(xué)教學(xué)中的重要地位。事實(shí)上，在2003年公布的《普通高中數學(xué)課程標準(實(shí)驗)》中就開(kāi)始強調數學(xué)建模的重要性。強調在整個(gè)高中課程內容中滲透數學(xué)建模思想，并至少在高中階段安排一次建�；顒�(dòng)。
在最初這對數學(xué)一線(xiàn)數學(xué)教育工作者來(lái)說(shuō)是一個(gè)不小的挑戰，特別是在重視推理、運算能力，強調解題為主，以面對高考為最根本出發(fā)點(diǎn)的高中數學(xué)教學(xué)中，教師們將數學(xué)建模融入課堂教學(xué)確實(shí)具有一定的難度。但是，隨著(zhù)不斷的變化和認識，數學(xué)建模已經(jīng)不再是陌生的事物。由于數學(xué)建�？梢院�(jiǎn)化數學(xué)問(wèn)題，更容易地分析數學(xué)數據解決數學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)，數學(xué)建模教學(xué)在我國中學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應用。許多從事數學(xué)教學(xué)的積極參與到數學(xué)建模教學(xué)領(lǐng)域的研究中，尋找答案來(lái)解決數學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題。不過(guò)，隨著(zhù)社會(huì )的變化，人們對數學(xué)和人才培養質(zhì)量也不斷提出新的要求。加之新的教育理念、教育方法、教育技術(shù)快速地涌進(jìn)一線(xiàn)教學(xué)，數學(xué)建模的教學(xué)也處在不斷地變化甚至是挑戰之中。
一、數學(xué)建模的主要過(guò)程
按照《課標》(2017年版)的要求，數學(xué)建模是對現實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數學(xué)抽象，用數學(xué)語(yǔ)言表達問(wèn)題、用數學(xué)方法構建模型解決問(wèn)題的素養。主要過(guò)程包括：在實(shí)際情境中從數學(xué)的視角發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這些描述可以看出數學(xué)建模的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)完整的數學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生要對問(wèn)題有深入的分析，不但能夠發(fā)現問(wèn)題還有能夠找到解決問(wèn)題的辦法，更為重要的是在進(jìn)行一定操作運算之后能夠對模型有所改進(jìn)，驗證結果。通過(guò)高中數學(xué)課程的學(xué)習，學(xué)生能夠有意識地用數學(xué)語(yǔ)言表達現實(shí)世界，發(fā)現問(wèn)題并提出問(wèn)題，理解數學(xué)與現實(shí)的關(guān)系。學(xué)會(huì )用數學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累實(shí)踐經(jīng)驗。認識數學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì )和工程技術(shù)中的作用，提高實(shí)踐能力，增強創(chuàng )新意識和科學(xué)精神[2,3]。
數學(xué)最為基本的核心素養是抽象、推理、模型，但是這三者之間并不是相互獨立，互不聯(lián)系的過(guò)程。我們在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，往往是三個(gè)素養同時(shí)發(fā)揮作用，或者多次交互發(fā)生，這一點(diǎn)從數學(xué)建模的四個(gè)過(guò)程就可以看出。
第一步，發(fā)現問(wèn)題，提出問(wèn)題。發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題一直以來(lái)是數學(xué)教育關(guān)注的重點(diǎn)內容。在20世紀我國的數學(xué)教育更加側重學(xué)生三大能力的培養，在學(xué)生問(wèn)題解決表現方面沒(méi)有給予足夠的重視。在21世紀初期，隨著(zhù)新課改的推行，問(wèn)題解決能力逐漸受到大家的認可和重視。在課堂教學(xué)或者課程標準制定中都考慮了學(xué)生在這些方面的能力。我國學(xué)生歷來(lái)比較擅長(cháng)解決問(wèn)題，并且往往是封閉性問(wèn)題。蔡金法教授對中美學(xué)生在開(kāi)放性問(wèn)題的對比研究中清晰地展示了這種差異，而在問(wèn)題提出等方面我國學(xué)生仍然還需提高，需要引導學(xué)生能夠主動(dòng)思考，主動(dòng)發(fā)現問(wèn)題，提出問(wèn)題。作為數學(xué)建模的第一個(gè)過(guò)程，這里面的發(fā)現問(wèn)題和提出問(wèn)題是在一定的情境下，對所涉及的現實(shí)場(chǎng)景或者某個(gè)具體數學(xué)情境下的深入思考，所提出的問(wèn)題可以是經(jīng)過(guò)數學(xué)抽象后的數學(xué)問(wèn)題，也可以是一個(gè)現實(shí)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程最重要的是提出一個(gè)問(wèn)題，而且是一個(gè)具有一定價(jià)值的問(wèn)題，有了這個(gè)問(wèn)題或者一系列問(wèn)題才能夠為后續的建�；顒�(dòng)打開(kāi)局面。
第二步，分析問(wèn)題，建立模型。對問(wèn)題的分析并不局限于數學(xué)，還需要調整其他學(xué)科或生活經(jīng)驗，往往還需要查閱資料。這一過(guò)程主要是對前面提出問(wèn)題的再加工，在這一過(guò)程中一定要將問(wèn)題進(jìn)一步數學(xué)化，或者說(shuō)完全轉化為數學(xué)問(wèn)題，雖然可能仍然帶有不同的現實(shí)背景，但問(wèn)題的內部結構關(guān)系一定是數學(xué)的。這種再加工的過(guò)程就是應用已經(jīng)學(xué)習過(guò)的數學(xué)定理、概念、性質(zhì)等知識把問(wèn)題模型化。經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)步驟完成了數學(xué)抽象的過(guò)程，從現實(shí)世界進(jìn)入了數學(xué)世界，用數學(xué)的規律和方法分析問(wèn)題。
