地理空間的數學(xué)定義及定位型地圖符號的制約因素分析

【摘　要】 在地心坐標系中定義地球橢球面的基礎上，給出了空間的定義。根據拓撲學(xué)中的同胚映射，覆蓋空間等理論，推導了制圖區域、地圖投影、制圖物體及其在橢球面和地圖平面上的定位等概念，通過(guò)對地圖符號平面定位的單一性與其對應的制圖物體性質(zhì)多樣性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制圖目的的不同而分別表示多種事物的性質(zhì)或量值的基本原理，闡釋了對同一制圖區域進(jìn)行多專(zhuān)題制圖的客觀(guān)條件和基礎。
【關(guān)鍵詞】 地心坐標系 地球橢球 地理空間 制圖區域 制圖物體 地圖符號

　　地理系統研究人類(lèi)賴(lài)以生存與生活和影響所及的整個(gè)自然與環(huán)境^[1]。人類(lèi)為了生存和發(fā)展的需要，必須以各種技術(shù)手段，采集和獲取地理空間的相關(guān)信息�，F代測繪學(xué)，是信息科學(xué)的一個(gè)分支，是獲得物體的空間位置和屬性信息^[2]。地圖作為空間信息的一種載體，它通過(guò)人們創(chuàng )設的地圖符號集合，能把制圖區域內復雜的空間存在壓縮為二維的簡(jiǎn)單關(guān)系，從而使廣域空間內的自然現象和社會(huì )經(jīng)濟現象的空間分布、地理特征和相互關(guān)系躍然紙上。二維地圖是人類(lèi)認識上的飛躍，是人類(lèi)原始思維向抽象化發(fā)展的結果^[3]。地圖總涉及到地理空間、制圖區域和制圖物體等基本概念。在現行的大中專(zhuān)教材及有關(guān)地圖學(xué)文獻中，尚未見(jiàn)這些基本概念的數學(xué)定義，因而不能從理論的高度對其概括和闡釋。本文是筆者對地理空間、制圖區域、制圖物體數學(xué)定義的研究及其關(guān)聯(lián)的地圖符號的數學(xué)分析。
　　1 地理空間事物的橢球面定位
　　1.1 地心坐標系
　　以地球質(zhì)心為大地坐標原點(diǎn)的坐標系，即地心坐標系。這種坐標系統是闡明地球上各種地理和物理現象，特別是空間物體運動(dòng)的本始參考系。但長(cháng)期以來(lái)，由于人類(lèi)不能精確確定地心的位置，因而較少使用。目前利用空間技術(shù)等手段，已可在cm量級上確定它的位置，因此采用地心坐標系在當今既有必要性也有了可能性�，F在利用空間技術(shù)得到的定位和影像等成果，客觀(guān)上都是以地心坐標系為參照系^[4]。使用地心坐標系，在國際上已成為一種明顯的趨勢。
　　地球空間事物的定位，涉及地球的形狀和一定的坐標系。全球范圍內，可用地心大地坐標系和地心笛卡爾坐標系表示點(diǎn)的空間位置。
　　1.1.1 地球橢球
　　大地水準面包圍的地球形體比較接近真實(shí)的地球形狀，但仍是一個(gè)有100m起伏幅度的復雜曲面，不能用簡(jiǎn)單的數學(xué)方程表示，更難以在此面上進(jìn)行簡(jiǎn)單而又精密的坐標和幾何計算^[5]。為此，測繪科學(xué)中常以一個(gè)接近地球整體形狀的旋轉橢球代替真實(shí)的地球形體，這個(gè)旋轉橢球稱(chēng)為參考橢球。在現代大地測量中，規定參考橢球是等位橢球或水準橢球，即參考橢球與正常橢球一致。一個(gè)等位旋轉橢球由四個(gè)常數定義，這四個(gè)常數常是赤道半徑a，地心引力常數GM，動(dòng)力形狀因子J2，旋轉速度ω�？紤]到便于利用GPS與國際兼容，我國建議采用參考橢球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418×；ω=7292115×。根據這四個(gè)常數，可以得出一系列導出常數^[6]。根據地球的扁率f，可以求出橢球短半徑b，從而可用數學(xué)方程表示一個(gè)已知長(cháng)半徑a和短半徑b的橢球。
