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20 世紀的邏輯哲學(xué)與數學(xué)哲學(xué)研究論文
一、邏輯、數學(xué)與哲學(xué)
20 世紀，邏輯和數學(xué)在人類(lèi)的知識探索活動(dòng)中占據著(zhù)基礎和核心的地位，發(fā)揮著(zhù)獨特而重要的作用。數學(xué)是我們知識獲求中最核心的部分，幾乎在所有科學(xué)探索領(lǐng)域中它都扮演著(zhù)重要的角色，幾乎所有的自然科學(xué)和社會(huì )科學(xué)都實(shí)質(zhì)性地預設了數學(xué)知識。與此同時(shí)，作為純理智反思程序的邏輯同樣在科學(xué)進(jìn)步中發(fā)揮著(zhù)重要作用，因為證據和假說(shuō)之間的關(guān)系對于科學(xué)的進(jìn)步是一個(gè)根本性的問(wèn)題，而這又可看作是前提和結論之間的關(guān)系———一種邏輯的核心關(guān)系。從這種意義上說(shuō)，邏輯作為整個(gè)科學(xué)事業(yè)的基礎也是毋庸置疑的。
從邏輯與數學(xué)的關(guān)系看，數學(xué)是一門(mén)典型的演繹科學(xué)，因而屬于邏輯的范圍; 而邏輯是數學(xué)基礎的一部分，邏輯反映了數學(xué)的演繹實(shí)踐，邏輯被數學(xué)所塑造，因而邏輯又屬于一門(mén)數學(xué)學(xué)科，我們如何看待數學(xué)和如何看待邏輯這兩個(gè)問(wèn)題是相互交織在一起的。
邏輯和數學(xué)作為特定類(lèi)型知識的典范，作為哲學(xué)反思的對象，又與哲學(xué)密切地聯(lián)系在一起，產(chǎn)生出獨具特色的邏輯—數學(xué)哲學(xué)問(wèn)題。與其他的科學(xué)分支不同，數學(xué)是關(guān)于諸如數、集合和函數等數學(xué)實(shí)體，以及它們的結構關(guān)系的研究。邏輯是關(guān)于命題和真的理論，數學(xué)和邏輯的對象都是抽象的，尤其是數學(xué)對象，它們不占據時(shí)空位置，不具有因果作用。更進(jìn)一步地說(shuō)，數學(xué)和邏輯似乎是通過(guò)演繹證明的先驗方式運作的，其他科學(xué)似乎是通過(guò)實(shí)驗和歸納的后驗方法運作的。與科學(xué)其余分支的知識是可錯的相比，數學(xué)和邏輯的知識幾乎是不可錯的。一旦一個(gè)邏輯—數學(xué)定理被證明了，它似乎就永遠被證明了。它們沒(méi)有經(jīng)驗事實(shí)，也不像物理學(xué)家那樣進(jìn)行實(shí)驗和制定假說(shuō)。數學(xué)家創(chuàng )造語(yǔ)言，而物理學(xué)家使用數學(xué)語(yǔ)言描述他們的假設，以及以數學(xué)為工具探討它們的邏輯后承。但是最終的物理理論必須假定被經(jīng)驗事實(shí)所支持。
20 世紀，邏輯、數學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系異常緊密。邏輯學(xué)家、數學(xué)家和哲學(xué)家經(jīng)常肩并肩地工作，他們彼此閱讀各自的著(zhù)作，出席對方的會(huì )議，討論相互之間的問(wèn)題。富有意義的是，在 20世紀，邏輯和數學(xué)的主要人物———弗雷格、羅素、維特根斯坦、布勞維爾、龐加萊、希爾伯特、哥德?tīng)�、塔斯基、卡爾納普和奎因———所有的都從邏輯或者數學(xué)轉到哲學(xué)。
邏輯生長(cháng)于哲學(xué)的懷抱，哲學(xué)撫育了邏輯，邏輯又反哺于哲學(xué)。邏輯給哲學(xué)帶來(lái)了精湛的分析技術(shù)和豐富有效的思想資源，邏輯幾乎影響了整個(gè)語(yǔ)言哲學(xué)的風(fēng)格，邏輯提供了各種形而上學(xué)發(fā)展的基本框架、邏輯也為元倫理學(xué)和心智哲學(xué)提供了方法論指南。另一方面，邏輯也受哲學(xué)的制約，邏輯依賴(lài)于哲學(xué)的基本預設，經(jīng)典邏輯和各種非經(jīng)典系統都有深刻的形而上學(xué)背景。