第三步，確定參數，計算求解。這一過(guò)程就是解決問(wèn)題的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中參數的確定最為關(guān)鍵。參數的確定需要基于高質(zhì)量的數據，而數據收集往往是數學(xué)建�；顒�(dòng)的重要組成部分。數據的來(lái)源可以多樣化，在一些封閉性問(wèn)題中要利用所給數據。而在一些開(kāi)放性問(wèn)題中，數據的獲得可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò )、教科書(shū)、其他資料等。用數據來(lái)確定假設模型中的參數，通過(guò)計算為了解決數學(xué)問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程體現了數學(xué)建模和數據分析、數學(xué)運算、邏輯推理等素養直接相關(guān)[4]。
第四步，檢驗結果，改進(jìn)模型。這是最后的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中要給出最后的結果。有些時(shí)候在第三個(gè)步驟就能夠得出問(wèn)題的結果，或者作出結論的判斷。但是由于面對一個(gè)較為復雜的問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題所涉及的方面較多，在模型中會(huì )涉及到很多參數，且在計算過(guò)程中所應用的數據來(lái)源也相對單一、有限，不能完全符合現實(shí)情況，會(huì )導致結果出現偏差。因此，在這個(gè)過(guò)程中研究者需要根據所解決問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行調整，做到最佳符合。
二、數學(xué)建模教學(xué)案例
例：市化工廠(chǎng)生產(chǎn)香皂，現接到生產(chǎn)180g裝的香皂的訂單。目前化工廠(chǎng)有兩種規格的產(chǎn)品，分別是60g裝每塊1.15元，150g裝每塊2.5元。那么180g裝的香皂出廠(chǎng)價(jià)格為多少?
第一步將香皂的體積與其表面積的函數關(guān)系看作一種相對規則形狀的對應關(guān)系。在簡(jiǎn)化的情況下，明確問(wèn)題中的變量和參數。這里可以設定香皂的出廠(chǎng)價(jià)格(y)；香皂的成本(y1)；香皂的包裝成本(y2)；香皂的質(zhì)量(w)；香皂的質(zhì)量為w時(shí)包裝的表面積(Sw)。
第二步抽象出數學(xué)模型：
(1)香皂的出廠(chǎng)價(jià)格y由香皂的生產(chǎn)成本y1和包裝成本y2確定；
(2)當香皂質(zhì)量為w時(shí)，其表面積為
(3)香皂的生產(chǎn)成本與香皂質(zhì)量成正比，設比例系數為k1，即y1=k1w；
(4)香皂的包裝成本與香皂表面積成正比，設比例系數為k2，即y2=kS2sw。
在上述討論出的變量之間關(guān)系的基礎上以及香皂質(zhì)量為w時(shí)其各項成本與相關(guān)因素之間的關(guān)系，得出關(guān)于香皂出廠(chǎng)價(jià)格的函數
目標是在條件60g裝的香皂出廠(chǎng)價(jià)為每塊1.15元和150g裝的香皂出廠(chǎng)價(jià)為每塊2.5元下求出180g裝的香皂的出廠(chǎng)價(jià)格。
第三步是模型求解。由題中已知條件60g裝的香皂出廠(chǎng)價(jià)為每塊1.15元，150g裝的香皂出廠(chǎng)價(jià)為每塊2.5元。將其代入上述所求出廠(chǎng)價(jià)格的函數中得到
二者聯(lián)立得由此解得k1≈9.668×10-3，將k1代入中，解得k2k3≈3.719×10-2。
因此，香皂的出廠(chǎng)價(jià)格和香皂質(zhì)量的表達式為
那么當w=180時(shí)，對應的函數值即180g裝的該廠(chǎng)家生產(chǎn)的香皂的出廠(chǎng)價(jià)約為2.93元。
接下來(lái)還可以對該問(wèn)題做一步的討論，如果考慮單位質(zhì)量?jì)认阍硭鶎某鰪S(chǎng)價(jià)格(記為y3)，可以得到如下函數關(guān)系式：
根據該函數的單調性也可以清楚地說(shuō)明生活中常見(jiàn)的大包裝的商品售出的價(jià)格更低的現象。
第四步，分析模型結果。根據日常生活經(jīng)驗，結合在超市等地購物可以知道同類(lèi)型商品往往購買(mǎi)體積、質(zhì)量較大的會(huì )更劃算，也就是單位體積或者質(zhì)量?jì)r(jià)格較低。這在酸奶、飲料中表現十分明顯。不過(guò)也要考慮隨著(zhù)體積增大給包裝帶來(lái)的成本增加問(wèn)題。事實(shí)上隨著(zhù)體積的變化還會(huì )帶來(lái)商品擺放位置的變化，甚至影響商品的銷(xiāo)售成本�？梢�(jiàn)這是一系列問(wèn)題，實(shí)際的建模問(wèn)題比我們計算的還要復雜得多。但是從這個(gè)問(wèn)題中學(xué)生能夠體會(huì )到數學(xué)建模的重要性，體會(huì )到數學(xué)對于解決問(wèn)題的重要價(jià)值。
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學(xué)課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.
[2]黃群慧.高中數學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐探索[J].江西教育,2020(6):20-21.
[3]吳靜怡.數學(xué)建模思想在高中數學(xué)課堂教學(xué)中的應用研究[J].數學(xué)教學(xué)通訊,2020(6):45-46
[4]章建躍,張艷嬌,金克勤.數學(xué)建�；顒�(dòng)的課程理解、教材設計與教學(xué)實(shí)施[J].中學(xué)數學(xué)教學(xué)參考,2020(5):13-19.
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