　　1.1.2 地心大地坐標系DL
　　地心大地坐標系是使地球質(zhì)心作橢球中心，以過(guò)所求點(diǎn)c的橢球面法線(xiàn)與赤道面的夾角φ為緯度，以過(guò)c點(diǎn)的子午面與初始子午面的二面角λ為經(jīng)度，以c點(diǎn)沿法線(xiàn)到橢球面的距離為大地高h，用c點(diǎn)的三個(gè)分量φ、λ、h表示其空間位置。地心大地坐標也即三維地理坐標系，記作DL。對于任何地球空間點(diǎn)c，總存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球橢球的長(cháng)半徑a和短半徑b，可定義橢球面。
　　定義1　 地球橢球面 對c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若點(diǎn)集滿(mǎn)足：
　　S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）
　　則稱(chēng)S為以a為長(cháng)半徑，b為短半徑的橢球面。若a，b分別為地球參考橢球的長(cháng)、短半徑，則稱(chēng)S為地球橢球面。
　　1.1.3 地心笛卡爾坐標系DK
　　以地心O為坐標原點(diǎn)，選擇一個(gè)以赤道平面上一組相互垂直的直線(xiàn)為X、Y軸，而以地軸為Z軸，這樣的坐標系稱(chēng)地心笛卡爾坐標系，記作DK。若以地球參考橢球的長(cháng)半徑a和短半徑b作常數，則地球橢球面也可定義。

　　定義2　 地球橢球面 存在地球橢球的長(cháng)半徑a和短半徑b，若點(diǎn)集滿(mǎn)足：
　　S=｛c|c=（x，y，z）∈DK∧ =1｝　　　　 （2）
　　則稱(chēng)S為以a為長(cháng)半徑，b為短半徑的地球橢球面，其中2b即地軸兼旋轉軸^[7]。
　　1.2 地理空間
　　地理科學(xué)研究的對象是地球的表層，具體地講，上至同溫層底部，下到巖石圈的上部，指陸地住下5～6公里，海洋往下4公里。設地球表層的上限為H1，下限為H2，從而得h的定義域（適用于“地球表層”概念）為h∈[-H2，H1]。根據h的取值，以h=0的橢球面為界面，可定義地球內空間和外空間。
　　定義3　 地球內空間 滿(mǎn)足條件
　　IntK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧-H2≤h＜O｝ 　�。�3）
　　的點(diǎn)集，稱(chēng)為地球內空間。
　　地球內空間即指巖石圈頂部至地球橢球面之間部分。由橢球面與真實(shí)地球表面之間的差異，因此存在雖在地表之上卻因其處于橢球面內側而屬于地球內空間的點(diǎn)集。
　　定義4 　地球外空間 滿(mǎn)足條件
　　ExtK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧O＜h≤H1｝　　　 （4）
　　的點(diǎn)集，稱(chēng)為地球外空間。
　　地球外空間即是地球橢球面到同溫層底部的空間。由于橢球面與自然面之間的差異，同樣存在雖在地表之下卻因處于橢球面外側而屬地球外空間的點(diǎn)集。
　　定義5 　地理空間 地球內空間EntK、地球橢球面S和地球外空間EntK的并集，稱(chēng)為地理空間，即
　　K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL　　　　　 （5）
　　由于地理空間的上下限H1和-H2的選擇與地球表層概念相適應，因此，地理空間的定義也就是地球表層的數學(xué)表述。
　　2 制圖區域和制圖物體