對數學(xué)而言，通過(guò)接受一種數學(xué)哲學(xué)，數學(xué)家們從而獲得了一種類(lèi)似于價(jià)值系統之類(lèi)的東西: 研究工作的取向，關(guān)于數學(xué)的作用和價(jià)值的判斷，關(guān)于數學(xué)的發(fā)展方向的引導，何種問(wèn)題是重要的，何種問(wèn)題應當被提出，何種方法論是合理的，等等。另一方面，當代數學(xué)也為哲學(xué)提供了豐富的數學(xué)形而上學(xué)、本體論、認識論、語(yǔ)義學(xué)和邏輯方法論的內容。數學(xué)這顆科學(xué)的皇冠因數學(xué)哲學(xué)而變得更為璀璨。
在當代，越來(lái)越多的哲學(xué)研究生教育不僅僅開(kāi)始于柏拉圖和亞里士多德著(zhù)作的閱讀，而且也開(kāi)始于命題和謂詞演算以及數學(xué)和數學(xué)哲學(xué)的基本訓練。早先學(xué)生們闡釋真理概念的精微玄妙，現在則受訓于塔斯基式的真理概念的公理化熏陶。專(zhuān)題討論會(huì )和會(huì )話(huà)被真值表和語(yǔ)言的邏輯分析，以及 19 世紀后期德國科學(xué)哲學(xué)的著(zhù)作所取代。邏輯和數學(xué)的這種壓倒性影響的結果是哲學(xué)的論證在一個(gè)高度技術(shù)復雜性上運行。那些過(guò)去曾經(jīng)直接從哲學(xué)史中獲得問(wèn)題的人如今發(fā)現，如果他們要有效地參加哲學(xué)討論必須掌握復雜的數理邏輯的技術(shù)和語(yǔ)義分析的方法。
總之，20 世紀的眾多哲學(xué)學(xué)科———如形而上學(xué)、認識論、數學(xué)哲學(xué)、科學(xué)哲學(xué)，以及心智哲學(xué)、語(yǔ)言哲學(xué)和形式語(yǔ)義學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步與這一世紀的數學(xué)與邏輯發(fā)展相向而行。其結果轉而又拓寬了數學(xué)和邏輯的研究領(lǐng)域，深化了對數學(xué)和邏輯的應用和范圍的理解。最終，邏輯和數學(xué)提供了諸如局限性定理等一批深刻而基本的理論結果，這些結果又給哲學(xué)，尤其是哲學(xué)中的認識論和心智哲學(xué)一深刻的影響。但是，與邏輯、數學(xué)和哲學(xué)的互動(dòng)性活動(dòng)相比較，關(guān)于邏輯哲學(xué)和數學(xué)哲學(xué)的基本問(wèn)題依然是出奇的穩定。它們主要涉及: 什么是真理的性質(zhì)? 什么是證明的性質(zhì)? 什么是概念的性質(zhì)? 什么是有效推理的性質(zhì)? 除此之外，它們還包括:
( 1) 本體論問(wèn)題: 數學(xué)和邏輯的研究對象是什么? 數、集合、點(diǎn)、線(xiàn)、函數、命題、量詞和變元等代表什么? 如果數學(xué)對象存在，它們是否獨立于數學(xué)家們的觀(guān)念，獨立于他們的語(yǔ)言等而存在? 什么應被看作是影響數學(xué)結構，實(shí)體等的存在證明的條件等? 在何種程度上數學(xué)的原理是客觀(guān)的和獨立于心智、語(yǔ)言和數學(xué)家的社會(huì )結構的?
( 2) 語(yǔ)義學(xué)問(wèn)題: 數學(xué)和邏輯概念和陳述的涵義是什么? 邏輯和數學(xué)真理的本質(zhì)是什么?什么是數學(xué)語(yǔ)言的最好的語(yǔ)義學(xué)?
( 3) 認識論問(wèn)題: 數學(xué)和邏輯知識是如何被認識的? 它的方法是什么? 有觀(guān)察因素在其中起作用嗎? 如何裁決數學(xué)家之間和邏輯學(xué)家之間的爭論? 什么是證明? 證明是絕對確定的、不受理性懷疑的嗎? 數學(xué)的邏輯是什么? 存在不可知的數學(xué)真理嗎?
( 4) 邏輯問(wèn)題: 什么是數學(xué)的邏輯? 什么是數學(xué)斷定的邏輯形式? 什么是邏輯的有效性?哪種邏輯后承的概念是邏輯和數學(xué)所需要的? 什么是有效的可計算性? 什么是集合? 什么是集合的基本性質(zhì)?
( 5) 應用問(wèn)題: 什么是數學(xué)和邏輯對其他學(xué)科領(lǐng)域的應用? 如何能夠為當代科學(xué)構造一種多類(lèi)型的數學(xué)邏輯工具 ( 如模型的、系統的、語(yǔ)言的) ? 在不同類(lèi)型的文化社會(huì )和經(jīng)濟中數學(xué)和邏輯的角色是什么?
二、數學(xué)的限度: 限制性定理的哲學(xué)解釋
20 世紀，數學(xué)的發(fā)展主要涉及數學(xué)定理的證明，提出新的數學(xué)理論，以及為實(shí)現理論尋找公理。但是，也存在著(zhù)關(guān)于數學(xué)理論本身的一些重要問(wèn)題。例如，關(guān)于是否一特定的數學(xué)理論是一致的，是否一種數學(xué)理論有能力回答它應當回答的任何問(wèn)題，即我們希望表明對任意的數學(xué)陳述，相關(guān)的數學(xué)理論能夠證明它或者證明它的否定。關(guān)于這類(lèi)涉及一致性的高階問(wèn)題又稱(chēng)為元數學(xué)或元邏輯。毫不奇怪，這也是哲學(xué)家們高度感興趣的一個(gè)領(lǐng)域。特別是，按照若干關(guān)鍵性結果，數學(xué)能夠做什么是有限度的。這些結果就其本身而言就是十分有趣而重要的，它們也被認為有一種數學(xué)哲學(xué)的意義，甚至超越數學(xué)哲學(xué)進(jìn)入到心智哲學(xué)及形而上學(xué)的領(lǐng)域。
第一個(gè)限制性結果來(lái)自集合論，被稱(chēng)為雷文海姆—斯科倫定理。1915 年，德國數學(xué)家雷文海姆證明了一個(gè)著(zhù)名的結果: 如果一個(gè)一階語(yǔ)句有模型，它有一個(gè)可數模型。1922 年挪威數學(xué)家斯科倫將這一結果推廣到一階語(yǔ)句的系統。在這些結果中最值得注意的是它們似乎公然與康托的集合論相抵觸。雷文海姆—斯科倫定理告訴我們，我們并不需要某些超出可數性的無(wú)窮。特別是存在著(zhù)實(shí)數和集合論的可數模型。這似乎與康托的理論相沖突。這一結果的哲學(xué)意義在于它涉及人類(lèi)刻畫(huà)和交流各類(lèi)觀(guān)點(diǎn)的能力。這些觀(guān)點(diǎn)包括自然數、實(shí)數、集合，甚至基數。我們有關(guān)于這些概念的確定而不含混的概念嗎? 如果有，我們是如何把握這些概念的，并且我們又是如何與他人討論這些概念的? 雷文海姆—斯科倫定理暗示我們: 關(guān)于這些概念和對象所說(shuō)的任何東西都可翻譯到一個(gè)理論中，而后者有著(zhù)非預期的解釋。那么我們如何能確定其他人理解的是我們想要他們理解的東西? 我們又是如何知道我們自己對這些事項有著(zhù)毫不含糊的概念呢? 斯科倫本人把這一結果解讀為，從根本上說(shuō)所有的數學(xué)觀(guān)念都是 “相對的”，即不存在絕對和客觀(guān)意義上的自然數和基數，它們只是相對于某些論域或模型。當代哲學(xué)家普特南以這些和數理邏輯的其他結果為基礎，論證了一種意義深遠的反實(shí)在論的相對性，因為這種觀(guān)點(diǎn)蘊涵著(zhù): 如算術(shù)或實(shí)分析這樣給定的數學(xué)理論并沒(méi)有一個(gè)確定的研究對象，因此數學(xué)詞項沒(méi)有固定的指稱(chēng)。
第二個(gè)富有哲學(xué)意義的成果是集合論中大量的獨立性結果。一個(gè)理論的獨立性問(wèn)題是一個(gè)不可能給出肯定或者否定的回答的問(wèn)題。這一不確定性不僅僅是認識論的問(wèn)題。它并不是目前對所考慮的問(wèn)題的答案無(wú)所知曉，寧可說(shuō)，這類(lèi)問(wèn)題本身對相關(guān)的數學(xué)理論而言是完全開(kāi)放的。數學(xué)中有許多這類(lèi)問(wèn)題。但最著(zhù)名的例子是連續統問(wèn)題: 實(shí)數集合的基數是什么? 策梅洛—富蘭克林集合論加選擇公理被認為是最強大的數學(xué)理論�？墒菙祵W(xué)家已經(jīng)證明很多重要的數學(xué)問(wèn)題不能由ZFC 的公理集合論所判定。這中間最著(zhù)名的就是康托的連續統假設。根據 ZFC，實(shí)數比自然數多是集合論中的定理，而連續統假設斷言的是，不存在無(wú)窮的基數嚴格地處在這兩個(gè)尺度之間，即沒(méi)有一個(gè)既大于自然數的集合同時(shí)又嚴格的小于實(shí)數的集合。