　　2.1 同胚
　　定義6 　同胚 設X和Y是兩個(gè)隨意的拓撲空間，并設f：X→Y。如果f是連續的雙一一函數，并且它的反函數f ^-1也是連續的，那么，f就叫做空間X到空間Y上的同胚或拓撲映射或拓撲變換；此時(shí)空間X與空間Y叫做同胚的，記作X≈Y。
　　如果f是空間X到空間Y上的一個(gè)同胚，AX，并且B=f（A），則稱(chēng)點(diǎn)集A與點(diǎn)集B是同胚的，記作A≈B；此時(shí)又稱(chēng)點(diǎn)集B是點(diǎn)集A在同胚f之下的同胚象或拓撲象。如果f是空間X到空間Y上的一個(gè)同胚，g是空間Y到空間Z上的一個(gè)同胚，則復合函數gf是X到Z上的一個(gè)同胚�？臻g的同胚關(guān)系≈是一個(gè)等價(jià)關(guān)系^[5]。地貌等高線(xiàn)圖形，也就是其上覆地貌的同胚象^[6]。
　　2.2 覆蓋空間
　　定義7　 覆蓋空間 設E和B是連通且局部道路連通的拓撲空間，f∶Ｅ→Ｂ是連續滿(mǎn)射，如果對于每個(gè)c∈Ｂ，存在c的道路連通開(kāi)域U，使得ｆ把ｆ ^-1（U）的每個(gè)通路連通分支同胚地映射成U，則稱(chēng)（E，ｆ）是Ｂ的覆蓋空間，這種U稱(chēng)為容許鄰域，Ｂ稱(chēng)為底空間，ｆ稱(chēng)為覆蓋投影^[10，11]。
　　2.3 制圖區域和制圖物體
　　2.3.1 橢球面上點(diǎn)c與過(guò)c點(diǎn)的橢球面法線(xiàn)ｈC的雙一一函數關(guān)系
　　設c為橢球面Ｓ上的任意點(diǎn)，c∈S，過(guò)c點(diǎn)能且僅能作一條法線(xiàn)ｈC指向地理空間Ｋ。由于大地高ｈ以橢球面為起算面，故地球外空間ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球內空間IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。顯然，地球空間的橢球面法線(xiàn)hC與橢球面上的投影點(diǎn)c是雙一一函數�，F把覆蓋空間定義應用于地球外空間ExtK與地球橢球面S：令覆蓋定義中的E=ExtK，B=S，f是連續滿(mǎn)射，c∈S，|f ^-1（c）=hC∈ExtK，這里S是底空間，（f， ExtK）是S的覆蓋空間，f為 覆蓋投影，c是hC在f下的同胚象或拓撲象。同理可說(shuō)明地球內空間與地球橢球面的關(guān)系。
　　2.3.2 制圖區域和制圖物體的橢球面定位
　　定義8 　制圖區域 設A為S的子集，AS，如果A是S中一個(gè)連通的開(kāi)集，那末，A就叫做S中的一個(gè)區域。點(diǎn)c∈A，c的鄰域U的原象f ^-1（U） ∈f ^-1（A）被作為制圖對象時(shí)，則稱(chēng)f ^-1（U）為制圖物體。f ^-1（A）在橢球面上的投影A稱(chēng)為制圖區域。c的鄰域U在球面上的外在特征有三種：
　　1） 當U=c為單一點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)c為f ^-1（U）的點(diǎn)狀定位；
　　2） 當U=lC，lC表現為線(xiàn)狀連通集時(shí)，稱(chēng)lC為f ^-1（U）的線(xiàn)狀定位；
　　3） 當U=SC，SC表現為面狀連通集時(shí)，稱(chēng)SC為f ^-1（U）的面狀定位。
　　空間中的物體f ^-1（U）在橢球面上的定位形式關(guān)聯(lián)著(zhù)它在地圖平面上的定位形式并決定著(zhù)其關(guān)聯(lián)的地圖符號的類(lèi)型。

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