這里我們有一個(gè)關(guān)于數學(xué)的非常重要又自然的問(wèn)題，即什么是實(shí)數的基數? 即便是對最好的數學(xué)理論而言，這也是一個(gè)難以回答的問(wèn)題。這里存在著(zhù)若干選擇: 一是為了能夠回答這類(lèi)問(wèn)題，相關(guān)的理論需有待于進(jìn)一步豐富; 二是數學(xué)中存在著(zhù)一些開(kāi)放性問(wèn)題，并且放棄所有有意義的數學(xué)問(wèn)題都是有答案的想法。人們發(fā)現，無(wú)論是哪一種選擇，最終數學(xué)家們還是陷入關(guān)于數學(xué)實(shí)在論和反實(shí)在論的爭論之中。
第三個(gè)例子是哥德?tīng)栔?zhù)名的不完全性定理。該定理證明 ( 第一不完全性定理) 希爾伯特綱領(lǐng)是行不通的。哥德?tīng)栍糜邢蘩碚撟C明如果一個(gè)形式系統 S 能表達算術(shù)的一致性，那么在 S 的形式語(yǔ)言中存在著(zhù)一個(gè)命題 G，這一命題或其否定形式在 S 中是不可證的。 ( G 是這樣被構造的:它可以這樣說(shuō)明自身，即它是不可證明的。) 他進(jìn)一步指出 ( 第二不完全性定理) ，如果系統 S能夠通過(guò)有限的方法證明是一致的，那么系統 S 就會(huì )產(chǎn)生不一致。因為可以證明在系統中 “存在著(zhù)命題 G 在 S 中是不可能證明的”。因為 G 是命題 “G 在 S 中不可證”的形式表達。因此，這又是 G 的一種證明。這樣 ( 根據第一不完全性定理) S 是不一致的。
這一證明的關(guān)鍵在于用數對形式語(yǔ)言符號進(jìn)行編碼。這樣，公式和證明作為有限的符號和結構，也能用以下方式加以編碼; 它們的符號性質(zhì)與它們的數學(xué)對應物的算術(shù)性質(zhì)相對應。形式語(yǔ)言的有關(guān)命題就轉化為數的命題，這就允許符號系統有雙重解釋。我們在談?wù)撁}自身的同時(shí)，也可以談?wù)摂档木薮鬂撛诘膽媚芰�。這一思想揭示了作為符號和其他結構的編碼，數字具有極大的潛力。這一結果導致了數字電子計算機的發(fā)展。就希爾伯特的方案而言，不完全性定理意味著(zhù)希爾伯特所要求的一致性證明只有在數學(xué)是不一致的情況下才有可能。
在某種程度上，關(guān)于數學(xué)應用的某些問(wèn)題也劃歸在這類(lèi)問(wèn)題之中。一數學(xué)定理告訴我們在科學(xué)中被研究的自然世界的何種事實(shí)? 在何種程度上我們能夠證明結點(diǎn)、橋梁穩定性、象棋殘局以及經(jīng)濟發(fā)展趨勢? 一些哲學(xué)家認為數學(xué)是某種符號游戲。但們都認為數學(xué)是有某種類(lèi)型的意義的。這意義是什么? 它與普通的非數學(xué)話(huà)語(yǔ)的意義是如何相聯(lián)系的。數學(xué)定理能夠告訴關(guān)于我們物理世界，關(guān)于人類(lèi)的可知性，關(guān)于程序計算機的原則能力的什么內容?
三、邏輯主義的失敗———是語(yǔ)義學(xué)問(wèn)題還是概念的錯位?
邏輯主義是基礎主義的一種表現，基礎主義又是還原主義的一種形式。還原主義尋求的是一種知識領(lǐng)域的等級次序。在這種次序中，所有的知識建立在一些基本的第一原理上，從這些基本的第一原理出發(fā)，推出整個(gè)的知識體系，因而也就能夠合理的證明這一系統。因此整個(gè)知識的狀況問(wèn)題也就集中在這些第一原理的狀況上。這需要假設一些絕對、永恒和普遍的理性秩序或者理性證明。數學(xué)哲學(xué)中的邏輯主義就是這樣的一種企圖。
貫穿 19 世紀和 20 上半葉西方哲學(xué)議程表的一個(gè)主要議題，是用還原主義的方式說(shuō)明數學(xué)的必然性和先驗性。另一個(gè)問(wèn)題是在不訴諸于類(lèi)似康德直覺(jué)的情況下說(shuō)明數學(xué)的應用。關(guān)于這一方面，最富有成效的發(fā)展是語(yǔ)義學(xué)的傳統。
語(yǔ)義學(xué)傳統歷經(jīng)博爾扎諾、弗雷格、早期維特根斯坦和維也納學(xué)派的鼎盛時(shí)期，其主要的論題是將必然性和先驗知識落腳于語(yǔ)言的使用。因而，哲學(xué)家開(kāi)始將他們的數學(xué)探索的中心轉向語(yǔ)言。數學(xué)的斷定意味著(zhù)什么? 什么是數學(xué)斷定的邏輯形式?什么是數學(xué)語(yǔ)言最好的語(yǔ)義學(xué)? 發(fā)展和磨礪了眾多工具和概念的語(yǔ)義學(xué)元素在當代數理邏輯以及西方哲學(xué)中仍在有效地被使用，達米特將這一趨勢稱(chēng)之為 “語(yǔ)言學(xué)的轉向”。語(yǔ)義學(xué)傳統的一個(gè)重要綱領(lǐng)體現為: 在命題是依據意義而為真的這一意義上，至少有一些數學(xué)的基本原理是分析的。諸如 “自然數”、“后繼”、“函數”、“加”和 “乘”這樣的詞匯，只要我們理解了它們的意義，我們也就知曉了諸如皮亞諾公設這樣的算術(shù)基本原理的真。如果綱領(lǐng)能夠被實(shí)施，它也會(huì )表明數學(xué)真理是必然的———在某種程度上，如此構造的分析真理也是必然的。假定了語(yǔ)詞意味著(zhù)什么，數學(xué)命題必定獨立于物質(zhì)世界的偶然性而為真。數學(xué)知識是先驗的———在一定程度上意義的知識是先驗的�？梢酝茰y，語(yǔ)言的說(shuō)話(huà)人先驗地知道語(yǔ)詞的意義，因而我們知道數學(xué)命題是先驗的。但邏輯主義的主張以失敗而告終。
邏輯主義的失敗主要的并不是由于由弗雷格、羅素和懷特海所發(fā)展起來(lái)的綱領(lǐng)存在的具體問(wèn)題而引起的，而是因為對邏輯和數學(xué)的概念理解和應用的錯位和誤置。因為，邏輯主義綱領(lǐng)是建立在邏輯比數學(xué)更一般，也更抽象的假設基礎之上的。人們一般認為，邏輯是所有學(xué)科中最一般的，因為邏輯是題材中立的，它適用于所有可能的話(huà)語(yǔ)，它是一般的有效演繹推理的研究。而數學(xué)比其他學(xué)科更加演繹，數學(xué)是邏輯和演繹推理的典范。在它的公理化和系統化的形式中，數學(xué)證明的每一演繹步驟都由邏輯所管轄。在這種情況下，人們認為，數學(xué)本質(zhì)上就是演繹，從邏輯可以推出數學(xué)。
但在某種意義上，與邏輯相比數學(xué)是更加一般的。邏輯和數學(xué)各自的性質(zhì)決定了邏輯和算術(shù)( 更一般地說(shuō)是數學(xué)) 不能夠由一方推出另一方，而只能夠肩并肩地一起發(fā)展。數學(xué)和邏輯是建立在抽象的兩個(gè)不同的方向上。邏輯處理內容上最具一般性的東西，而數學(xué)是形式關(guān)系和形式性質(zhì)的最一般理論。所以一方面數學(xué)的發(fā)展受制于邏輯的法則，另一方面，思維的邏輯結構又歸屬于具有必然和諧性的結構說(shuō)明的反思的數學(xué)范圍之內。
因此，首先邏輯與數學(xué)之間不是一般和特殊的關(guān)系。其次，邏輯并不比數學(xué)更抽象。盡管二者都是抽象的，但它們卻是在不同方向的抽象。因為抽象的方向至少部分的是不重合的，因而在哪一個(gè)比哪一個(gè)更抽象這方面，二者是沒(méi)有可比性的。第三點(diǎn)聯(lián)系也許是最本質(zhì)的。就像邏輯的表達方式本質(zhì)上是數學(xué)的一樣，數學(xué)的表達本質(zhì)上是邏輯的。數學(xué)由于是一門(mén)演繹的科學(xué)而屬于邏輯，邏輯由于例化了某種類(lèi)型的結構而屬于數學(xué)。邏輯和數學(xué)的關(guān)系并不是一個(gè)包含著(zhù)另一個(gè)，它們中的每一個(gè)都實(shí)質(zhì)性地假定了對另一個(gè)的使用，因而從某種意義上說(shuō)預設了另一個(gè)的某些方面。
除此之外，邏輯主義試圖表明，至少在它的弗雷格形式中，并非數學(xué)僅僅被邏輯所滲透。數學(xué)就是邏輯，加適當的定義: 數學(xué)內容就是邏輯內容。如果邏輯主義綱領(lǐng)成功，我們將有理由認為數學(xué)是邏輯的一種特定的形式，因而邏輯比數學(xué)更一般。盡管在實(shí)施這一綱領(lǐng)的困難證偽了邏輯主義，但我們仍舊要將邏輯更具一般性，和數學(xué)的內容可還原為邏輯的內容這兩個(gè)問(wèn)題區別開(kāi)來(lái)。后者是關(guān)于數學(xué)內容的，而前者是關(guān)于它的表達和實(shí)施的。
總之，邏輯和數學(xué)的依賴(lài)關(guān)系是雙向的。數學(xué)推理的特征是一種邏輯的運作，而邏輯的運作是一種數學(xué)的行為。數理邏輯并沒(méi)有達到作為算術(shù)的邏輯基礎的目標。邏輯主義失敗的原因并不在于弗雷格的處理的特定形式，而寧可是錯誤地提出將數學(xué)還原為邏輯的問(wèn)題造成的，即數學(xué)和邏輯并非是一種特殊和一般的關(guān)系。
四、數學(xué)需要什么樣的邏輯?
關(guān)于數學(xué)需要什么樣的邏輯的問(wèn)題，我們以一階邏輯和高階邏輯在表達力與復雜性方面的某些特征為例，討論它們作為數學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)劣。目前公認的、最普通的邏輯系統是初等謂詞邏輯，又稱(chēng)為一階邏輯。一階邏輯有一個(gè)被良好研究的證明論和模型論，有若干有趣的性質(zhì): 有一個(gè)遞歸—可枚舉的演繹系統 DI，使得任何一個(gè)一階語(yǔ)句 Φ 是一階語(yǔ)句 Γ 的集合的邏輯后承，當且僅當在 DI 中 Φ 是從 Γ 中可演繹的，因而一階邏輯是完全的。由此推出一階邏輯在如果每一一階語(yǔ)句的集合 Γ 的有窮子集是可滿(mǎn)足的，那么 Γ 本身是可滿(mǎn)足的意義上是緊致的。向下的雷文海姆—斯科倫定理是: 一個(gè)一階語(yǔ)句的集合 Γ 是可滿(mǎn)足的，那么它有一個(gè)其論域是可數的模型; 向上的雷文海姆—斯科倫定理是，如果對每一自然數 n，一個(gè)一階語(yǔ)句的集合 Γ 有一個(gè)其論域至少有 n 個(gè)元素的模型是可數的模型，那么對任意無(wú)窮基數 K，Γ 有一個(gè)其域至少是 K 大小的模型。
不論是日常自然語(yǔ)言的論證還是來(lái)自于數學(xué)的論證都廣泛采用了一階語(yǔ)言的論證模式。一階邏輯對于研究有效性是一個(gè)好的工具。一階語(yǔ)言也捕捉到了自然語(yǔ)言語(yǔ)義學(xué)的某些重要特征，所以一階語(yǔ)言邏輯也是研究自然語(yǔ)言的工具。然而，一階邏輯在表達力方面有嚴重的缺陷。諸如有限性、可數性、極小閉包、良基性和良序性等概念在一階語(yǔ)言中都不可能被捕捉到。更進(jìn)一步地說(shuō)，許多重要的語(yǔ)言學(xué)術(shù)語(yǔ)、區別以及結構都不在一階語(yǔ)言的范圍之內。
一階邏輯的主要替代者是二階邏輯。在一階刻畫(huà)中缺乏的數學(xué)概念在二階語(yǔ)言中都有充分的刻畫(huà)。例如，存在著(zhù)一個(gè)二階公式 FIN ( X) 在一結構中可滿(mǎn)足當且僅當指派到 X 的集合是有窮的。這方面的例子包括自然數、實(shí)數、歐幾里德空間以及集合論。一般地說(shuō)，二階語(yǔ)言和高階語(yǔ)言允許語(yǔ)言學(xué)家對許多超出一階語(yǔ)言的語(yǔ)言學(xué)結構進(jìn)行�；�。
二階語(yǔ)言的表達力的豐富是由代價(jià)的。從二階邏輯的表達力中可以推出，二階邏輯不是緊致的，二階邏輯對雷文海姆—斯科倫定理是失效的。二階邏輯是高度復雜的，在某些方面是深奧難懂的。在沒(méi)有可靠性和遞歸可數的演繹性方面，二階邏輯是內在不一致的。的確，二階邏輯的真并不在分析的等級層列之中。當然，二階邏輯的這些特征是否是它的一個(gè) “缺陷”這依賴(lài)于一個(gè)好的邏輯理論的性質(zhì)是什么。進(jìn)而，又依賴(lài)于邏輯理論被認為應當完成什么。按照這些古老的問(wèn)題，我們對二階邏輯做一些評述。
二階邏輯后承的難解性是二階語(yǔ)言表達力的一個(gè)直接和不可避免的后果。在一種意義上，邏輯后承的非形式概念是與語(yǔ)句 ( 命題) 意味著(zhù)什么以及語(yǔ)言的詞項指稱(chēng)是什么聯(lián)系在一起的。因而，如果形式語(yǔ)言的目的是為了捕捉非形式的數學(xué)話(huà)語(yǔ)的語(yǔ)義學(xué)內容，特別是，為了復制指稱(chēng)和可滿(mǎn)足的概念———因為非形式的數學(xué)話(huà)語(yǔ)似乎在刻畫(huà)諸如有限和結構、自然數和實(shí)數等方面有資源，而我們的形式語(yǔ)言應當有這方面的表達力———那么，一般認為，二階語(yǔ)言的難解性和豐富性就是數學(xué)語(yǔ)言的豐富性和難解性的一個(gè)后果。從這一觀(guān)點(diǎn)看，人們應當認為數學(xué)和邏輯是一個(gè)無(wú)間隙的整體，在二者之間不可能劃出一條直截了當的界限。丘奇在他對二階邏輯的處理時(shí)曾經(jīng)寫(xiě)道:邏輯和數學(xué)不應作為兩個(gè)不同的學(xué)科加以刻畫(huà)，而是同一學(xué)科的初等和高等部分。①
巴威思也闡述了類(lèi)似的思想:
在基礎邏輯的學(xué)科中，我們試圖對體現于作為邏輯常項的 “邏輯概念”與作為數學(xué)概念的其他概念之間做出區別。關(guān)于是否存在著(zhù)這樣一條界限，或者是否所有的數學(xué)概念有它們自己的邏輯的問(wèn)題，不存在這條區分線(xiàn)畫(huà)在何處的問(wèn)題…作為一個(gè)邏輯學(xué)家，一方面，說(shuō)服人們相信邏輯是一階的，另一方面，又說(shuō)服人們相信一階邏輯難以捕捉到現代數學(xué)中幾乎所有的概念，這樣做是在危害邏輯的事業(yè)。②
巴威思得出的結論是，不可能再回到邏輯是一階的觀(guān)點(diǎn)中去。
哲學(xué)家也有理由使得邏輯較容易被處理，或者至少比起二階后承關(guān)系要更容易處理。有一種久已存在的觀(guān)點(diǎn)，邏輯不應有本體論和形而上學(xué)的預設。如果這一點(diǎn)難以做到，那么至少這種預設應保持在最低限度。邏輯后承僅僅取決于邏輯小品詞的意義。后承關(guān)系應當是透明的，潛在明顯的。如果連續統假設成為邏輯真理，那一定是有些地方出了錯誤。
作為一階邏輯的直言不諱的支持者，蒯因反對二階邏輯。他認為:大部分的邏輯推理發(fā)生在并不預設抽象實(shí)體的層面上。這種推理主要是通過(guò)量詞理論 ( 即一階邏輯) 來(lái)進(jìn)行的。它們的法則能夠通過(guò)不涉及對類(lèi)變元的量化來(lái)表達。通常按照類(lèi)、關(guān)系甚至偶數所明確表達的大多數內容，都可以在量化理論的模式內被重新表述。③蒯因后來(lái)論述道: 二階邏輯并不是邏輯，而是偽裝的集合論，是披著(zhù)羊皮的狼。④
當代邏輯學(xué)家提出了一種妥協(xié)方案，他們設想在一階邏輯和二階邏輯之間存在著(zhù)一種發(fā)展邏輯的可能性。哲學(xué)家試圖在這兩種極端之間尋找一種路徑，一種不像一階邏輯那么弱，但至少保留分析性和透明性這種傳統的可欲之物。正式地說(shuō)，邏輯學(xué)家希望邏輯系統比起一階邏輯應有更強的表達力，但是不像二階邏輯那樣難以理解。這就是當代邏輯學(xué)家從事邏輯研究的動(dòng)機之一。對此，考爾斯寫(xiě)道眾所周知，一階邏輯在表達數學(xué)家們研究的許多概念方面是能力有限的…然而，一階邏輯…的確有相當廣泛的發(fā)展，并且有被很好理解的模型論。另一方面，整個(gè)的二階邏輯有數學(xué)所需要的全部表達力，但是有一個(gè)不可行的模型論。的確一種語(yǔ)義上足夠復雜到能夠談?wù)撃承┦挛�，但與此同時(shí)又簡(jiǎn)單到足以談?wù)撃承┦挛锏倪壿嫷难芯�，這是邏輯的一種增殖。⑤
五、數學(xué)與邏輯中的不可或缺性論證
一個(gè)相當引人注目但卻毫無(wú)爭議的事實(shí)是數學(xué)和邏輯對科學(xué)似乎是不可或缺的。特別是，蒯因和普特南論證道，數學(xué)對經(jīng)驗科學(xué)的
不可或缺的論證給了我們相信數學(xué)實(shí)體存在的極好的理由。按照這一路線(xiàn)，諸如集合、數、函數以及邏輯學(xué)中的可能世界等對最好的科學(xué)理論而言是不可或缺的，所以我們應當訴諸于這些數學(xué)和邏輯實(shí)體的存在，否則就犯下了普特南所謂的 “理智不誠實(shí)”的罪過(guò)，更進(jìn)一步地說(shuō)，數學(xué)和邏輯實(shí)體似乎在認識論上與科學(xué)理論中的其他實(shí)體相同。因為對前一類(lèi)實(shí)體存在的信念被確認作為一個(gè)整體的理論的相同證據所辯護 ( 因而相信后一類(lèi)實(shí)體的存在) 。這一論證稱(chēng)之為蒯因—普特南數學(xué)實(shí)在論的不可或缺的論證。不可或缺的論證引起了極大的關(guān)注，它構成了 20 世紀最后幾十年數學(xué)哲學(xué)和邏輯哲學(xué)爭論的一個(gè)焦點(diǎn)，并被看作是對數學(xué)實(shí)在論的最好的論證，因而關(guān)于數學(xué)實(shí)體的反實(shí)在論者 ( 或唯名論者) 認為不可或缺性的論證必定在某些地方有錯誤。而許多柏拉圖主義者依賴(lài)這一論證以證成他們對數學(xué)實(shí)體的信念。這些論證使那些對諸如夸克，電子、黑洞等其他科學(xué)理論實(shí)體持實(shí)在論立場(chǎng)的唯名論者處于一種特別困難的境地。因為通常他們接受的上述實(shí)體非常類(lèi)似于不可或缺論證所辯護的那些實(shí)體。絕大多數的科學(xué)實(shí)在論者都接受了關(guān)于最好解釋的論證。的確，最好解釋的推理被認為是科學(xué)實(shí)在論的基石。但是，最好解釋的論證也許被視為是不可或缺論證的一種形式，所以，任何一個(gè)接受了前一種立場(chǎng)而同時(shí)又拒絕后一種立場(chǎng)的實(shí)在論者會(huì )察覺(jué)到他們處在一個(gè)非常不穩固的立場(chǎng)上。不可或缺的論證呈現為以下形式:
( 前提 1) : 對于那些并僅對于那些對我們目前最好的科學(xué)理論是不可或缺的實(shí)體，我們應當有一種本體論的承諾。
( 前提 2) : 數學(xué)實(shí)體對于我們最好的科學(xué)理論是不可或缺的。
( 結論) : 對數學(xué)實(shí)體我們應當有一種本體論的承諾。
對不可或缺的論證存在著(zhù)許多反對的意見(jiàn)。其中關(guān)于前提 ( 前提 1) 的質(zhì)疑主要體現于對抽象對象的不可或缺性的批評: 例如，唯名論數學(xué)提出一種不需要假設抽象對象的唯名論數學(xué)以取代經(jīng)典數學(xué)，由此論證抽象數學(xué)對象不是不可或缺的。以菲爾德為代表的數學(xué)唯名論觀(guān)就認為，數學(xué)對科學(xué)并不是不可或缺的。菲爾德的論證由兩部分組成。⑥第一部分是試圖證明我們最好的科學(xué)理論沒(méi)有數學(xué)也能存活下來(lái)。為了這一目的，他試圖對牛頓的引力理論施加一個(gè)唯名論的框架。盡管這遠未證明所有我們目前最好的科學(xué)理論都能夠唯名論化，但它的確不是微不足道的。菲爾德認為，對于一個(gè)典型的物理理論，一旦人們看到對數學(xué)實(shí)體指稱(chēng)的消除是可能的，那么將這一做法擴展到其他的科學(xué)領(lǐng)域也是完全可行的。
菲爾德的第二部分是論證數學(xué)理論并不需要在應用方面是真的有用的，它只需要保守性。這意味著(zhù)，利用這些數學(xué)理論可以推導出的關(guān)于具體物理對象的結論，不用這些數字定理也可以推導出。菲爾德唯名論的數學(xué)只涵蓋了較簡(jiǎn)單的數學(xué)。同樣的策略不適用于更高級的數學(xué)。另外，菲爾德假設時(shí)空中的點(diǎn)和區域是具體對象，但是，從哲學(xué)分析的角度看，時(shí)空中的點(diǎn)是我們對時(shí)空結構的抽象設置，其本身應當是抽象的。而且菲爾德的唯名論數學(xué)在應用于物理學(xué)時(shí)顯得繁瑣，而且只能涵蓋很有限的物理和數學(xué)，因而不可能得到科學(xué)家的承認。不可或缺的論證也包括邏輯哲學(xué)中模態(tài)實(shí)在論對 “可能世界”、“可能性”和 “必然性”等概念的辯護。模態(tài)邏輯把 “P 是必然的”定義為 “P 在所有的可能世界中為真”，“P 是可能的”定義為 “P 在至少一個(gè)世界中為真”。在使用這種萊布尼茨式的真值條件定義時(shí)，邏輯對可能世界進(jìn)行量化。模態(tài)實(shí)在論認為，對可能世界的量化，就像我們對石頭和木棒的量化一樣，通過(guò)存在量化式我們不僅承諾了石頭和木棒的存在，也承諾了可能世界的存在。模態(tài)實(shí)在論者對可能世界的論證也采取了不可或缺的論證模式。例如，劉易斯就認為我們沒(méi)有理由不承認模態(tài)實(shí)在論，因為它有效。這如同我們承認數學(xué)客體的存在是因為它有用是一樣的。
對劉易斯可能世界不可或缺的論證的反對主要由認識論的反對和模態(tài)無(wú)關(guān)性的反對組成。認識論的反對由理查德提出。⑦他認為: “盡管可能世界語(yǔ)義學(xué)的確產(chǎn)生出關(guān)于可能性的真值條件，但它是這樣一種真值條件，即對任何給定的陳述，一般地不可能確定它們是否被滿(mǎn)足，因而一般地也不可能確定它們是真的”。為什么呢? 理查德認為，因為根本就沒(méi)有模態(tài)模態(tài)，因而包含有模態(tài)話(huà)語(yǔ)的知識既是不可獲得的，又是毫無(wú)用途的。
以朱比因為代表的模態(tài)無(wú)關(guān)性觀(guān)點(diǎn)認為，說(shuō)我們的世界在某些方面與所謂可能世界的實(shí)體相似固然是自然的，但為什么我們要假定我們世界的任何方面都可能與這些實(shí)體相似。存在著(zhù)這種類(lèi)型的實(shí)體嗎? 畢竟我們沒(méi)有創(chuàng )造出這些特別的實(shí)體。它們以一種與 “世界”相似的方式產(chǎn)生出來(lái)，不管怎樣，這只是一種可能。它們只是在那里，決然地獨立于我們。我們必須與這樣的可能性打交道嗎? 由此朱比因也就斷然否定了模態(tài)知識的可能性。⑧
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